Агол

Од Википедија, слободната енциклопедија
Прејди на: содржини, барај
Агол
Angle std.svg
Агол α
Тип агол во рамнина (2д)
Поддршка самостоен
Поврзано: Видови агли

Во елементарната геометрија, агол е еден од најосновните поими. Агли се цртаат во рамнина, односно во дводимензионален простор како што е лист хартија.

  • Агол се формира од две полуправи со заедничка почетна точка, заедно со кружен лак помеѓу полуправите со кој се означува аголот.[1]
    • Заедничката почетна точка на полуправите се нарекува темето на аголот.
    • Полуправите се нарекуваат краците на аголот.
    • Големината на аголот се пиши внатре во аголот до лакот. Често пати се користи мала грчка буква како α, β, γ,... за означување на агол за кој не е одредена големината.
Angle mk.svg Angle ex1.svg Angle ex2.svg Angle ex3.svg
Делови од агол Некој агол означен α Друг агол означен β Трет агол означен α
  • Агол може да се дефинира како фигура составена од двете полуправи и темето заедно со сите точки „внатре“ во аголoт, т.е. сите точки помеѓу полуправите каде што е лакот.[2]
  • Агол може да се дефинира како ротација, односно како големина на ротацијата околу темето потребна за едната полуправа да се преклопува со другата полуправа следејќи го лакот.

Двете дефиниции за агол го имаат своето место во сфаќањето за поимот агол (види подолу).[3]

Агли од точки, прави или отсечки[уреди]

Три различни точки во рамнина определуваат агол. Нека трите точки се означени со А, В и С. За цртање на аголот АВС, најпрво се цртаат полуправите од В низ А и од В низ С (со заедничка почетна точка В). Потоа, кружен лак се црта тргнувајќи од полуправата ВА кон полуправата ВС во смерот спротивно на смерот на стрелките на часовникот. Аголот се означува со ∠ABC (види слика).

Агол од три точки
Angle abc1.svg Angle abc2.svg Angle abc3.svg Angle abc4.svg
Три точки во рамнина Полуправите од В Внатрешност на аголот Аголот ∠ABC
Внатешни агли α, β и γ и надворешни агли α′, β′ и γ′ на еден триаголник.

Две прави со пресечна точка В формираат 4 посебни агли. Почнувајќи од точката В правите формираат 4 полуправи, а секој пар последователни полуправи формира еден од 4-те агли.

  • Секој напореден пар (т.е. пар со заеднички крак) од овие 4-те агли кои се суплементни (т.е. збирот на нивни големини е рамен агол = 180°).
  • Секој накрсен пар (т.е. пар без заеднички крак) од овие 4-те агли се складни (т.е. со еднаква големина).

Геометриски фигури како што се многуаголници имаат парови на страни со заедничко теме. Страните се отсечки што значи дека можат да се продолжуваат во (две) прави. Со ова се формираат 4 посебни агли (види го претходното). Аголот што лежи во фигурата се нарекува внатрешен агол на фигурата. Било кој од неговите напоредни агли се нарекува надворешен агол на фигурата. Меѓутоа, се означува само еден од нив за секое теме (види слика). Внатрешните агли на еден многуаголник определуваат голем број од неговите своиства (види многуаголник).

Големина на агол во степени[уреди]

Crystal Clear app xmag.svg Главна статија: „Степен (агол).

Во елементарната геометрија, големината на еден агол е позитивна и се мери во единици кои се нарекуваат степени. Степени се означуваат со o, односно мала кружница како горен индекс.

  • Ако лакот за означување на аголот е целата кружница (двете полуправи се преклопуваат), аголот е 360 степени, односно 360o. Агол со 360o се нарекува полн агол.
    • За изборот на бројот 360 како основа поделба на кружница види степен.
  • Ако двете полуправи формираат права (каде што темето е точка на правата), независно каде се пиши лакот таа е полукружница и аголот е со половина големина од цела кружница. Ваков агол има 180o (како ½ од 360o). Агол со 180o се нарекува рамен агол.
  • Ако лакот помеѓу двете полуправи формира четвртина кружница, таа се вика прав агол или квадратен агол и има 90o (како ¼ од 360o). Сите внатрешните агли на квадрат или правоаголник се прави агли.
  • Значи, во елементарната геометрија, големината на агол α е пропорцијата на лакот од цела кружница, т.е. пропорцијата на лакот од 360o (полн агол).
 Во елементарната геометрија, секој агол α има позитивна големина и тоа:   0^{\circ} \le \alpha \le 360^{\circ}
Агломер со 180°
  • За цртање на агол со одредена големина или за мерење на големина на веќе нацртан агол може да се користи агломер (види агломер).

