Степенување

Од Википедија — слободната енциклопедија
Прејди на: содржини, барај
Поврзано: полином и експоненцијална функција

Степенување е математичката операција, означувана со bn. Истата вклучува два броеви, односно основа b и експонент n. Друг збор за експонент е степен. Основата b се пиши на нивото и со истата големина како обичен текст, а експонентот n се пиши непосредно десно од основата, за половина ниво погоре и со помала големина од обичниот текст, односно n се пиши како горен индекс на b.[1]

  • За bn читаме:   b на n-ти   или   b на n-ти степен.

Експонентот е позитивен цел број[уреди]

Дефиниција: b^n= \underbrace{b \times \cdots \times b}_n \, , \,\,   каде што n е позитивен цел број 
  • Значи, за n позитивен цел број, степенување е повторно множење на b со себе n пати.

Ако n=1, тогаш b¹ = b, т.е. b на први степен е b.

Ако n=2, тогаш b² = b·b, т.е. b на втори степен или b на квадрат е b по b.

Ако n=3, тогаш b³ = b·b·b, т.е. b на 3-ти степен е b по b по b.

...

  • Клучниот збор е на. Изразот 3 на 5-ти значи 35 = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 243.
  • Експонентот важи само за основата, т.е. само за бројот кој е непосредно на лево од него.
  • По договор и доколку нема загради, степенување се прави пред другите математички операции како множење (и делење) и собирање (и вадење).
f(x)=x² (плава) е полоном; g(x)=2x (црвена) е експоненцијална функција

Примери:

(-17,4)2=(-17,4)·(-17,4) = +302,76 = 302,76 -17,42 = - (17,4 · 17,4) = -302,76
350 - 102 · 4 = 350 - 100 · 4 = 350 - 400 = -50 074=0
  • Функција каде што променливата e основата на експоненти кои се позитивни цели броеви се вика полином. Оваа класа на функции се многу важни.

Пример: f(x)=x² е полином (од втор степен).

  • Функција каде што променливата е експонент на основа која е позитивен реален број се вика експоненцијална функција. И оваа класа на функции се многу важни.

Пример: g(x)=2x е експоненцијална функција (со основа 2).


Експонентот е цел број[уреди]

Дефиниција: b^{-n} = \frac{1}{b^n}    каде што b≠0 и n е цел број (позитивен, нула или негативен).
  • Значи, при преместување на експоненцијален израз од едната страна на дробна црта на другата страна, знакот на експонентот се менува.

Примери:

3x^{-2}=\tfrac{3}{x^2} \tfrac{1}{(2x)^{-2}}=(2x)^2=2x \cdot 2x= 2 \cdot 2 \cdot x \cdot x = 4x^2
\tfrac{1}{3x^{-7}}=\tfrac{x^7}{3} \tfrac{6y}{(2x)^{-2}}=6y \cdot (2x)^2=6y \cdot 4x^2= 24x^2y


Основни формули за експоненти[уреди]

b^m \cdot b^n=b^{m+n}\, , \,\, b \ne 0
Доказ: b^m \cdot b^n = \underbrace{b \times \cdots \times b}_m \,\cdot \, \underbrace{b \times \cdots \times b}_n = \underbrace{b \times \cdots \times b}_{m+n}=b^{m+n}
(b^m)^n=b^{mn}\, , \,\, b \ne 0
Доказ: (b^m)^n= \underbrace{\,\,\, \underbrace{b \times \cdots \times b}_m \,\cdot \,\underbrace{b \times \cdots \times b}_m  \cdot \, \cdots \, \cdot \,\underbrace{b \times \cdots \times b}_m \,\,\,}_n = \underbrace{b \times \cdots \times b}_{m \cdot n}=b^{mn}
b^0=1\, , \,\, b \ne 0
Доказ:[2] b^n \cdot 1=b^n=b^{n+0}=b^n \cdot b^0


Примери

\tfrac{3x^5}{x^2}=3x^5 \cdot x^{-2}= 3x^{3+(-2)}=3x^1=3x {(-2x^2)}^3=(-2)^3 \cdot (x^2)^3=-8x^{2 \cdot 3}=-8x^6
\tfrac{-2xy}{x^5y}=\tfrac{-2y\cdot y^{-1}}{x^{-1}x^5}=\tfrac{-2y^0}{x^4}=\tfrac{-2}{x^4} \tfrac{-5}{3x^2+1} не може да се упрости.
(\tfrac{2x^3}{y})^{-2}=(\tfrac{y}{2x^3})^{2}=\tfrac{y^2}{(2x^3)^2}=\tfrac{y^2}{4x^6} 0^{-3} не постои.


Експонентот е рационален број (дропка)[уреди]

Дефиниција: x = nb, т.е. n-ти корен на реален број b е број x таков што xn = b.

