Двоен однос

Точките A, B, C, D и A′, B′, C′, D' се поврзани со проективна трансформација така што нивните двојни односи, (A,B;C,D) и (A′,B′;C′,D′) се еднакви.

Во геометријата, двојниот однос, исто така наречен вкрстен сооднос и анхармоничен однос, е број поврзан со низа од четири колинеарни точки, или точки на проективна права. Ако се дадени четири точки $A,B,C,D$ на една права, нивниот двоен однос е дефиниран како

$(A,B;C,D)={\frac {AC\cdot BD}{BC\cdot AD}}$

каде што ориентацијата на правата го одредува знакот на секое растојание и растојанието се мери како што е проектирано во Евклидов простор. (Ако една од четирите точки е бесконечната (идеалната) точка на правата, тогаш двете растојанија што ја вклучуваат таа точка се исфрлаат од формулата.) Точката $D$ е хармонично конјугирана (хармоничен конјугат) на $C$ во однос на $A$ и $B$ ако двојниот однос на четворката е еднаков на −1, а ваквиот однос се вика хармоничен (со)однос, а четирите точки се вели дека формираат хармонична четворка. Според тоа, двојниот однос може да се смета како мерка за отстапувањето на дадената четворка од точки од овој сооднос; оттука и името анхармоничен (со)однос.

Двојниот однос се запазува при линеарни дробни трансформации. Тоа е во суштина единствената проективна инваријанта на четворка колинеарни точки; ова својство лежи во основата на неговата важност за проективната геометрија.

Вкрстениот однос бил дефиниран во длабоката антика, веројатно веќе од Евклид, и бил разгледан од Пап, кој го забележал неговото клучно непроменливо својство. Тој бил опширно проучуван во XIX век.

Варијанти на овој концепт постојат за четворка од конкурентни прави во проективната рамнина и за четворка точки на Римановата сфера. Во моделот на Кејли-Клајн на хиперболична геометрија, растојанието помеѓу точки се изразува преку на одреден двоен однос.

Терминологија и историја

Точката D е хармонично конјугирана на C во однос на A и B, ако двојниот однос (A,B;C,D) е еднаков на −1.

Пап Александриски имплицитно употребил концепти еквивалентни на двојниот однос во неговата книга „Збирка: Книга VII“. Меѓу раните корисници на ова дело биле Исак Њутн, Мишел Шал и Роберт Симсон. Во 1986 година Александар Џонс направил превод на оригиналот од Пап, а потоа напишал коментар за тоа како лемите на Пап се поврзани со модерната терминологија.

Модерната употреба на двојниот однос во проективната геометрија започнала со Лазар Карно во 1803 година во неговата книга „Géométrie de position“(француски, Геометрија на положба). Користениот термин бил „le rapport anharmonique“ (француски: анхармоничен (со)однос). Германските геометри го нарекуваат „das Doppelverhältnis“ (германски: двоен однос).

Ако се дадени три точки на права, четвртата точка која го прави двојниот однос еднаков на -1 се нарекува проективен хармоничен конјугат. Во 1847 година, Карл фон Штаудт конструкцијата на четвртата точка ја нарекол фрлање (Wurf), и ја искористил конструкцијата за да покаже аритметички својства кои не се очигледни во геометријата. Неговата книга „Алгебра на фрлања“ обезбедувала пристап кон нумеричките тврдења, кои обично се земени како аксиоми, но биле докажани со проективна геометрија.

Англискиот термин „вкрстен сооднос“ (cross-ratio) бил воведен во 1878 година од Вилијам Кингдон Клифорд.