Пример: Нека е даден еден агол, а гледаме дека 5 такви агли формираат полн агол. Следува дека големината на дадениот агол е 360°/5=72o.

Пример: Нека е даден еден агол, а гледаме дека 2 такви агли формираат прав агол. Следува дека големината на дадениот агол е 90°/2=45o.

Пример: Нека е даден триаголник со три исти внатрешни агли. Има една регулатива за триаголници кои гласи дека збирот на внатрешните агли на триаголник изнесува 180o. Следува дека големината на секој од внатрешните агли на дадениот триаголник е 180°/3=60o (види рамностран триаголник).

Дефиниции на агол[уреди]

Со дефиницијата на агол како фигура со внатрешност која е множеството на точките опфатени помеѓу полуправите, секогаш се сфаќа дека големината на аголот е позитивна. Агли во геометриски фигури се разгледуваат од оваа погледна точка. На пример, големината на сите агли во еден многуаголник (внатрешни или надворешни) се позитивни. Со оваа дефиницја и едноставно се цртаат агли. Меѓутоа, со оваа дефиницја потешко се разбира поимот за големината на аголот. [4]

Со дефиницијата на агол како ротација, едноставно се пресметува големината на агол како пропорцијата на ротацијата во однос на цела ротација, односно во однос на полн агол кој има 360o. Исто така, оваа дефиниција може да се обопштува со поимот за смер на ротација и се дефинираат позитивни и негативни агли. Меѓутоа, со оваа дефиницја потешко се разбира цртањето на агол.[5]

Во елементарната геометрија, агол истовремено се смета и како фигура и и како ротација. Велиме „Да се нацрта ∠ABC=45°.“, а мислиме „Да се нацрта агол ∠ABC со големина 45°.“ Значи кај поимот агол, фигурата и нејзината големина се непосредно поврзани.

Видови агли[уреди]

Crystal Clear app xmag.svg Главна статија: „Видови агли.

Агол α се класифицира според неговата големина како позитивна и големината на агол α е таква да 0°≤α≤360°.

α=0° празен агол
0°<α<90° остар агол
α=90° прав агол
90°<α<180° тап агол
α=180° рамен агол
180°<α<360° неконвексен агол
α=360° полн агол

Големина на агол во радијани[уреди]

Crystal Clear app xmag.svg Главна статија: „Радијан.

Има три единици за мерење на агли: степени, радијани и градиенти. Степени се означуваат со o, а има 360 степени во полн агол. Градиенти ретко се користат (a има 400 градиенти во полн агол).

  • Големина на агол зададена во радијани нема ознака за единица. Големина на агол без ознака за степени (би требало) да значи дека е мерена во радијани. Често пати при првото објаснување на радијани се користи ознака rad. Меѓутоа, ова не е правилно!

Денес, типичен научен дигитрон има дирка (или комбинација на дирки) за промена на модусот (ен. mode), односно за промена на аголната единица со која ќе работи дигитронот. Промена на модусот треба да се користи пред да се внеси големината на аголот.

  • Големина на полн агол 360o во радијани има егзактна вредност 2π која од својата страна е должината на периметарот на единичната кружница, т.е. кружница со радиус 1.[6]
    • Следува дека рамен агол 180o во радијани има егзактна вредност π. Приближна вредност на π≈3,1416. Тоа значи дека:
180^{\circ} = \pi \approx 3,1416

односно

1=\frac{180^{\circ}}{\pi}\approx 57,30^{\circ}

Пример: Еден агол α има големина 2, т.е. α=2. Бидејќи нема знак за единица, значи дека големината е зададена во радијани.

 \alpha = 2 = 2 \cdot 1 = 2 \cdot \frac{180^{\circ}}{\pi} =\frac{360^{\circ}}{\pi} \approx 114,60^{\circ}

Пример: Еден агол α има 45°. Во пребарувач се внесува 45 degrees in radians. По притискање на ентер се добива 45 degrees=0.785398163 radians, т.е. 45°≈0,785. Меѓутоа, егзактниот одговор е: 45°=π/4.[7]

Агол во стандардна позиција[уреди]

Во декартов правоаголен координатен систем, агол α е во стандардна позиција ако темето е во О(0,0) и почетниот крак е позитивниот дел од х-оска.[8] Ако агол е зададен во стандардна позиција, можно е да не се означува почетниот крак, т.е. да не се означува посебно дека позитивниот дел од x-оската е почетокот на аголот.

