Константна функција: Разлика помеѓу преработките

Интерактивен преглед на историјата

[проверена преработка]

← Постаро уредување Поново уредување →

Избришана содржина Додадена содржина

НагледноВикитекст

Во редови

Преработка од 11:31, 14 јануари 2014

Ова не е исто што и Константа (математика).

Во математиката, константна функција е функција чија (излезна) вредност е иста за секоја влезна вредност, т.е. функцијата враќа една иста вредност.^[1]^[2]^[3] На пример, функцијата $y(x)=4$ или $y=4$ е константна функција бидејќи вредноста на $y(x)$ е 4 независно колку е вредноста на $x$ (види слика).

Основни својства

Како реална функција од една реална променлива, константна функција ја има општа форма $y(x)=c$ или само $y=c$ .

Графикот на константна функција $y(x)=c$ е хоризонтална права во рамнината која минува низ точката $(0,c)$ .^[4] Доменот, т.е. множеството на допуштените вредности на константна функција е ℝ (сите реални броеви). Иако не фигурира независно променливата х од десна страна, се смета дека се врши „празна замена“ на х со што се добива едната иста вредност, т.е. вредноста с. Сликата или кодоменот, т.е. множеството на излезните вредности е множеството со еден елемент {c}.

Пример: Функцијата

y(x)=-1

или само

y=-1

е константната функција со

c=-1

. Имено, y(0)=–1, y(–2.7)=–1, y(π)=–1,.... Независно од влезната вредност x, излезната вредност е y=–1.

Пример од живот: Продавница каде што секој производ се продава за 1 евро може да се смета како константна функција.

Во контекст на полиномни функции со една независно променливата х, не-нулта константна функција е полином од степен 0, $f(x)=c\,,\,\,c\neq 0$ . Оваа функција нема пресек со x-оската, односно функцијата нема нула (корен). Од друга страна, $f(x)=0$ е идентично нулта функција, и е (тривијална) константна функција каде што секоја x е корен. Графикот на оваа функција е самата х-оска (во рамнината).^[5]

Константна функција е парна функција, т.е. графикот на константна функција е симетрична во однос на y-оската.

Во контекст каде што е дефиниран, извод на една функција ја мери брзината на промена на зависно променливата во однос на независно променливата. Бидејќи кај константна функција $y(x)=c$ не се менува, нејзиниот извод е нула во секоја точка x, односно $(c)'=0$ .^[6]

Пример: Дадена е константната функција

y(x)=-{\sqrt {2}}

. Изводот на y е идентично нултата функција

y'(x)=(-{\sqrt {2}})'=0

.

Обратното важи. Имено, ако изводот у'(x)=0 е идентично нултата функција, следува дека у(x) е константна функција.^[7] Во доказот се користи теорема за средна вредност.

Обопштување

Функција f : A → B е константна функција ако f(X) = f(Y) за секој X и Y во A.^[8]

Пример: z(x,y)=2 е константна функција од А=R² и B=R каде што секој X=(x,y) се пресликува во 2. Графикот на оваа константна функција е рамнината во простор која е паралелна со х0у рамнината и која врви низ точката (0,0,2). Друг пример: z(x,y)=0 e идентично нултата функција чиј график е х0у рамнината во простор.

Пример: Поларната функција ρ(φ)=2,5 е константната функција каде што секој агол φ се пресликува во радиусот ρ=2,5. Графикот на оваа константна функција е кружницата со радиус 2,5 во рамнината.

Општа константна функција

Константна функција z(x,y)=2

Константна поларна функција ρ(φ)=2,5

Наводи

↑ Tanton, James (2005). Encyclopedia of Mathematics. Facts on File, New York. стр. 94. ISBN 0-8160-5124-0. (англиски)
↑ C.Clapham, J.Nicholson (2009). „Oxford Concise Dictionary of Mathematics, Constant Function“ (PDF) (англиски). Addison-Wesley. стр. 175. Посетено на јануари 2014. Проверете ги датумските вредности во: |accessdate= (help)
↑ Weisstein, Eric (1999). CRC Concise Encyclopedia of Mathematics. CRC Press, London. стр. 313. ISBN 0-8493-9640-9. (англиски)
↑ Dawkins, Paul (2007). „College Algebra“ (англиски). Lamar University. стр. 224. Посетено на јануари 2014. Проверете ги датумските вредности во: |accessdate= (help)
↑ Carter, John A.; Cuevas, Gilbert J.; Holliday, Berchie; Marks, Daniel; McClure, Melissa S. (2005). Advanced Mathematical Concepts - Pre-calculus with Applications, Student Edition (1. изд.). Glencoe/McGraw-Hill School Pub Co. стр. 22. ISBN 978-0078682278. (англиски)
↑ Dawkins, Paul (2007). „Derivative Proofs“ (англиски). Lamar University. Посетено на January 2014. Проверете ги датумските вредности во: |accessdate= (help)
↑ „Zero Derivative implies Constant Function“ (англиски). Посетено на January 2014. Проверете ги датумските вредности во: |accessdate= (help)
↑ http://planetmath.org/ConstantFunction