Дефиниција

Двојниот однос на четворка различни точки на проективно продолжената реална права со координати $z_{1},z_{2},z_{3},z_{4}$ е даден со

$(z_{1},z_{2};z_{3},z_{4})={\frac {(z_{3}-z_{1})(z_{4}-z_{2})}{(z_{3}-z_{2})(z_{4}-z_{1})}}.$

Може да се запише и како „двоен однос“ на два односа на поделба на тројки од точки:

$(z_{1},z_{2};z_{3},z_{4})={\frac {z_{3}-z_{1}}{z_{3}-z_{2}}}:{\frac {z_{4}-z_{1}}{z_{4}-z_{2}}}.$

Двојниот однос обично се проширува на случај кога еден од $z_{1},z_{2},z_{3},z_{4}$ е бесконечност $(\infty );$ ова се прави со отстранување на соодветните две разлики од формулата. На пример:

$(\infty ,z_{2};z_{3},z_{4})={\frac {(z_{3}-\infty )(z_{4}-z_{2})}{(z_{3}-z_{2})(z_{4}-\infty )}}={\frac {(z_{4}-z_{2})}{(z_{3}-z_{2})}}.$

Во ознаката во Евклидовата геометрија, ако $A,B,C,D$ се колинеарни точки, нивниот двоен однос е:

$(A,B;C,D)={\frac {AC\cdot BD}{BC\cdot AD}},$

каде секое од растојанијата е означено според ориентацијата на правата.

Истите формули може да се применат на четири различни комплексни броја или, поопшто, на елементи од кое било поле, а исто така може да се прошират како погоре во случај кога еден од нив е симболот $\infty$.

Својства

Двојниот однос на четирите колинеарни точки $A,B,C,D$ може да се запише како

$(A,B;C,D)={\frac {AC}{CB}}:{\frac {AD}{DB}}$

каде ${\frac {AC}{CB}}$ го опишува односот во кој точката $C$ ја дели отсечката $AB$, и ${\frac {AD}{DB}}$ е односот во кој точката $D$ ја дели истата отсечка. Потоа, вкрстениот однос се појавува како однос на два односа, опишувајќи како двете точки $C$, $D$ се поставени во однос на отсечката $AB$. Сè додека точките $A,B,C,D$ се различни, двојниот однос $(A,B;C,D)$ ќе биде реален број различен од нула. Лесно може да се заклучи дека

• $(A,B;C,D)<0$ ако и само ако една од точките $C,D$ лежи помеѓу точките $A,B$, а другата не лежи
• $(A,B;C,D)=1/(A,B;D,C)$
• $(A,B;C,D)=(C,D;A,B)$
• $(A,B;C,D)=(A,B;C,E)\Leftrightarrow D\neq E$

Шест двојни односи

Може да се постават на 4!$=4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=24$ начинa, но има само шест начини за нивно партиционирање на два неподредени пара. Така, четири точки може да имаат само шест различни двојни односа, кои се меѓусебно поврзани со релациите:

${\begin{aligned}&(A,B;C,D)=(B,A;D,C)=(C,D;A,B)=(D,C;B,A)=\lambda \\[6pt]&(A,B;D,C)=(B,A;C,D)=(C,D;B,A)=(D,C;A,B)={\frac {1}{\lambda }}\\[6pt]&(A,C;B,D)=(B,D;A,C)=(C,A;D,B)=(D,B;C,A)=1-\lambda \\[6pt]&(A,C;D,B)=(B,D;C,A)=(C,A;B,D)=(D,B;A,C)={\frac {1}{1-\lambda }}\\[6pt]&(A,D;B,C)=(B,C;A,D)=(C,B;D,A)=(D,A;C,B)={\frac {\lambda -1}{\lambda }}\\[6pt]&(A,D;C,B)=(B,C;D,A)=(C,B;A,D)=(D,A;B,C)={\frac {\lambda }{\lambda -1}}.\end{aligned}}$

Видете анхармонична група подолу.

Проективна геометрија

Повеќе информации: Проективна геометрија

Предлошка:Cross ratio metrology example.svg Двојниот однос е проективна инваријанта, во смисла дека не се менува при проективни трансформации на проективната права.

Конкретно, ако четири точки лежат на права $L$ во $\mathbb {R} ^{2}$, тогаш нивниот двоен однос е добро дефинирана вредност, бидејќи секој избор на координатен почеток, па дури и на размерот на правата ќе ја даде истата вредност на двојниот однос.

