Од Википедија — слободната енциклопедија
Аркус котангенс
y(x)=arcctg(x)
Основни особини
Домен
(-∞,∞)
Кодомен
(-π,0)
Паритет
непарна
Одредени вредности
Асимптота
y = 0
Вредност х=+∞
0
Вредност х=-∞
0
Други особини
Извод
:
−
1
1
+
x
2
{\displaystyle {\frac {-1}{1+x^{2}}}}
Аркус котангенс – функција инверзна на котангенсната функција во ограничениот интервал [-π/2,π/2]. Се користи се за одредување на големина на агол во овој опсег, кога е позната вредноста на неговиот котангенс. Може да се дефинира со следната формула:
arcctg
x
=
ctg
−
1
x
=
i
2
(
log
(
1
−
i
x
)
−
log
(
1
+
i
x
)
)
{\displaystyle \operatorname {arcctg} \;x=\operatorname {ctg} ^{-1}x={\frac {i}{2}}\left(\log \left(1-{\frac {i}{x}}\right)-\log \left(1+{\frac {i}{x}}\right)\right)}
При што треба да важи -{x}- е различно од нула.
Формули кои се поврзани со аркус котангенс:
arcctg
x
=
π
2
−
arctan
x
{\displaystyle \operatorname {arcctg} \;x={\frac {\pi }{2}}-\arctan x}
комплементарни агли )
arcctg
(
−
x
)
=
π
−
arcctg
x
{\displaystyle \operatorname {arcctg} (-x)=\pi -\operatorname {arcctg} \;x\!}
arcctg
1
x
=
π
2
−
arcctg
x
=
arctan
x
,
{\displaystyle \operatorname {arcctg} \;{\frac {1}{x}}={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arcctg} \;x=\arctan x,\ }
x
>
0
{\displaystyle \ x>0}
arcctg
1
x
=
3
π
2
−
arcctg
x
=
π
+
arctan
x
,
{\displaystyle \operatorname {arcctg} \;{\frac {1}{x}}={\frac {3\pi }{2}}-\operatorname {arcctg} \;x=\pi +\arctan x,\ }
x
<
0
{\displaystyle \ x<0}
Изводот на аркус котангенс е:
d
d
x
arcctg
x
=
−
1
1
+
x
2
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {arcctg} \;x{}={\frac {-1}{1+x^{2}}}}
Претставување во форма на интеграл [ уреди | уреди извор ] Претставена во форма на интеграл аркус котангенс е:
arcctg
x
=
∫
x
∞
1
x
2
+
1
d
x
{\displaystyle \operatorname {arcctg} \;x{}=\int _{x}^{\infty }{\frac {1}{x^{2}+1}}\,dx}
Претставување во форма на бесконечна сума [ уреди | уреди извор ] Претставена во форма на бесконечна сума аркус котангенс е:
arcctg
x
=
π
2
−
arctan
x
=
π
2
−
(
z
−
x
3
3
+
x
5
5
−
x
7
7
+
⋯
)
=
π
2
−
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
x
2
n
+
1
2
n
+
1
;
|
x
|
≤
1
x
≠
i
,
−
i
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcctg} x&{}={\frac {\pi }{2}}-\arctan x\\&{}={\frac {\pi }{2}}-(z-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots )\\&{}={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{2n+1}};\qquad |x|\leq 1\qquad x\neq i,-i\end{aligned}}}
