Златен агол

Златниот агол е аголот што го зафаќа помалиот (црвен) лак кога два лака што сочинуваат круг се во златен однос

Во геометријата, златниот агол е помалиот од двата агли создадени со делење на обемот на кругот според златниот пресек, односно на два лака така што односот на должината на помалиот лак со должината на поголемиот е ист со односот на должината на поголемиот лак со целосниот обем на кругот.

Алгебарски, нека a+b е обемот на кругот, поделен на подолг лак со должина a и помал лак со должина b така што:

${\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}$

Тогаш златен агол е аголот што го образува помалиот лак со должина b. Изнесува приближно 137,5077640500378546463487. . . °  A096627 или во радијани 2.39996322972865332. . .  A131988 .

Името доаѓа од врската на златниот агол со златниот пресек φ; точната вредност на златниот агол е:

$360\left(1-{\frac {1}{\varphi }}\right)=360(2-\varphi )={\frac {360}{\varphi ^{2}}}=180(3-{\sqrt {5}}){\text{ degrees}}$

или

$2\pi \left(1-{\frac {1}{\varphi }}\right)=2\pi (2-\varphi )={\frac {2\pi }{\varphi ^{2}}}=\pi (3-{\sqrt {5}}){\text{ radians}},$

каде што еквиваленциите произлегуваат од познатите алгебарски својства на златниот пресек.

Бидејќи неговиот синус и косинус се трансцендентални броеви, златниот агол не може да се конструира со линијар и шестар.

Изведување

Со горедадените услови, златниот пресек е еднаков на φ = a/b.

Нека ƒ е делот од обемот што го определува златниот агол, или еквивалентно, златниот агол поделен со аголната големина на кружницата.

$f={\frac {b}{a+b}}={\frac {1}{1+\varphi }}.$

Но бидејќи

${1+\varphi }=\varphi ^{2},$

следува дека

$f={\frac {1}{\varphi ^{2}}}$

Ова е еквивалентно со исказот дека φ ² златните агли можат да се вклопат во круг.

Според тоа, делот од кругот што го зафаќа златниот агол е:

$f\approx 0.381966.\,$

Па златниот агол g може приближно нумерички да се изрази во степени како:

$g\approx 360\times 0.381966\approx 137.508^{\circ },\,$

или во радијани како :

$g\approx 2\pi \times 0.381966\approx 2.39996.\,$

Златен агол во природата

Аголот помеѓу последователните цветови кај некои цвеќиња е златен агол.

Анимација која симулира подредување на семките од сончоглед од централен меристем каде што следната семка е ориентирана еден златен агол подалеку од претходната семка.

Златниот агол игра значајна улога во теоријата на филотаксата; на пример, златниот агол е аголот што ги одвојува цветовите на сончогледот. Анализата на моделот покажува дека тој е многу чувствителен на аголот што ги одвојува поединечните примордии, при што аголот на Фибоначи му дава на парастихијата оптимална густина на пакување.

Математичкото моделирање на веродостојниот физички механизам за развој на цветови ја покажа шемата што произлегува спонтано од решението на нелинеарна парцијална диференцијална равенка на рамнина.

Надворешни врски

• Златен агол на MathWorld