Понатаму, нека $\{L_{i}:1\leq i\leq 4\}$ се четири различни прави во рамнината кои минуваат низ иста точка $Q$. Тогаш секоја права $L$ која не минува низ $Q$ ги пресекува овие прави во четири различни точки $P_{i}$ (ако L е паралелна со $\{L_{i}\}$ тогаш соодветната пресечна точка е идеална, т.е. „во бесконечност“). Излегува дека двојниот однос на овие точки (земени по фиксен редослед) не зависи од изборот на правата $L$, па оттука тој е инваријанта за четворката прави $\{L_{i}\}$.

Ова може да се сфати на следниов начин: ако $L$ и $L'$ се две прави кои не минуваат низ $Q$, тогаш перспективната трансформација од $L$ во $L'$ со центарот $Q$ е проективна трансформација која ја носи четворката $\{P_{i}\}$ од точки на $L$ во четворката точки $\{P_{i}'\}$ на $L'$.

Според тоа, непроменливоста на вкрстениот однос при проективни автоморфизми на правата имплицира (всушност, е еквивалентна на) независноста на двојниот однос на четирите колинеарни точки $\{P_{i}\}$ на правите $\{L_{i}\}$ од изборот од правата која ги содржи.

Дефиниција во хомогени координати

Ако четири колинеарни точки се претставени со нивните хомогени координати со вектори $a,b,c,d$ така што $c=a+b$ и $d=k\cdot a+b$, тогаш нивниот двоен однос е $k$.

Улога во неевклидовата геометрија

Артур Кејли и Феликс Клајн нашле примена на двојниот однос во неевклидовата геометрија. Ако е дадена несингуларна коника C во реалната проективна рамнина, нејзиниот стабилизатор $G_{C}$ во проективната група $G=PGL(3,\mathbb {R} )$ делува транзитивно на точките во внатрешноста на C. Сепак, постои инваријанта за дејството на $G_{C}$ на парови од точки. Всушност, секоја таква инваријанта може да се изрази како функција на соодветниот двоен однос. 

Хиперболична геометрија

Експлицитно, нека кониката е единичната кружница. Нека $P$ и $Q$ се кои било две точки во внатрешноста на единичната кружница. Нека правата која ги поврзува ја пресекува кружницата во две точки, $X$ и $Y$ и точките се по редослед $X,P,Q,Y$. Хиперболичното растојание помеѓу $P$ и $Q$ во моделот на Кејли-Клајн на хиперболичната рамнина може да се изрази како

$d_{h}(P,Q)={\frac {1}{2}}\left|\log {\frac {|XQ||PY|}{|XP||QY|}}\right|$

(множителот една половина е потребен за да се направи кривината да биде еднаква на − 1). Бидејќи двојниот однос е непроменлив при проективни трансформации, следува дека хиперболичното растојание е непроменливо при проективни трансформации кои го зачувуваат коникот $C$.

Обратно, групата $G$ делува транзитивно на множеството од парови од точки $(p,q)$ во единичниот диск на фиксно хиперболично растојание.

Подоцна, делумно преку влијанието на Анри Поенкаре, двојниот однос на четири комплексни броја на кружница бил искористен за хиперболична метрика. Да бидат на кружница за четирите точки значи дека се слики на четири реални точки при трансформација на Мебиус, а оттука двојниот однос е реален број. Моделот со полурамнина на Поенкаре и моделот на дискот на Поенкаре се два модела на хиперболична геометрија во комплексната проективна права.

Овие модели се примери на метрика на Кејли-Клајн.

Анхармонична група и Клајнова четири-група

Двојниот однос може да се дефинира со кој било од овие четири израза:

$(A,B;C,D)=(B,A;D,C)=(C,D;A,B)=(D,C;B,A).\,$

Тие се разликуваат по следниве пермутации на променливите (во нотација со циклуси):

$1,\ (A,B)(C,D),\ (A,C)(B,D),\ (A,D)(B,C).$

Можеме да ги сметаме пермутациите на четирите променливи како дејство на симетричната група $S_{4}$ врз функциите од четирите променливи. Бидејќи горенаведените четири пермутации го оставаат двојниот однос непроменет, тие го формираат стабилизаторот К на двојниот однос под оваа акција, и тоа индуцира ефективно дејство на фактор-групата $S_{4}/K$ на орбитата на двојниот однос. Четирите пермутации во $K$ прават реализација на Клајновата четири-група во $S_{4}$, и количникот $S_{4}/K$ е изоморфна на симетричната група $S_{3}$.