Поврзанo

Надворешни врски

Weisstein, Eric W. „Constant Function“ (англиски). From MathWorld--A Wolfram Web Resource. Посетено на јануари 2014. Проверете ги датумските вредности во: |accessdate= (help)

[1] Tanton, James (2005). Encyclopedia of Mathematics. Facts on File, New York. стр. 94. ISBN 0-8160-5124-0. (англиски)

[2] C.Clapham, J.Nicholson (2009). „Oxford Concise Dictionary of Mathematics, Constant Function“ (PDF) (англиски). Addison-Wesley. стр. 175. Посетено на јануари 2014. Проверете ги датумските вредности во: |accessdate= (help)

[3] Weisstein, Eric (1999). CRC Concise Encyclopedia of Mathematics. CRC Press, London. стр. 313. ISBN 0-8493-9640-9. (англиски)

[4] Dawkins, Paul (2007). „College Algebra“ (англиски). Lamar University. стр. 224. Посетено на јануари 2014. Проверете ги датумските вредности во: |accessdate= (help)

[5] Carter, John A.; Cuevas, Gilbert J.; Holliday, Berchie; Marks, Daniel; McClure, Melissa S. (2005). Advanced Mathematical Concepts - Pre-calculus with Applications, Student Edition (1. изд.). Glencoe/McGraw-Hill School Pub Co. стр. 22. ISBN 978-0078682278. (англиски)

[6] Dawkins, Paul (2007). „Derivative Proofs“ (англиски). Lamar University. Посетено на January 2014. Проверете ги датумските вредности во: |accessdate= (help)

[7] „Zero Derivative implies Constant Function“ (англиски). Посетено на January 2014. Проверете ги датумските вредности во: |accessdate= (help)

