Сурјективна функција

Сурјекција. До секој елемент во кодоменот B има стрелка од (барем еден) елемент од доменот А

Во математиката, сурјективна функција е функција f : A → B ако секој елемент во B е слика на барем еден елемент од A, односно за секој елемент b од кодоменот B постои барем еден елемент a од доменот А таков што f(a)=b, т.е. кодоменот и сликата на f е истото множество.

Терминот сурјективност и сродните термини инјективност и бијективност беа воведени од страна на Никола Бурбаки (Nicholas Bourbaki) (и група други, главно француски, математичари од 20 век) кој, почнувајќи од 1935 година, напиша серија книги за презентирање на модерната напредна математика. Француската претставка сур значи над или одозгора и се однесува на фактот дека сликата на доменот на сурјективна функција целосно го покрива кодоменот на функцијата.

Не е сурјекција. Постои елемент во кодоменот В без стрелка од елемент во доменот А

Основни својства

Формално имаме:

$f:A\rightarrow B$  е сурјективна функција ако  $\forall b\in B\,\,\exists a\in A$  таков што  $f(a)=b\,.$

Елементот $b$ се вика слика на елементот $a$.

• Формалната дефиниција значи: Секој елемент од кодоменот B е слика на барем еден елемент од доменот A.

Елементот $a$ се вика претслика на елементот $b$.

• Формалната дефиниција значи: Секој елемент од кодоменот B има барем една претслика во доменот A.

Претслика на сурјекција не мора да биде единствена. Во првата слика, и {X} и {Y} се претслики на елементот {1}. Baжно е да има барем една претслика. (Види и: Инјективна функција, Бијективна функција)

Примери

Елементарни функции

Нека f(x):ℝ→ℝ е реална функција y од реален аргумент x. (Значи влез и излез се броеви.)

• Графичко толкување: функцијата f е сурјективна ако секоја хоризонтала права го пресекува графиконот на f во (барем) една точка.
• Алгебарско толкување: функцијата f е сурјективна ако за кој било реален број y_o може да се најде (барем еден) реален број x_o таков што y_o=f(x_o).

Наоѓање на x_o за даден y_o е еквивалентно со прашањата:

• дали равенката f(x)-y_o=0 има решение (или не), односно
• дали функцијата f(x)-y_o има корен (или не).

Во математиката, освен за полиноми од прв, втор (и трет степен) не постојат аналитички методи за одредување на корен, туку истите се одредуваат бројчено.

Од сето ова следува дека формално докажување на сурјективност не е едноставно и тоа треба да се земе во обѕир во дискусиите подолу.

Пример: Линеарната функција на која било коса права е сурјективна, односно y=ax+b каде што a≠0 е сурјекција (и инјекција, така што е бијекција). (Види линеарна функција.)

Доказ: Заменувајќи кој било реален број y_o во функцијата и решавајќи за x, се добива x= (y_o-b)/_a така што x_o=(y_o-b)/_a. Со ова се докажа сурјективноста на функцијата y=ax+b каде што a≠0. (Бидејќи има точно едно решение за секој y_o, оваа функција е и инјективна.)

Практичен пример: y= –2x+4. Кој е претслика на y=2? Тука a=–2, т.е. a≠0 и прашањето е: за кој x e y=2? Заменувајќи y=2 во функцијата се добива x=1, т.е. y(1)=2.

Пример: Функцијата f(x)=x³–3x е сурјективна.

Дискусија: Кубна полиномна равенка x³-3x-y_o=0 има реални коефициенти (a₃=1, a₂=0, a₁=–3, a₀=–y_o), а секоја кубна полиномна равенка има барем еден реален корен. Бидејќи доменот на функцијата е ℝ, следува дека постои (барем еден) x_o таков што (x₀)³-3x₀-y_o=0 и функцијата е сурјективна. (Меѓутоа, оваа функција не е инјективна. На пример, y_o=2 има две претслики: x=–1 и x=2 , а всушност за секој y, –2≤y≤2 функцијата има повеќе од една претслика, т.е. повеќе од еден x таков што f(x)=y.)

Пример: Квадратната функција f(x) = x² не е сурјективна. Нема x таков што x² = −1. Сликата на x² e [0,+∞) , т.е. множеството на ненегативни броеви. (Оваа функција не е ниту инјективна.)

Забелешка: Се разбира дека за секоја несурјективна функција можеме да дефинираме нова сурјективна функција ограничувајќи го кодоменот на сликата. На пример „новата функција“ f_N(x):ℝ→[0,+∞) каде што f_N(x) = x² сега е сурјективна функција. (Ова не е исто со рестрикција на функција во која се ограничува доменот!)

Пример: Експоненцијалната функција f(x) = 10^x не е сурјективна. Сликата на 10^x е (0,+∞), a (0,+∞)≠ℝ. (Оваа функција е инјективна.)

Сурјекција. f(x):ℝ→ℝ (и инјекција)	Сурјекција. f(x):ℝ→ℝ (не е инјекција)	Не е сурјекција. f(x):ℝ→ℝ (не е инјекција)
Не е сурјекција. f(x):ℝ→ℝ (е инјекција)	Сурјекција. f(x):(0,+∞)→ℝ (и инјекција)	Сурјекција. z:ℝ²→ℝ, z=y. (Во сликата се показжува дека претсликата на z=2 е правата y=2.)

Други примери со реални функции

Пример: Инверзната функција на 10^x, односно логаритамската функција со основа 10 f(x):(0,+∞)→ℝ дефиниранa со f(x)=log(x) односно y=log(x) е сурјективна (и инјективна).

• Проекцијата на Декартов производ A × B на еден од неговите фактори е сурјективна функција.

Пример: Функцијата f((x,y)):ℝ²→ℝ дефинирана со z=y е сурјективна. Графиконот е рамнина во 3-димензионален простор, а претслика на z_o е правата y=z_o во x0y рамнината.

• Во 3-димензионални игри, вектори се проектираат на 2-димензионален екран со сурјективна функција.

Поврзано

• Функција
• Инјективна функција
• Бијективна функција

Надворешни врски

• „Injective, Surjective, Bijective“ (англиски). 2013. Посетено на 1 декември 2013. интерактивен квиз
• „Injectivity, Surjectivity“ (англиски). Wolfram Alpha. Архивирано од изворникот на 2013-11-25. Посетено на 1 декември 2013. интерактивно