Ако основата b е позитивен реален број и n е позитивен цел број, тогаш има точно едно реално решение, т.е. точно едно решение на равенката xn = b кое е реален број. Ова решение се вика главниот n-ти корен на b. Тоа се означува со nb, каде што √ е симбол за коренување. Друго означување е со т.н. рационални експоненти, имено:

Нека b е позитивен реален број, m нека е цел број, а n нека е позитивен цел број:

 Означување: b^{^{1} / _{n}}=\sqrt[n]{b}   и   b^{^{m} / _{n}}=\sqrt[n]{b^m}.

Внимавање треба кога основата b не е позитивен реален број при рационални (и реални) експоненти.

  • За b=0 и m≠0, погорниот израз е 0.
  • За b<0, погорниот израз е реален број само кога именителот на рационалниот експонент, т.е. кога n е непарен број (позитивен цел). Доколку именителот n е парен број, изразот е комплексен број.

Меѓутоа, дигитрони и компјутерски апликации различно реагираат на експоненцијални изрази со негативна основа.

  • Случајот кога и b=0 и m=0, т.е. 00 е многу сложено со различни можни вредности (и различни математичко тумачење) и посебно се разгледуваат (види 0на0).


Експонентот е позитивен реален број[уреди]

Доколку основата b е позитивен реален број, а бидејќи секој ирационален број х може да се приближува со рационален број r, степенување со експонент х, т.е. bх може да се дефинира преку непрекинатост со [3]

 b^x = \lim_{r \to x} b^r\quad(r\in\mathbb Q,\,x\in\mathbb R)


Експоненти и функции[уреди]

За кратко пишување, позитивен целоброен експонент кај логаритамски и тригонометриски функции означуваат степенување. Имено и на пример:

Означување: \sin^2(x) = \sin(x) \cdot \sin(x) =(\sin(x))^2 \,\, , \,\, \cos^2(x) = (\cos(x))^2 \,\, ...
Означување: \log^2(x) = \log(x) \cdot \log(x) =(\log(x))^2 \,\, , \,\, \ln^2(x) = (\ln(x))^2 \,\, ...

Забележуваме дека при користење на повеќето компјутерски апликации и програми, овие кратенки не функционираат.

Од друга страна, кај општа функција f(x), позитивен целоброен експонент обично означува повторна композиција на функцијата, т.е. f³(x)=f(f(f(x))), а со експонентот (-1) се означува инверзна функција на f.

Меѓутоа, нема конзистента дефиниција за експонент (-1) кај тригометриски функции. На пример,

sin-1(x)=arcsin(x), т.е. sin-1(x) e инверзната функција на sin(x) во САД и на повеќе дигитрони или sin-1(x)=1/sin(x) (во Р.М.).


Степенување со Windows® 7 дигитрон
Копчиња за степенување со дигитрон

Степенување со дигитрони[уреди]

Начинот на степенување со дигитрон зависи од типот на дигитронот. Посебни дирки за степенување ги имаат т.н. научни дигитрони (види ги сликите).

  • Секој научен дигитрон има едночекорна дирка: x², т.е. по внесување на бројот b кој е основата, се притиска на оваа дирка и без друго е пресметан b².
  • Повеќето начуни дигитрони има и едночекорна дирка: x³ за трети степен.
  • Секој научен дигитрон има едночекорна дирка: 1/x или x-1 за пресметување на реципрочен број.
  • Секој научен дигитрон има сложена дирка xy или ^ за пресметување со други експоненти освен 2 и 3.
    • Се внесуба основата, па се пристиска на оваа дирка. Потоа се внесува експонентот, па се пристиска на = или Enter.
      • За основа која е позитивен (реален) број нема некакви проблеми при користење на оваа дирка.
      • За основа која е негативен број, треба (а) рачно да се провери дека изразот е валиден (има решение) и (б) да се знае како работи дигитронот со негативни основи.

Примери со обичен научен дигитрон: (види и анимацијата)

Притискај: 3  x². Резултатот е: 9.
(-3)² Притискај: 3  ±  x². Резултатот е: 9.
Притискај: 2  x³. Резултатот е: 8.
4-1 Притискај: 4  1/x. Резултатот е 0,25
3/ Притискај: 3   /  (  4  x²  )  =. Резултатот е 0,1875
0,0625¾ Притискај: 0  .  0  6  2  5  xy  (  3  /  4  )  =. Резултатот е: 0,125.


Степенување во програмирање[уреди]

Означување на експонент како горен индекс xy е погодно за ракопис, но не е погодно за машинско куцање особено во програмски јазици каде што сите карактери се на едно ниво (нема горен или долен индекс).