[8] ttp://planetmath.org/ConstantFunction

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

@@ Ред 7: / Ред 7: @@
 Како реална функција од една реална променлива, константна функција ја има општа форма &nbsp;<math>y(x)=c</math>&nbsp; или само &nbsp;<math>y=c</math>&nbsp;.
-Графикот на константна функција &nbsp;<math>y(x)=</math>&nbsp; е '''хоризонтална права''' во [[рамнина]]та која минува низ точката <math>(0,c)</math>.<ref>{{cite web|title=College Algebra|last1=Dawkins|first1=Paul|year=2007|publisher= Lamar University|url=http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/Alg/Alg.aspx|page=224|language=англиски|accessdate=јануари 2014}}</ref> [[Домен]]от, т.е. множеството на [[Допуштени вредности (математичко образование)|допуштените вредности]] на константна функција е &#8477; (сите реални броеви). Иако не фигурира независно променливата ''х'' од десна страна, се смета дека се врши „празна замена“ на ''х'' со што се добива едната иста вредност, т.е. вредноста ''с''. Сликата или [[Домен|кодомен]]от, т.е. множеството на излезните вредности е множеството со еден елелемент {''c''}.
+[[График]]от на константна функција &nbsp;<math>y(x)=c</math>&nbsp; е '''[[права (геометрија)| хоризонтална права]]''' во [[рамнина]]та која минува низ точката <math>(0,c)</math>.<ref>{{cite web|title=College Algebra|last1=Dawkins|first1=Paul|year=2007|publisher= Lamar University|url=http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/Alg/Alg.aspx|page=224|language=англиски|accessdate=јануари 2014}}</ref> [[Домен]]от, т.е. множеството на [[Допуштени вредности (математичко образование)|допуштените вредности]] на константна функција е &#8477; (сите реални броеви). Иако не фигурира независно променливата ''х'' од десна страна, се смета дека се врши „празна замена“ на ''х'' со што се добива едната иста вредност, т.е. вредноста ''с''. Сликата или [[Домен|кодомен]]от, т.е. множеството на излезните вредности е множеството со еден елемент {''c''}.
-:'''Пример:''' На пример, &nbsp;<math>y(x)=-1</math>&nbsp; или само &nbsp;<math>y=-1</math>&nbsp; е константната функција со &nbsp;<math>c=-1</math>&nbsp;. Имено, ''y''(0)=&ndash;1, ''y''(&ndash;2.7)=&ndash;1, ''y''(&pi;)=&ndash;1,.... Независно од влезната вредност ''x'', излезната вредност е ''y''=&ndash;1.
+:'''Пример:''' Функцијата <math>y(x)=-1</math>&nbsp; или само &nbsp;<math>y=-1</math>&nbsp; е константната функција со &nbsp;<math>c=-1</math>&nbsp;. Имено, ''y''(0)=&ndash;1, ''y''(&ndash;2.7)=&ndash;1, ''y''(&pi;)=&ndash;1,.... Независно од влезната вредност ''x'', излезната вредност е ''y''=&ndash;1.
 :'''Пример од живот:''' Продавница каде што секој производ се продава за 1 евро може да се смета како константна функција.
@@ Ред 19: / Ред 19: @@
 Во контекст каде што е дефиниран, [[извод]] на една функција ја мери брзината на промена на зависно променливата во однос на независно променливата. Бидејќи кај константна функција <math>y(x)=c</math> не се менува, нејзиниот извод е нула во секоја точка ''x'',  односно <math>(c)'=0</math>&nbsp;.<ref>{{cite web|url=http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcI/DerivativeProofs.aspx|title=Derivative Proofs|year=2007||last1=Dawkins|first1=Paul|publisher= Lamar University|language=англиски|accessdate=January 2014}}</ref>
-:'''Пример:''' Дадена е константната функција &nbsp;<math>y(x)=-\sqrt{2}</math>&nbsp;. Изводот на ''y'' е идентично нулта функција &nbsp;<math>y'(x)=(-\sqrt{2})'=0</math>&nbsp;.
+:'''Пример:''' Дадена е константната функција &nbsp;<math>y(x)=-\sqrt{2}</math>&nbsp;. Изводот на ''y'' е идентично нултата функција &nbsp;<math>y'(x)=(-\sqrt{2})'=0</math>&nbsp;.
 Обратното важи. Имено, ако изводот ''у''&#39;(''x'')=0  е идентично нултата функција, следува дека ''у''(''x'') е константна функција.<ref>{{cite web|url=http://www.proofwiki.org/wiki/Zero_Derivative_implies_Constant_Function|title=Zero Derivative implies Constant Function|language=англиски|accessdate=January 2014}}</ref> Во доказот се користи [[Теореми_за_средна_вредност|теорема за средна вредност]].
 ==Обопштување==
-Функција  ''f''&nbsp;:&nbsp;''A'' → ''B'' е константна функција ако ''f''(''X'') = ''f''(''Y'') за секој ''X'' и ''Y'' во ''A''.
+Функција  ''f''&nbsp;:&nbsp;''A'' → ''B'' е константна функција ако ''f''(''X'') = ''f''(''Y'') за секој ''X'' и ''Y'' во ''A''.<ref>http://planetmath.org/ConstantFunction</ref>
-:'''Пример:''' ''z''(''x'',''y'')=2 е константна функција од ''А''='''R²''' и ''B''='''R''' каде што секој ''X''=(''x'',''y'') се пресликува во 2. Графикот на оваа константна функција е рамнината во простор која е паралелна со ''х''0''у'' рамнината и која врви низ точката (0,0,2). Друг пример: ''z''(''x'',''y'')=0 e идентично нулта функција чиј график е ''х''0''у'' рамнината во простор.
+:'''Пример:''' ''z''(''x'',''y'')=2 е константна функција од ''А''='''R²''' и ''B''='''R''' каде што секој ''X''=(''x'',''y'') се пресликува во 2. Графикот на оваа константна функција е рамнината во простор која е паралелна со ''х''0''у'' рамнината и која врви низ точката (0,0,2). Друг пример: ''z''(''x'',''y'')=0 e идентично нултата функција чиј график е ''х''0''у'' рамнината во простор.
 :'''Пример:''' [[Поларна функција|Поларната функција]] ''&rho;''(''&phi;'')=2,5 е константната функција каде што секој ''агол'' &phi; се пресликува во ''радиусот'' &rho;=2,5. Графикот на оваа константна функција е кружницата со радиус 2,5 во рамнината.
@@ Ред 48: / Ред 48: @@
 ==Надворешни врски==
 *{{cite web|url=http://mathworld.wolfram.com/ConstantFunction.html||last1=Weisstein|first1=Eric W.|title=Constant Function|publisher=From MathWorld--A Wolfram Web Resource|language=англиски|accessdate=јануари 2014}}
-*http://planetmath.org/ConstantFunction
 [[Категорија: Алгебра]]