Извод од количник

Статии поврзани со математичката анализа

Основна теорема на анализата Лимес на функција Непрекинатост Векторска анализа Теорија на редови Теорија на низи Тензорско сметање

Диференцијално сметање

Извод од производ Извод од количник Извод на сложена функција Извод на имплицитна функција Формула на Тејлор Теореми за средна вредност

Интегрално сметање

Таблица на основни интеграли Несвојствен интеграл

Методи на интегрирање

Интегрирање по делови Интегрирање со смена Ојлерови смени Тригонометриски смени Портал: Математика

При диференцирање на количник на две функции важат построги критериуми околу постоењето на изводот, т.е. мора да бидат задоволени неколку суштински предуслови, пред сѐ функцијата која е во именителот да има вредност различна од нула во точката во која го пресметуваме изводот.

Како се бара извод од количник на две функции?

Формално, тврдењето е следново:

Нека $\ f$ и $\ g$ се реални функции определени на интервалот $\ P$ и диференцијабилни во точка $\ x_{0}\in P$ и нека, дополнително, $\ g(x_{0})\neq 0$. Тогаш и нивниот количник ${\frac {f}{g}}$ е диференцијабилен во точката $\ x_{0}\in P$, и при тоа важи:

$\left({\frac {f}{g}}\right)^{\prime }(x_{0})={\frac {f^{\prime }(x_{0})g(x_{0})-f(x_{0})g^{\prime }(x_{0})}{\left(g(x_{0})\right)^{2}}}$

Ако двете функции се диференцијабилни во секоја точка од интервалот и уште $\ g$ е различна од нула во секоја точка, тогаш формално се бележи:

$\left({\frac {f}{g}}\right)^{\prime }={\frac {f^{\prime }g-fg^{\prime }}{g^{2}}}$

Доказ

Нека $\ f$ и $\ g$ се диференцијабилни во точка $\ x_{0}\in P$ и $\ g(x_{0})\neq 0$. Тогаш:

$f^{\prime }(x_{0})=\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}$ и

$g^{\prime }(x_{0})=\lim _{x\to x_{0}}{\frac {g(x)-g(x_{0})}{x-x_{0}}}$

Тогаш за изводот на количникот имаме:

$\left({\frac {f}{g}}\right)^{\prime }=\lim _{x\to x_{0}}{\frac {\left({\frac {f}{g}}\right)(x)-\left({\frac {f}{g}}\right)(x_{0})}{x-x_{0}}}=\lim _{x\to x_{0}}\left[{\frac {1}{x-x_{0}}}\cdot \left({\frac {f(x)}{g(x)}}-{\frac {f(x_{0})}{g(x_{0})}}\right)\right]=$

$=\lim _{x\to x_{0}}\left[{\frac {1}{x-x_{0}}}\cdot {\frac {f(x)g(x_{0})-f(x_{0})g(x)}{g(x)g(x_{0})}}\right]=\lim _{x\to x_{0}}{\frac {1}{g(x)g(x_{0})}}\cdot \lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)g(x_{0})-f(x_{0})g(x)}{x-x_{0}}}=$

$={\frac {1}{(g(x_{0}))^{2}}}\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)g(x_{0})-f(x_{0})g(x)-g(x_{0})f(x_{0})+g(x_{0})f(x_{0})}{x-x_{0}}}=$

${\frac {1}{(g(x_{0}))^{2}}}\left[g(x_{0})\cdot \lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}-f(x_{0})\cdot \lim _{x\to x_{0}}{\frac {g(x)-g(x_{0})}{x-x_{0}}}\right]=$

${\frac {1}{(g(x_{0}))^{2}}}\left(g(x_{0})\cdot f^{\prime }(x_{0})-f(x_{0})\cdot g^{\prime }(x_{0})\right)={\frac {f^{\prime }(x_{0})g(x_{0})-f(x_{0})g^{\prime }(x_{0})}{\left(g(x_{0})\right)^{2}}}$

Поврзано

• Диференцијално сметање
• Извод од производ
• Интегрално сметање
• Математичка анализа

Извори

Шекутковски, Никита Архивирано на 21 декември 2007 г.: Математичка анализа I, Просветно Дело, Скопје, 1996