  • x ^ y: BASIC, J, Геогебра, Sage, MATLAB, R, Microsoft Excel, TeX и LaTeX, TI-BASIC, bc (за цели бројни експоненти), Haskell (за ненегативни цели бројни експоненти), Lua, ASP и повеќето системи за алгебра со компјутери (CAS). Ознаката ^ се вика карета и се добива на тастатурата со латинција со Shift+6.
  • x ** y: Ada, Bash (Unix shell), COBOL, Fortran, FoxPro 2|FoxPro, Gnuplot, OCaml, F#, Perl, PL/I, Python, Rexx, Ruby, SAS, Seed7, Tcl, ABAP, Haskell (заекспоненти со подвижна запирка), Turing , VHDL
  • pow(x,y): C++, C#
  • x ↑ y: Algol, Commodore BASIC
  • x ^^ y: Haskell (за рационална основа, цели бројни експоненти), D
  • pown x y: F# (за цело бројна основа и експонент)
  • x⋆y: APL

Многу програмски јазици нема вградена синтакса за степенување, но имаат функции во нивните библиотеки.

Внимавање: Во Bash, C, C++, C#, Java, JavaScript, Perl, PHP, Python и Ruby, Pascal, OCaml, каретата ^ означува друго, а не степенување. Треба да се води сметка за синтаксата на соодветниот јазик.


Ефикасно степенување[уреди]

Наједноставниот метод за пресметнување на bn захтева n − 1 множења, но може и поефикасно како на пример: За пресметување на 2100, забележиме 100 = 64 + 32 + 4. Пресметувајќи редоследно:

  1. 22 = 4
  2. (22)2 = 24 = 16
  3. (24)2 = 28 = 256
  4. (28)2 = 216 = 65,536
  5. (216)2 = 232 = 4,294,967,296
  6. (232)2 = 264 = 18,446,744,073,709,551,616
  7. 264 232 24 = 2100 = 1,267,650,600,228,229,401,496,703,205,376

Оваа низа на чекори захтева само 8 множења наместо 100-1=99 (има две множења во последниот чекор).

Општо кажано, бројот на множења потребни за пресметување на bn може да се редуцира на Θ(log n) користејќи квадратно степенување. Денес нема ефикасен алгоритам за пресметување на минималната низа, но има повеќе ефикасни хеуристички алгоритми за степенување.[4]


Табела на целобројни експоненти[уреди]

n n2 n3 n4 n5 n6 n7 n8 n9 n10
2 4 8 16 32 64 128 256 512 1,024
3 9 27 81 243 729 2.187 6.561 19.683 59.049
4 16 64 256 1.024 4.096 16.384 65.536 262.144 1.048.576
5 25 125 625 3.125 15.625 78.125 390.625 1.953.125 9.765.625
6 36 216 1.296 7.776 46.656 279.936 1.679.616 10.077.696 60.466.176
7 49 343 2.401 16.807 117.649 823.543 5.764.801 40.353.607 282.475.249
8 64 512 4.096 32.768 262.144 2.097.152 16.777.216 134.217.728 1.073.741.824
9 81 729 6.561 59.049 531.441 4.782.969 43.046.721 387.420.489 3.486.784.401
10 100 1.000 10.000 100.000 1.000.000 10.000.000 100.000.000 1.000.000.000 10.000.000.000
n n2 n3 n4 n5 n6
\tfrac{1}{2} \tfrac{1}{4} \tfrac{1}{8} \tfrac{1}{16} \tfrac{1}{32} \tfrac{1}{64}
\tfrac{1}{3} \tfrac{1}{9} \tfrac{1}{27} \tfrac{1}{81} \tfrac{1}{243} \tfrac{1}{729}
\tfrac{1}{4} \tfrac{1}{16} \tfrac{1}{64} \tfrac{1}{256} \tfrac{1}{1024} \tfrac{1}{4096}
\tfrac{1}{10} =0,1 \tfrac{1}{100} =0,01 \tfrac{1}{1000} =0,001 0,0001 0,00001 0,000001

Наводи[уреди]

  1. Clapham, C.; Nicholson, J. (2009). „Oxford Concise Dictionary of Mathematics, "Index (indices)"“ (на англиски). Addison-Wesley. стр. 403. http://web.cortland.edu/matresearch/OxfordDictionaryMathematics.pdf. конс. Септември 2013. 
  2. „Introducing 0th Power“ (на англиски). Planet Math. http://planetmath.org/introducing0thpower. конс. Септември 2013. 
  3. Denlinger, Charles G. (2011). „Elements of Real Analysis“. Jones and Bartlett. стр. 278–283. ISBN 978-0-7637-7947-4. 
  4. Gordon, D. M. 1998. A survey of fast exponentiation methods. J. Algorithms 27, 1 (Apr. 1998), 129-146. doi:http://dx.doi.org/10.1006/jagm.1997.0913


Поврзани теми[уреди]


Надворешни линкови[уреди]