Така, останатите пермутации на четирите променливи го менуваат двојниот однос и се добиваат следните шест вредности, кои се орбитата на групата со шест елементи $S_{4}/K\cong S_{3}$:

${\begin{aligned}(A,B;C,D)&=\lambda &(A,B;D,C)&={\frac {1}{\lambda }}\\[6pt](A,C;D,B)&={\frac {1}{1-\lambda }}&(A,C;B,D)&=1-\lambda \\[6pt](A,D;C,B)&={\frac {\lambda }{\lambda -1}}&(A,D;B,C)&={\frac {\lambda -1}{\lambda }}.\end{aligned}}$

Како функции од $\lambda$, ова се примери на трансформации на Мебиус, кои при композиција на функции ја формираат Мебиусовата група $PGL(2,\mathbb {Z} )$. Шесте трансформации формираат подгрупа позната како анхармонична група, која повторно е изоморфна на $S_{3}$. Тие се торзионите елементи (елиптични трансформации) во $PGL(2,\mathbb {Z} )$. Имено, ${\tfrac {1}{\lambda }}$, $1-\lambda \,$, и ${\tfrac {\lambda }{\lambda -1}}$ се од ред 2 во однос на соодветните фиксни точки −1, 1/2 и 2 (имено, орбитата на хармоничниот двоен однос). Во меѓувреме, елементите ${\tfrac {1}{1-\lambda }}$ и ${\tfrac {\lambda -1}{\lambda }}$ се од ред 3 во $PGL(2,\mathbb {Z} )$, и секоја ги фиксира двете вредности $e^{\pm i\pi /3}$ од „најсиметричниот“ двоен однос.

Анхармоничната група е генерирана со $\lambda \mapsto 1/\lambda$ и $\lambda \mapsto 1-\lambda$. Нејзиното дејство на $\{0,1,\infty \}$ дава изоморфизам со $S_{3}$. Може да се реализира и како шесте споменати трансформации на Mебиус, што дава проективно репрезентација на $S_{3}$ на кое било поле (бидејќи е дефинирано со записи со цели броеви), и секогаш е верно/инјективно (бидејќи нема два член кои се разликуваат само по 1/−1). Над полето со два елемента, проективната права има само три точки, така што оваа репрезентација е изоморфизам и е исклучителниот изоморфизам $\mathrm {S} _{3}\approx \mathrm {PGL} (2,2)$. Во одликата 3, овој ја стабилизира точката $-1=[-1:1]$, што одговара на тоа дека орбитата на хармонискиот двоен однос е само една точка, бидејќи $2=1/2=-1$. Над полето со 3 елементи, проективната права има само 4 точки и $\mathrm {S} _{4}\approx \mathrm {PGL} (2,3)$, а со тоа и репрезентацијата е токму стабилизаторот на хармонискиот двоен однос, од каде вградувањето $\mathrm {S} _{3}\hookrightarrow \mathrm {S} _{4}$ е еднаково на стабилизаторот на точката $-1$.

Исклучителни орбити

За одредени вредности на λ ќе има поголема симетрија и затоа помалку од шест можни вредности за двојниот однос. Овие вредности на λ одговараат на фиксните точки на дејството на $S_{3}$ на Римановата сфера (дадени со горенаведените шест функции); или, еквивалентно, оние точки со нетривијален стабилизатор во оваа пермутациона група.

Првата група фиксни точки е $\{0,1,\infty \}$ Сепак, двојниот однос никогаш не може да ги добие овие вредности ако точките $A,B,C,D$ се сите различни. Овие вредности се гранични вредности кога еден пар координати се приближува кон друг:

$(Z,B;Z,D)=(A,Z;C,Z)=0$

$(Z,Z;C,D)=(A,B;Z,Z)=1$

$(Z,B;C,Z)=(A,Z;Z,D)=\infty .$

Втората група на фиксни точки е {−1, 1/2, 2}. Оваа ситуација е она што класично се нарекува хармоничен двоен однос, и настанува во проективни хармончни конјугати. Во реалниот случај, нема други исклучителни орбити.