Котерминалност на агли[уреди]

Два агли се нарекуваат котерминални ако во стандардната позиција го имаат и истиот краен крак.[9]

  • Услов за котерминалност: Aголот α+k·360° е котерминален со α за секој цел број k oдносно аголот α+2kπ е котерминален со аголот α за секој цел број k.
  • Регулатива: За секој агол постој котерминален агол: 0°≤α<360° односно 0≤α<2π (види слики подолу).

Негативни и големи агли[уреди]

Надвор од елементарната геометрија, корисно е да големина на агол може да биде било кој реален број. За таа цел, најпрво се дефинира поимот смер на агол.

  • На усмерени агли на самиот лак за означување на агол се додава стрелка.
    • Големината на агол е позитивна ако стрелката на лакот е во смерот спротивно на стрелките на часовникот а
    • Големината на агол е негативна ако стрелката на лакот е во смерот на стрелките на часовникот.

Обичајно е усмерени агли да се цртаат во координатен систем, т.е. О(0,0) како теме и со позитивниот дел од х-оската како почетната полуправа.

Забелешка: Најчесто агли во IV квадрант се пишат како негативни агли. Циклометриските функции (инверзните функции на тригонометриските функции) за синус и тангенс се дефинирани на интервалот (–π/2,π/2) и пресметување на нивните вредности со дигитрон дава вакви агли. На пример, arctan(–1)=–45°=–π/4.[3]

Примери: Аголот –45° е котерминален со аголот 315°. Крајниот крак на двата агли е во истата позиција во IV квадрант. Аголот –5π/6 е котерминален со аголот 7π/6. Крајниот крак на двата агли е во истата позиција во III квадрант. Аголот –0,6 е котерминален со аголот –0,6+2&pi≈5,68. Крајниот крак на двата агли е во истата позиција во IV квадрант (види слика).

Со овa дополнувањe:

–α е котерминален со –α+&360°=360°–α или (со радијани) –α е котерминален со –α+2π=2π–α≈6,3228–α

Потоа, се дефинира поимот и за големи агли, односно се дефинираат агли како што се 394°, –1232°, 4π, –8,276.

Неколку агли и нивните котерминални агли
Три (различни) агли во стандардна позиција
Angles negative big.svg
агол со негативна големина (степени) агол со голема позитивна големина (степени) агол со голема негативна големина (радијани)
Соодветните котерминани агли помеѓу 0° и 360°
Angles negative big reg.svg
–53° котерминален
со –53°+360°=307°
394° котерминален
со 394°–360°=34°
–15,063 котерминален
со –15,063+6π=3,787

Примери: Аголот 394°=394°–1·360°=34°. Аголот –1232°=–1232°+4·360°=208°. Аголот 4π=4π–4π=0. Аголот –8,276=–8,276+2·2π≈4,2904.

  • За било кој агол α, котерминалниот агол помеѓу 0° и 360° се добива со повторно одземање (ако е позитивна) или повторно собирање (ако е негативно) на 360°=2π.
  • Забелешка: Иако во примерите се користи знакот =, ова не е правилно! Правилно, треба да се нарекува дека двата агли се котерминални. Меѓутоа, најчесто оваа дистинкција не е битна.
    • Битна може да биде во живот. На пример, кола на мраз која се завртува 720° не е иста со кола која се завртува 360° или 0°.
    • Во математиката, оваа дистинкција е битна при пресметување на вредности на сложени функции кои содржаат и не-тригонометриски функции. На пример, вредноста на фукцијата f(x)=x·sin(x) за х=–8,276 e f(–8,276)=(–8,276)·sin(–8,276)=(–8,276)·(–0,9123)=7,5499, a вредноста на истата функција за х=4,2904 e f(4,2904)=(4,2904)·sin(4,2904)=(4,2904)·(–0,9123)=–3,914.
Агол во поларен координатен систем

Агли во рамнински координатни системи[уреди]

