Елипса

Од Википедија — слободната енциклопедија
Прејди на прегледникот Прејди на пребарувањето
Збирот на растојанијата на една точка (во случајов точката X) од двата фокуса на елипсата секогаш е еднаков (т.е. растојанието означено со сина боја е константно за која било точка на елипсата)

Елипса (старогрч. ἔλλειψις, недостаток) – во математиката е крива затворена линија во рамнина, која може да се дефинира како геометриско место на точки чиј збир на растојанија од една точка на елипсата до две фиксирани точки е секогаш еднаков (види ја сликата). Овие две точки уште се нарекуваат фокуси на елипсата, а точката која се наоѓа точно меѓу нив е центар на елипсата.

Елипсата има два пречници (полупречници) кои претставуваат минимално и максимално растојание на нејзините точки од нејзиниот центар, а се нарекуваат оски на елипсата. Оските на елипсата се две прави кои ги содржат нејзините пречници. Првата, поголемата, поминува низ двете фокусни точки, а другата, помалата поминува низ нејзиниот центар, и е нормална на првата. Половината од поголемата оска се нарекува голема полуоска, и во астрономијата се користи како еден од орбитални параметри кои ја опишуваат орбитата на некое небесно тело.

Доколку двете фокусни точки е една иста точка, се работи за специјален случај на елипса, кој се нарекува круг.

Елипсата се добива како пресек на конус и рамнина

Елипсата е вид конусен пресек. Ако конус е пресечен со рамнина која не ја сече основата на конусот и не е паралелна со неа, пресекот на конусот и рамнината е елипса.

Параметарска равенка на елипса[уреди | уреди извор]

Размерот на елипсата е определен од две константи , означени со a и b, каде a е должината на големата полуоска, а b, на малата полуоска.

Елипса, чијшто центар е во почетокот на координатниот систем Oxy и нејзината главна оска е по оската x, е определена со канонската равенка:

Следниот графикон ја демонстрира Питагоровата теорема a² = b² + c² како посебен случај на долната непараметарска равенка за (x = 0, y = b).

Ellipse PLS en.png

Истата елипса може да биде претставена со параметарски равенки:

При што се користат тригонометриските функции синус и косинус.

Ако елипсата не е со центар во почетокот на координатниот систем, но главната оска ѝ е по оската x, истата може да биде претставена со равенката

каде (h,k) се координатите на нејзиниот центар.

Ексцентрицитет[уреди | уреди извор]

Формата на елипсата се изразува со бројка, наречена ексцентрицитет на елипсата, која се означува со e. Ексцентрицитетот е поврзан со a и b преку равенството

каде (линеарниот ексцентрицитет на елипсата) е еднаков на растојанието од центарот до кој било од фокусите.

Ексцентрицитетот е позитивен број меѓу 0 (во случај на круг) и 1.

Колку е поголем ексцентритетот, толку е поголем односот на a со b и следователно елипсата е поиздолжена.

Растојанието меѓу фокусите е 2ae.

Површина[уреди | уреди извор]

Површината на елипсата е:

каде a и b се полупречници на елипсата, а пи = 3,14159... математичка константа. До формулата за површината се дошло со пресметки со помош на интеграли.

Доказ. Четвртина од површината на елипсата во канонски облик е во првиот квадрант. Спрема тоа површината на целата елипса е

Со што доказот е завршен.

Обем[уреди | уреди извор]

Обемот на елипсата може да се претстави на разни начини:

Бесконечни редови:

Што е исто што и:

Добра апроксимација на оваа вредноста направил Рамануџан:

Која може да се запише и како:

Во специјален случај, кога помалата оска е двојно помала од поголемата оска, важи:

Својства како рефлектор[уреди | уреди извор]

Ако имаме елипсовидно огледало со извор на светлина во еден од фокусите, тогаш сите зраци ќе се рефлектираат кон една точка - вториот фокус. Бидејќи нема друга крива со ова својство, истото може да се искористи како алтернативна дефиниција за елипса.

Елипсата во физиката[уреди | уреди извор]

Јохан Кеплер открил, дека орбитите, кои планетите ги опишуваат околу Сонцето, са со форма на елипса. Тоа е и првиот закон на Кеплер. Подоцна Исак Њутн објаснил, дека тој факт е природен резултат од неговиот универзален закон за привлекување.

Елипсоид[уреди | уреди извор]

Во тродимензионалниот координатен систем обликот елипса се вика елипсоид. Во геометријата елипсоидот е тело кое во однос на топката е благо сплескано.

Наводи[уреди | уреди извор]

Надворешни врски[уреди | уреди извор]