Единична дропка

Парчиња од приближно 1/8 бурек

Единична дропка — рационален број запишан како дропка каде што броителот е 1, а именителот е природен број што не е нула. Според тоа, единечна дропка е реципрочна на позитивен цел број, 1/ n, како: 1/1, 1/2, 1/3, 1/42, итн.

Визуелен приказ на единични дропки, од 1 до 12.

Елементарна аритметика

Со множење на кои било две единечни дропки се добива друга единечна дропка:

${\frac {1}{x}}\times {\frac {1}{y}}={\frac {1}{xy}}$

Од друга страна, со собирање, одземање или делење на две единични дропки се добива резултат кој генерално не е единична дропка:

${\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}={\frac {x+y}{xy}}$

• • 1/2 + 1/5 = 7/10
  • 1/3 + 1/6 = 1/2

${\frac {1}{x}}-{\frac {1}{y}}={\frac {y-x}{xy}}$

• • 1/2 - 1/5 = 3/10
  • 1/3 - 1/6 = 1/6

${\frac {1}{x}}\div {\frac {1}{y}}={\frac {y}{x}}$

Модуларна аритметика

Единичните дропки играат важна улога во модуларната аритметика, бидејќи тие можат да се користат за намалување на модуларната поделба при пресметување на НЗД. Поточно, да претпоставиме дека сакаме да извршиме делење со некоја вредност x, модуло y . За да се изврши делење со x, добро дефинираните модули y, x и y мора да бидат заемно прости броеви. Потоа, користејќи го проширениот Евклидов алгоритам за НЗД, можеме да најдеме a и b такви што

$\displaystyle ax+by=1,$

од што, се заклучува дека

$\displaystyle ax\equiv 1{\pmod {y}},$

или еквивалентно

$a\equiv {\frac {1}{x}}{\pmod {y}}\,$.

Конечни збирови на единични дропки

Секој позитивен рационален број може да се запише како збир на различни единични дропки. На пример:

${\frac {4}{5}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{20}}={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{10}}.$

Древните египетски математичари ги користеле збировите на различни единечни дропки при нивното запишување за поопшти рационални броеви, па затоа таквите суми често се нарекуваат египетски дропки. Денес сè уште постои интерес за анализирање на методите што ги користеле древните да избираат меѓу можните претстави на дробен број и да пресметуваат со такви претстави. Предметот на египетските дропки е исто така предмет на проучување во модерната теорија на броеви; на пример, Ердеш-Грахамовата претпоставка и Ердеш-Штраусовата претпоставка се однесуваат на збирови на единечни дропки, како и дефиницијата на Ore хармоничките броеви .

Во теоријата на геометриски групи, групите триаголници се класифицираат во Евклидови, сферични и хиперболични случаи во зависност од тоа дали нивните поврзани збирови на единични дропки се еднакви на еден, поголем од еден или помали од еден, соодветно.

Редови на единични дропки

Многу добро познати бесконечни редови имаат членови кои се единечни дропки. Во нив спаѓаат:

• Хармоничниот ред, збирот на сите позитивни единечни дропки. Оваа сума се дивергира и

${\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}-\ln n$

тежи кон Ојлер-Маскерониевата константата $\gamma \,$ кога $n$ тежнее кон бесконечност.

• Базелскиот проблем се однесува на збирот на квадратите на единечните дропки, кои конвергираат кон ${\frac {\pi ^{2}}{6}}\,$
• Апериевата константа е збир на единичните дропки на трет степен.

Матрици на единични дропки

Хилбертовата матрица е матрица чии елементи се

$B_{i,j}={\frac {1}{i+j-1}}\,$ .

Таа го има необичното својство да ги има сите елементи на неговата инверзна матрица цел број. Слично на тоа, Ричардсон дефинирал матрица чии елементи се

$C_{i,j}={\frac {1}{F_{i+j-1}}},$

каде $F_{i}\,$ го означува i -тиот Фибоначиев број. Тој ја нарекува оваа матрица Филбертова матрица, таа го има истото својство да има инверзна матрица од цели броеви.

Во веројатноста и статистиката

Во рамномерна распределба на дискретен простор, сите веројатности се единични фракции. Поради начелото на непристрасност, веројатностите со овој облик често се појавуваат во статистичките пресметки. Понатаму, Зипфовиот закон вели дека, за многу набљудувани појави кои вклучуваат избор на ставки од подредена низа, веројатноста дека n -тата ставка е избрана е пропорционална со единичната дропка 1/n.

Во физиката

Боровиот модел на енергетските нивоа на електронските орбити во атом на водород се пропорционални со квадратот на единичните дропки, па оттука и енергетските нивоа на фотоните што можат да бидат емитирани или апсорбирани од атом на водород според овој модел се слично пропорционални со разликата на две од овие дропки. Некое време се верувало дека константата на фината структура е точно единечна дропка, 1/137, но ова е неточно.

Поврзано

• Список на збирови на инверзи на цели броеви