Функција (математичко образование)

Дефиниција: Во математика зборот функција најчесто се користи за „машина“ со која се „преработуваат“ едни броеви во други броеви.

Идејата е следна:

аргумент или т.н. независно променлива влегува во машината,
се преработува во машината, а потоа
излегува нова вредност т.н. функција или т.н. зависно променлива

Особини:

Математичкиот израз: y=f(x) се чита „ипсилон е еднакво на еф од икс“.
Излезната вредност зависи од влезната вредност и од „машината“, па затоа се вика зависно променлива.
Затоа, влезната вредност, т.е. аргументот се вика независно променлива.
Напомена: математичари го користат зборот функција и за машината и за зависно променливата!

На почетно ниво на математика, се користи буквата х (икс) за независно променливата, а буквата y (ипсилон) за зависно променливата (види долу).

Слика 1: Функција како машина

Пример 1: Опиши ја функцијата: y(x)=3x и најди ја вредноста на функцијата у за аргумент х=7

Решение: Функцијата е дадена со правилна функциска нотација, односно не е пишана

 y=3x.
  Со тоа, јасно е дека функцијата е машината во која „влезната вредност х се множи со бројот 3“.

аргументот x=7 влегува во машината и
се преработува, т.е. 7 се множи со 3, а потоа
вредноста 21 излегува како y ,
т.е. Заменуваме х=7 во функцијата: y(x)=3x па добиваме: y(7)=3•7 =21 . Пишуваме: y(7)=21

Овој тип на функција математички се вика линеарна функција (права).

Напомена: Честопати се користи скратена нотација y=3x наместо y(x)=3x со што доаѓа до забуна при пресметување на вредноста на функцијата, бидејќи сите излезни вредности се означуваат само со у, наместо у(1), у(3),... .

Допуштени вредности

Множеството на броеви кои „смеат“ да бидат аргументи на една функција, т.е. кои „смеат“ да влезат во машината се вика множеството на допуштени вредности D. Види Допуштени вредности (математичко образование).

Правило на 4

Функција може да се опише на 4 начини.

Со зборови,
со математички израз,
со графикон, и
со табела.

Со зборови: Жица чини 3€ на метар должина.	Со математички израз: y(x)=3x, х ≥ 0
Со графикон:	Со табела:

ВАЖНО: Секое опишување има свои недостатоци. Затоа се користат сите 4 претставувања за добро да се разбира што се случува!

Со зборови:
- Позитивно: Со зборови почнуваат сите реални проблеми во живот така да ова е најосновниот опис на функција.
- Негативно: Функција опишана со зборови не дава начин за „пресметување“, ниту преглед на „однесување“.
Со математички израз:
- Позитивно: Израз дава начин за „пресметување“ на вредноста на функцијата у за разни аргументи х (влезни вредности).
- Негативно: (а) Нема преглед на „однесувањето“. (б) Само со изразот не се знае што значат х и у, тоа треба да се прецизира.
  На пример: Ограничување х ≥ 0 не е доволно за да биде овој израз „реален“. Веројатно не може да се купи 1,3854 м должина (т.е. секој број не влегува во „машината“ на продавачот).
Со графикон:
- Позитивно: Графиконот дава визуелна претстава за однесувањето на функцијата.
- Негативно: Се гледа само тој дел од функцијата кој е прикажан.
  На пример: Ако е многу тенка жица, веројатно може да се купи 100 м, но ретко е даден таков графикон каде што се гледа од х=0 до х=100 (па у=0 до у=300).
Со табела:
- Позитивно: Се користи табела за „почетно“ графичко претставување на функции.
- Негативно: Табела е најбедното претставување, т.е. содржи најмалку информации за функцијата. Честопати во табела се ставаат само неколку „убави“ аргументи, односно цели броеви. (Немој да мислиш дека тоа е тоа. Наставници со искуство ги познаваат функциите и знаат да одберат добри „клучни“ вредности за да можат со неколку точки од табела да го нацртаат графиконот. Тоа е искуство (вежбање).)

Пример 2: Опиши ја функцијата: y=3 и најди ја вредноста на функцијата у за аргумент х=7

Решение: Најпрво да ја пишуваме функцијата како што треба, односно

 y(x)=3.  Второ, гледаме дека нема х од десно. Ова е „расипана“ машина, т.е. што да и ставиме како влез, излегува бројот 3.

аргументот x=7 влегува во машината и
не се преработува (бидејќи нема х на десната страна), а потоа
излегува у=3,
т.е. за х=7 ---> y(7)=3 =3 ---> y(7)=3.

Овој тип на функција математички се вика константна функција.

Истата машина/функција може да користи различни букви за аргументот и за функцијата.
- Пример: z = 3w e истата машина-функција како во погорниот пример 1: y(x)=3x. Меѓутоа, сега буквата w e аргументот, а буквата z е функцијата.
- Пример: A=a² е функцијата А=плоштина на квадрат со аргумент страна=а.
Машината може да дава ист излезна вредност за повеќе од еден аргумент (влезна вредност).
- Пример: Функцијата y=x² ја дава истата излезна вредност за x=2 и за x=-2, односно y(2) = 2²= 4 и y(-2) = (-2)²= 4 . Значи машината y=x² произведува y=4 и за x=2 и за x=-2.
Обратното не важи! Машина/функција мора да е еднозначна, т.е. не смее да дава различни излезни вредности за еден влезен аргумент.

Означување

Уште еднаш да повториме дека најчесто се користи променливата y за функција. Исто така се користи проширена, попрецизна y(x) (се чита: у од х) или f(x) за посебно да се потенцира фактот дека функцијата зависи од х.