Инверзна функција

Од Википедија — слободната енциклопедија
Прејди на прегледникот Прејди на пребарувањето
Функцијата ƒ и нејзината инверзна ƒ–1. Како ƒ ја пресликува a во 3, инверзната функција ƒ–1 го пресликува 3 назад во a.

Во математиката, ако функцијата ƒ пресликува множество A во множество B, тогаш нејзината инверзна функција ƒ-1 е таква да го пресликува множеството B во множеството A и тоа така што сложената функција го пресликува секој елемент од множеството A во самиот себе. Не секоја функција има своја инверзна, онаа која има се вика инверзибилна.

На пр., ако е дадена функцијата ƒ таква што ја дава должината во милји ако е дадена должината во метри (ƒ(x) = 1,6 • x), тогаш нејзината инверзна функција g = ƒ-1 ја дава должината во метри ако е позната должината во милји (g(x) = x / 1,6).

Инверзибилност[уреди | уреди извор]

  1. Бидејќи функцијата мора да го пресликува оригиналот само во една слика, функција која не е инјективна не може да има инверзна.
  2. Од друга страна, ако опсегот на функцијата не е идентичен на нејзиниот кодомен, тогаш за некои елементи на множеството слики нема да биде дефинирано пресликувањето ƒ-1.

Затоа може да се рече дека функцијата е инверзибилна акко е бијекција.

На пр. функцијата не е ни инјективна (бидејќи позитивните и негативните броеви имаат иста слика), ни сурјективна (бидејќи е ранг , а не цел кодомен ). Истата функција, но дефинирана како има инверзна функција . Функцијата има инверзна, а нема бидејќи не е инјективна ().

Особини[уреди | уреди извор]

Симетрија[уреди | уреди извор]

Нека id е функција на идентитетот idX = x. Тогаш важи

односно .

Инверзна функција на сложена функција[уреди | уреди извор]

При инверзија на композиција од функции, основните функции го менуваат редоследот:

Автоинверзија[уреди | уреди извор]

Функција на идентитет е инверзна сама на себе:

Графичко претставување[уреди | уреди извор]

Функција и нејзината инверзна функција се симетрични во однос на правата .

Извод на инверзна функција[уреди | уреди извор]

Ако почетната функција е диференцијабилна, тогаш за сите точки во кои важи следната формула за извод на инверзна функција:

Обележување[уреди | уреди извор]

Важно е да се воочи дека -1 во означувањето на инверзна функција не е ознака за експонент. Всушност се запишува како ƒ(x)-1.

Во инфинитезималното сметање ознаката ƒ(n) означува n-ти извод на функцијата:

Во тригонометријата, од историски причини, а не , но е , а не . Токму за да избегне оваа непрецизност, за инверзни тригонометриски функции се користи ознаката arc, а за реципрочни потполно други имиња ().

Литература[уреди | уреди извор]

Поврзано[уреди | уреди извор]