Во геометријата во рамнината, на точка со правоаголни координатни Т(x,y) се придружува еднозначно определен агол φ во стандардната позиција на следниов начин. Темето на φ е координатиот почеток О(0,0), позитивниот дел од х-оската е почетната полуправа (и во општо не се обележува), а крајната полуправа е од координатниот почеток О низ точката Т. Лакот со кој се означува аголот φ почнува од х-оската во смерот спротивно на стрелките на часовникот завршувајќи на крајната полуоската низ Т. Земајќи го ρ како должината на отсечката ОТ на секоја точка Т во рамнината може на единствен начин да се пиши или во правоаголен координатен систем со координати Т(x,y) или во т.н. поларен координатен систем со T(ρ;φ) (види поларен координатен систем и координатни системи ).[10]

Агол помеѓу две криви

Агли помеѓу две рамнински криви[уреди]

Нека f(x) и g(x) се две рамнински криви кои имаат пресек во точката С=(c,f(c))=(c,g(c)), односно нека секоја од f(x) и g(x) е реална функција од една реална променлива, диференцијабилна во точката С. Аголот помеѓу кривите во точката С е аголот помеѓу соодветните тангенти на кривите во таа точка.[11]

\tan(\alpha)=\frac{a_f-a_g}{1+a_f a_g}\,,\,\,\,a_f=f'(c) \,,\,\,a_g=g'(c)

каде што af e наклонот на тангентата на f(x) во С и ag e наклонот на тангентата на g(x) во С.

Агол помеѓу два радиус вектори во простор. Т1=(0,3,2), Т2=(–3,1,0). Креиран со Геогебра

Агли во простор (просторни агли)[уреди]

  • Два неколинеарни радиус вектори во тродимензионален простор u=<а1,b1,c1> и v=<а2,b2,c2> опредуваат рамнина во простор. Нека Т1=(а1,b1,c1) и Т2=(а2,b2,c2) се крајните точки на радиус векторите. Тогаш аголот помеѓу u и v е аголот α=∠T1OT2 (види слика). Доколку радиус векторите се колинеарни, аголот помеѓу нив е 0°=0.[10]
\cos(\alpha)=\frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}|\, |\vec{v}|}
  • Секоја права во простор во простор определува насочен радиус вектор. Следува дека две прави во простор одределуваат два насочни радиус вектори. Аголот помеѓу правите се дефинира како аголот помеѓу соодветните насочни вектори.
  • Секоја раминиа определува нормален насочен радиус вектрои. Аголот помеѓу две рамнини е аголот помеѓу соодветните нормални радиус вектори.

Наводи[уреди]

  1. „Angle“. Math Open Reference. 2009. http://www.mathopenref.com/angle.html. конс. декември 2013.  interactive
  2. „Interior of an angle“. Math Open Reference. 2009. http://www.mathopenref.com/angleinterior.html. конс. декември 2013.  interactive
  3. 3,0 3,1 „Angles as turns: How can angles be negative?“ (на англиски). 2003. http://mathforum.org/library/drmath/view/62997.html. конс. Декември 2013. 
  4. „Angles of Inclination vs. Angles of Rotation“ (на англиски). MathForum.org. 1999. http://mathforum.org/library/drmath/view/55067.html. конс. декември 2013. 
  5. Bogomolny, A. (2010). „What is an angle?“ (на англиски). http://www.cut-the-knot.org/WhatIs/WhatIsAngle.shtml. конс. декември 2013. 
  6. „Radians“ (на англиски). Math Open Reference. 2009. http://www.mathopenref.com/radians.html. конс. декември 2013.  interactive
  7. „45 degrees in radians“ (на англиски). wolframalpha.com. http://www.wolframalpha.com/input/?i=45+degrees+in+radians&lk=4&num=1. конс. декември 2013.  interactive
  8. „Trignometry:Standard position of an angle“ (на англиски). Math Open Reference. 2009. http://www.mathopenref.com/trigstandardposition.html. конс. декември 2013.  interactive
  9. „Coterminal angles“ (на англиски). Math Open Reference. 2009. http://www.mathopenref.com/coterminal.html. конс. декември 2013.  interactive
  10. 10,0 10,1 Clapham, C.; Nicholson, J. (2009). „Oxford Concise Dictionary of Mathematics, Polar coordinates“ (на англиски). Addison-Wesley. стр. 661. http://web.cortland.edu/matresearch/OxfordDictionaryMathematics.pdf. конс. Септември 2013. 
  11. „Angle between two curves“ (на англиски). sunshinemaths.com. http://www.sunshinemaths.com/topics/calculus/angle-between-two-curves/. конс. Декември 2013. 

Поврзани теми[уреди]

Надворешни линкови[уреди]