Планкова маса

Во физиката, Планковата маса, означена со m_P, е мерната единица за маса во системот на природни единици познати како Планкови единици. Таа е приближно 0.02 милиграми. За разлика од некои други Планкови единици, како што е Планковата должина, Планковата маса не е основна долна или горна граница; туку, Планковата маса е мерна единица за маса дефинирана користејќи го само она што Макс Планк го сметал за основни и универзални мерни единици. Една Планкова маса е околу масата на Јајце од болва. За споредба, оваа вредност е од редот на 10¹⁵ (квадрилион) пати поголема од највисоката енергија достапна за современи забрзувачи на честички.

Таа е дефинирано како:

$m_{\text{P}}={\sqrt {\frac {\hbar c}{G}}},$

каде c е брзината на светлината во вакуум, G е гравитациската константа и ħ е намалената Планкова константа.

Со замена на вредностите за различните компоненти во оваа дефиниција, ја дава приближната еквивалентна вредност на оваа мерна единица во однос на други единици за маса:

$1\ m_{\mathrm {P} }$ ≈ 1,220910⋅10¹⁹ GeV/c² = (2,176470 ± (51))⋅10^-8 kg = 21,76470 μг = 1,3107⋅10¹⁹ u.

Честичните физичари и космолозите често користат алтернативна нормализација со редуцираната Планкова маса, која гласи

$M_{\text{P}}={\sqrt {\frac {\hbar c}{8\pi G}}}$ ≈ 4,341⋅10^-9 кг = 2,435⋅10¹⁸ GeV/c²..

Факторот на ${\displaystyle }$поедноставува голем број на равенки во општиот релативитет.

Историја

Планковата маса првпат била предложена од Макс Планк во 1899. Тој предложил дека постоеле неколку основни природни единици за должина, маса, време и енергија. Тој ги добил овие единици користејќи само димензионална анализа на она што тој го сметал за најосновни универзални константи: брзината на светлината, гравитациската константа на Њутн и Планковата константа.

Изводи

Димензионална анализа

Формулата за Планковата маса може да се изведе од димензионалната анализа. Во овој пристап, се започнува со трите физички константи; ħ, c и G, и треба да се комбинираат за да се добие количество чија димензија е маса. Формулата што се бара е од облик

$m_{\text{P}}=c^{n_{1}}G^{n_{2}}\hbar ^{n_{3}},$

каде $n_{1},n_{2},n_{3}$ се константи кои треба да бидат утврдени со изедначувањето на димензиите на двете страни. Користејќи ги симболите ${\mathsf {T}}$ за маса, ${\mathsf {M}}$ за должина и ${\mathsf {L}}$ и ${\mathsf {T}}$ за време и запишувајќи [x] за означување на димензијата на некое физичко количество x, го добиваме следното:

$\,[c]\,={\mathsf {L}}{\mathsf {T}}^{-1}\$

$[G]={\mathsf {M}}^{-1}{\mathsf {L}}^{3}{\mathsf {T}}^{-2}$

$\,[\hbar ]\,={\mathsf {M}}{\mathsf {L}}^{2}{\mathsf {T}}^{-1}\$.

Па следи дека,

$[c^{n_{1}}G^{n_{2}}\hbar ^{n_{3}}]={\mathsf {M}}^{-n_{2}+n_{3}}{\mathsf {L}}^{n_{1}+3n_{2}+2n_{3}}{\mathsf {T}}^{-n_{1}-2n_{2}-n_{3}}.$

За да биде ова еднакво на ${\mathsf {M}}$, димензијата на маса, користејќи ${\mathsf {M}}={\mathsf {M}}^{1}{\mathsf {L}}^{0}{\mathsf {T}}^{0}$ следниве равенки треба да се гласат:

$~~~~~~~~~-n_{2}+~~n_{3}=1\$

$~~~n_{1}+3n_{2}+2n_{3}=0\$

$-n_{1}-2n_{2}-~~n_{3}=0\$.

Решение на овој систем е:

$n_{1}=1/2,n_{2}=-1/2,n_{3}=1/2.\$

и така, Планковата маса гласи:

$m_{\text{P}}=c^{1/2}G^{-1/2}\hbar ^{1/2}={\sqrt {\frac {c\hbar }{G}}}.$

За да бидеме сигурни, димензионалната анализа може да утврди формула само до еден бездимензионален фактор. Нема теоретска причина за започнување со намалената Планкова константа ħ наместо со оригиналната Планкова константа h, која се разликува од нејзе со фактор од 2π.

Елиминација на здружната константа

Еквивалентно, Планковата маса е дефинирана така што гравитациската потенцијална енергија помеѓу две маси m_P на оддалеченост р е еднаква со енергијата на фотон (или масовата енергија на гравитон, ако таква честичка постои) на аголна бранова должина r (види Планков однос), или дека нивниот однос изнесува еден.

$E={\frac {Gm_{\text{P}}^{2}}{r}}={\frac {\hbar c}{r}}.$

Изолирајќи го m_P, добиваме дека

$m_{\text{P}}={\sqrt {\frac {\hbar c}{G}}}$

Ако наместо Планкови маси, електронската маса би била користена, равенката би барала гравитациска спојкна константа, аналогно на тоа како равенка за константата на фина структура се однесува на елементарниот полнеж и Планковиот полнеж. Така, Планковата маса може да се гледа како резултат од апсорбирање на гравитациската спојкна константа во единица за маса (и оние кои се на далечина/време), како Планковиот полнеж што прави за константата на фина структура.

Поврзано

• Микро црна дупка
• Величини по големина (маса)
• Планкова должина
• Планкови честички
• Стониеви единици

Надворешни извори

• The NIST Reference on Constants, Units, and Uncertainty