Бијекција

Од Википедија — слободната енциклопедија
Прејди на прегледникот Прејди на пребарувањето
Gen bijection.svg
Бијекција. Има точно една стрелка до секој елемент во кодоменот B (од елемент од доменот А).

Во математиката, бијективна функција или бијекција е функција f : AB која е и инјективна и сурјективна. Тоа значи: за секој елемент b во кодоменот B постои точно еден елемент a од доменот A таков што f(a)=b. Бијекцијата исто така се нарекува 1-1 кореспонденција.[1][2]

Терминот бијективност и сродните термини сурјективност и инјективност беа воведени од страна на Никола Бурбаки (Nicholas Bourbaki)[3] и група други, воглавно француски математичари од 20-тиот век, кој почнувајќи од 1935 година напиша серија книги за презентирање на модерната напредна математика.

Gen not surjection not injection.svg
Не е бијекција. (Не е ниту сурјекција, ниту инјекција.)

Основни својства[уреди | уреди извор]

Формално имаме:

  е бијективна функција ако за секој    постои точно еден    таков што  

Елементот се вика претслика на елементот .

Забелешка: Сурјекција значи минимум една претслика. Инјекција значи максимум една претслика. Бијекција значи точно една претслика.

Кардиналност[уреди | уреди извор]

Кардиналноста на едно множество е мерка на бројот на елементите во множеството. На пример, ако A={X,Y,Z,W}, тогаш кардиналноста на А е 4 и пишуваме #A=4. Кардиналноста на едно множество се одредува преку бијекција помеѓу даденото множество и множество со позната кардиналност. [4]

  • Две множества ја имаат истата кардиналност ако постои бијекција помеѓу нив. (Види кардиналност.)
    • Ако кардиналноста на A и B е конечен број, #A=#B=n тогаш при доказ дека функцијата f:AB e бијекција доволно е да се докаже дека е сурјекција или да се докаже дека е инјекција.
    • Ако кардиналноста на A и B е еднаква, но не е конечен број тогаш ова не важи.

Пример: Нека А=B=ℕ. Идентичната функција f(x)=x e бијекција. Функцијата f(x)=2x е инјекција која не е сурјекција. Функцијата f(x)=round(x/2) е сурјекција која не е инјекција каде што round(z) го заокружува z така што f(1)=round(1/2)=round(0,5)=1, f(2)=round(2/2)=1, f(3)=round(3/2)=round(1,5)=2, ....

Бијекции и инверзни функции[уреди | уреди извор]

Crystal Clear app xmag.svg Главна статија: „инверзна функција.
  • Бијекцијата може да се преврти со обратно насочување на сите стрелки од пресликувањето. Новата функција се вика инверзна функција (на првобитната функција). Види инверзна функција.

Формално: Нека f : AB е бијективна функција. Инверзната функција на бијективна функција f е (бијективна) функција g : BA дефинирана со: ако f(a)=b, тогаш g(b)=a. Значи, сите стрелки на пресликување се обратно насочени.

  • Инверзна функција на инверзна функција е првобитната функција.[5])
  • Една функција има инверзна функција ако и само ако е бијекција.[6][7][8]

Забелешка: Нотацијата за инверзна функција на функцијата f е проблематична. Имено, со

  се означува инверзната функција на функцијата f, а со
се означува реципрочната вредност на бројот x.

Примери[уреди | уреди извор]

Елементарни функции[уреди | уреди извор]

Нека f(x):ℝ→ℝ е реална функција y од реален аргумент x. (Значи влез и излез се броеви.)

  • Графичко толкување: функцијата f е бијекција ако секоја хоризонтала права го пресекува графиконот на f во точно една точка.
  • Алгебарско толкување: функцијата f е бијекција ако за кој било yo постои xo таков што yo=f(xo) и ако f(xo)=f(x1) значи xo=x1.

Пример: Линеарната функција на која било коса права е бијективна, односно y=ax+b каде што a≠0 е бијекција. (Види линеарна функција.) Слика 1.

Дискусија: Види го соодветниот пример кај сурјекција и инјекција.
Инверзна функција: y=(x-b)/a

Пример: Кубната полиномна функција f(x)=x3 е бијекција. Слика 2 и Слика 5: тенката жолта крива.

Инверзна функција е 3-ти корен, односно

f(x)= ∛x. Слика 5: дебелата зелена крива.