Во комплексниот случај, најсиметричниот двоен однос се јавува кога $\lambda =e^{\pm i\pi /3}$. Тогаш тоа се единствените две вредности на двојниот однос и со нив се постапува според знакот на пермутацијата.

Трансформациски пристап

Вкрстениот однос е непроменлив при проективните трансформации на права. Во случај на комплексна проективна права, или Римановата сфера, овие трансформации се познати како трансформации на Мебиус. Општата трансформација на Мебиус има облик

$f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}\;,\quad {\text{каде }}a,b,c,d\in \mathbb {C} {\mbox{ и }}ad-bc\neq 0.$

Овие трансформации формираат групово дејство на Римановата сфера, позната како група на Мебиус.

Проективната непроменливост на двојниот однос значи дека

$(f(z_{1}),f(z_{2});f(z_{3}),f(z_{4}))=(z_{1},z_{2};z_{3},z_{4}).\$

Двојниот однос е реален број ако и само ако четирите точки се или колинеарни или конциклични, што го одразува фактот дека секоја трансформација на Мебиус ги пресликува генерализираните кружници во генерализирани кружници.

Дејството на групата на Мебиус е едноставно транзитивно на множеството од тројки од различни точки на Римановата сфера: со оглед на која било подредена тројка од различни точки, $(z_{2},z_{3},z_{4})$, постои единствена трансформација на Мебиус $f(z)$ која ги пресликува во тројката $(1,0,\infty )$. Оваа трансформација може погодно да се опише со користење на двоен однос: бидејќи $(z,z_{2};z_{3},z_{4})$ мора да биде еднаквa на $(f(z),1;0,\infty )$, што пак е еднакво на $f(z)$, добиваме

$f(z)=(z,z_{2};z_{3},z_{4}).$

Алтернативно објаснување за непроменливоста на двојниот однос се заснова на фактот дека групата на проективни трансформации на правата е генерирана од транслациите, хомотетиите и мултипликативната инверзија. Разликите $z_{j}-z_{k}$ се непроменливи при транслациja

$z\mapsto z+a$

каде што $a$ е константа во полето $F$. Понатаму, размерите се непроменливи при хомотетијата

$z\mapsto bz$

за ненулта константа $b$ во $F$. Затоа, двојниот однос е непроменлив при афините трансформации.

Со цел да се добие добро дефинирана инверзија

$T:z\mapsto z^{-1},$

афината права треба да се дополни со точката во бесконечност (или идеалната точка), означена со $\infty$, со што се формира проективната права $P^{1}(F)$. Секое афино пресликување $f:F\rightarrow F$ може на единствен начин да се прошири до пресликување на $P^{1}(F)$ во себе што ја фиксира идеалната точка. пресликувањето $T$ ги заменува $0$ и $\infty$. Проективната група која е генерирана од $T$ и афините пресликувања се прошируваат до $P^{1}(F)$. Во случајот $F=\mathbb {C}$, комплексната рамнина, ова резултира со групата на Mебиус. Бидејќи двојниот однос е исто така непроменлив под $T$, тој е непроменлив при секое проективно пресликување на $P^{1}(F)$ во себе.

Координатен опис

Ако комплексните точки ги запишеме како вектори ${\overrightarrow {x}}_{n}=[\Re (z_{n}),\Im (z_{n})]^{\rm {T}}$ и дефинираме $x_{nm}=x_{n}-x_{m}$, и ако $(a,b)$ е скаларниот производ на $a$ и $b$, тогаш реалниот дел на двојниот однос е даден со:

$C_{1}={\frac {(x_{12},x_{14})(x_{23},x_{34})-(x_{12},x_{34})(x_{14},x_{23})+(x_{12},x_{23})(x_{14},x_{34})}{|x_{23}|^{2}|x_{14}|^{2}}}$

Ова е инваријанта на 2Д специјалната конформална трансформација како што е инверзијата $x^{\mu }\rightarrow {\frac {x^{\mu }}{|x|^{2}}}$ .