Пример: Квадратната функција   f(x) = x2 не е бијекција (од ℝ→ℝ). Слика 3. Не е сурјекција. Не е инјекција. Меѓутоа со ограничување на доменот и кодоменот до множеството на ненегативни броеви [0,+∞) се добива бијекција (види примери подолу).

Бијекции и нивните инверзни функции[уреди | уреди извор]

Нека f(x):AB каде што A и B се подмножества на ℝ.

  • Да претпоставиме дека f не е бијекција. За кое било x каде што изводот на f постои и не е нула, постои број δ>0 таков да ограничувањето на f на δ-околината на x е бијекцијата (на сликата на околината).[4]
  • Графиконите на меѓусебно инверзни функции се симетрични во однос на правата y=x. (Види и Инверзна функција.)

Пример: Квадратната функција дефинирана на ограничениот домен и кодомен [0,+∞)

  каде што  

е бијекција. Слика 6: тенката жолта крива.

Пример: Функцијата квадратен корен дефинирана на ограничуваниот домен и кодомен [0,+∞)

  каде што  

е бијекцијата дефинирана како инверзната функција на квадратната функција: x2. Слика 6: дебелата зелена крива.

Забелешка: Последниот пример го покажува следното. За одредување дали некоја функција е бијекција или не, потребно е да се знае:

  • доменот на функцијата
  • машината на функцијата
  • кодоменот на функцијата

Пример: Нека машината биде f(x)=x².

  • Оваа машина со домен=ℝ и кодомен=ℝ не е инјекција и не е сурјекција. Меѓутоа,
  • оваа иста машина со домен=[0,+∞) и кодомен=[0,+∞) е и инјекција и сурјекција, па затоа и бијекција.

Пример: Експоненцијалната функција дефинирана на доменот ℝ и на ограничуваниот кодомен (0,+∞)

  каде што  

е бијекција. Слика 4: тенката жолта крива (земено е a=10).

Пример: Логаритамската функција со основа a дефинирана на ограничуваниот домен (0,+∞) и на кодоменот ℝ

  каде што  

е бијекцијата дефинирана како инверзната функција на експоненцијалната функција: ax. Слика 4: дебелата зелена крива (земено е a=10).

Бијекција: секоја вертикална права (во доменот) и секоја хоризонтална права (во кодоменот) го пресекува графиконот во точно една точка.
Line explicit ex.svg
1. Бијекција. Сите коси прави се бијекции f(x):ℝ→ℝ, f(x)=ax+b, a≠0.
Xto3.svg
2. Бијекција. f(x):ℝ→ℝ. f(x)=x³.
Xto2.svg
3. Не е бијекција. f(x):ℝ→ℝ. f(x)=x². (Не е сурјекција, ниту инјекција).
Logx inv.svg
4. Бијекции. f(x):ℝ→ (0,+∞). f(x)=10x (тенка жолта) и своја инверзна функција f(x):(0,+∞)→ℝ. f(x)=log10x (дебела зелена).
Xto1over3.svg
5. Бијекции. f(x):ℝ→ℝ. f(x)=x³ (тенка жолта) и своја инверзна функција f(x)=∛x (дебела зелена).
Xsqrt pos.svg
6. Бијекции. f(x):[0,+∞)→[0,+∞). f(x)=x² (тенка жолта) и своја инверзна функција f(x)=√x (дебела зелена).

Наводи[уреди | уреди извор]

  1. Weisstein, Eric. „Bijective function“ (англиски). From MathWorld--A Wolfram Web Resource. конс. January 2014. 
  2. C.Clapham, J.Nicholson (2009). „Oxford Concise Dictionary of Mathematics, Bijection“ (PDF) (англиски). Addison-Wesley. стр. 88. конс. January 2014. 
  3. Miller, Jeff (2010). „Earliest Uses of Some of the Words of Mathematics“ (англиски). Tripod. конс. February 2014.  |chapter= ignored (помош)
  4. 4,0 4,1 Tanton, James (2005). Encyclopedia of Mathematics, Cardinality. Facts on File, New York. стр. 60. ISBN 0-8160-5124-0.  (англиски)
  5. „Inverse of Bijection is Bijection“. конс. February 2014. 
  6. „Injection iff Left Inverse“. конс. February 2014. 
  7. „Surjection iff Right Inverse“. конс. February 2014. 
  8. „Bijection iff Left and Right Inverse“. конс. February 2014. 

Поврзано[уреди | уреди извор]

Надворешни врски[уреди | уреди извор]