Имагинарниот дел мора да го користи 2-димензионалниот векторски производ $a\times b=[a,b]=a_{2}b_{1}-a_{1}b_{2}$

$C_{2}={\frac {(x_{12},x_{14})[x_{34},x_{23}]-(x_{43},x_{23})[x_{12},x_{34}]}{|x_{23}|^{2}|x_{14}|^{2}}}$

Хомографија на прстен

Концептот на вкрстен сооднос зависи само од операциите на прстенот: собирање, множење и инверзија (иако инверзијата на даден елемент не е сигурна во прстенот). Еден пристап кон двојниот однос го толкува како хомографија која пресликува три точки во 0, 1 и бесконечност. Под ограничувања кои се однесуваат на инверзиите, може да се генерира такво пресликување со користење на операциите на прстенот во проективната права над прстенот. Двојниот однос на четири точки е оценка на оваа хомографија во четвртата точка.

Диференцијално-геометриска гледна точка

Оваа теоријата го разгледува пристапот со диференцијално сметање кога се приближуваме кон четирите точки. Ова води до теоријата на Шварцовиот извод, и поопшто до проективните врски.

Генерализации во повисоки димензии

Двојниот однос не се генерализира на едноставен начин во повисоки димензии, најмногу заради другите геометриски својства на конфигурациите на точките, особено колинеарноста - конфигурациските простори се покомплицирани, а различните k -точки од точки не се во општа положба.

Додека проективната линеарна група на проективната права е 3-транзитивна (кои било три различни точки може да се пресликаат во кои било други три точки), и навистина едноставно 3-транзитивна (постои единствена проективно пресликување која ја носи секоја тројка во друга тројка), со двојниот однос на тој начин како единствена проективна инваријанта на група од четири точки, постојат основни геометриски инваријанти во повисока димензија. Проективната линеарна група од n -просторот $\mathbf {P} ^{n}=\mathbf {P} (K^{n+1})$ има $(n+1)^{2}-1$ димензии (затоа што $\mathrm {PGL} (n,K)=\mathbf {P} (\mathrm {GL} (n+1,K)),$ проективизацијата отстранува една димензија), но во други димензии проективната линеарна група е само 2-транзитивна – затоа што три колинеарни точки мора да се пресликаат во три колинеарни точки (што не е ограничување во проективната права) – и затоа нема „генерализиран двоен однос“ заради што има единствена инваријанта од $n^{2}$ точки.

Колинеарноста не е единственото геометриско својство на конфигурациите на точките кое мора да се зачува - на пример, пет точки одредуваат коника, но шест општи точки не лежат на коника, така што дали шесторката од точки лежат на кониката е исто така проективна инваријантна. Може да се проучуваат орбитите на точките во општа положба - на правата „општата положба“ е еквивалентна на тоа да се биде различно, додека во повисоки димензии овој поим бара геометриски размислувања, како што беше дискутирано - но, како што погорното покажува, ова е покомплицирано и помалку информативно.

Како и да е, постои генерализација кај Римановите површини од позитивен генус, во која се користат пресликувањето на Абел-Јакоби и тета функциите.

Поврзано

• Хилбертова метрика

Наводи

• Ларс Алфорс (1953,1966,1979) Комплексна анализа, 1-во издание, страница 25; II и III издание, страница 78, McGraw-HillISBN 0-07-000657-1.
• Viktor Blåsjö (2009) "Jakob Steiner’s Systematische Entwickelung: The Culmination of Classical Geometry", Mathematical Intelligencer 31(1): 21–9.
• John J. Milne (1911) An Elementary Treatise on Cross-Ratio Geometry with Historical Notes, Cambridge University Press.
• Dirk Struik (1953) Lectures on Analytic and Projective Geometry, page 7, Addison-Wesley.
• I. R. Shafarevich & A. O. Remizov (2012) Linear Algebra and Geometry, Springer ISBN 978-3-642-30993-9.

Надворешни врски

• MathPages - Кевин Браун го објаснува двојниот однос во неговата статија за мистичниот хексаграм на Паскал
• Двоен однос при <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Cut-the-knot" rel="mw:ExtLink" title="Cut-the-knot" class="mw-redirect cx-link" data-linkid="326">cut-the-knot</a>
• „{{{title}}}“ од Ерик В. Вајсштајн — MathWorld (англиски)