Од Википедија — слободната енциклопедија
При диференцирање на количник на две функции важат построги критериуми околу постоењето на изводот , т.е. мора да бидат задоволени неколку суштински предуслови, пред сѐ функцијата која е во именителот да има вредност различна од нула во точката во која го пресметуваме изводот.
Формално, тврдењето е следново:
Нека
f
{\displaystyle \ f}
g
{\displaystyle \ g}
реални функции определени на интервалот
P
{\displaystyle \ P}
x
0
∈
P
{\displaystyle \ x_{0}\in P}
g
(
x
0
)
≠
0
{\displaystyle \ g(x_{0})\neq 0}
f
g
{\displaystyle {\frac {f}{g}}}
x
0
∈
P
{\displaystyle \ x_{0}\in P}
(
f
g
)
′
(
x
0
)
=
f
′
(
x
0
)
g
(
x
0
)
−
f
(
x
0
)
g
′
(
x
0
)
(
g
(
x
0
)
)
2
{\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)^{\prime }(x_{0})={\frac {f^{\prime }(x_{0})g(x_{0})-f(x_{0})g^{\prime }(x_{0})}{\left(g(x_{0})\right)^{2}}}}
Ако двете функции се диференцијабилни во секоја точка од интервалот и уште
g
{\displaystyle \ g}
(
f
g
)
′
=
f
′
g
−
f
g
′
g
2
{\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)^{\prime }={\frac {f^{\prime }g-fg^{\prime }}{g^{2}}}}
Нека
f
{\displaystyle \ f}
g
{\displaystyle \ g}
x
0
∈
P
{\displaystyle \ x_{0}\in P}
g
(
x
0
)
≠
0
{\displaystyle \ g(x_{0})\neq 0}
f
′
(
x
0
)
=
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
−
f
(
x
0
)
x
−
x
0
{\displaystyle f^{\prime }(x_{0})=\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}}
g
′
(
x
0
)
=
lim
x
→
x
0
g
(
x
)
−
g
(
x
0
)
x
−
x
0
{\displaystyle g^{\prime }(x_{0})=\lim _{x\to x_{0}}{\frac {g(x)-g(x_{0})}{x-x_{0}}}}
Тогаш за изводот на количникот имаме:
(
f
g
)
′
=
lim
x
→
x
0
(
f
g
)
(
x
)
−
(
f
g
)
(
x
0
)
x
−
x
0
=
lim
x
→
x
0
[
1
x
−
x
0
⋅
(
f
(
x
)
g
(
x
)
−
f
(
x
0
)
g
(
x
0
)
)
]
=
{\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)^{\prime }=\lim _{x\to x_{0}}{\frac {\left({\frac {f}{g}}\right)(x)-\left({\frac {f}{g}}\right)(x_{0})}{x-x_{0}}}=\lim _{x\to x_{0}}\left[{\frac {1}{x-x_{0}}}\cdot \left({\frac {f(x)}{g(x)}}-{\frac {f(x_{0})}{g(x_{0})}}\right)\right]=}
=
lim
x
→
x
0
[
1
x
−
x
0
⋅
f
(
x
)
g
(
x
0
)
−
f
(
x
0
)
g
(
x
)
g
(
x
)
g
(
x
0
)
]
=
lim
x
→
x
0
1
g
(
x
)
g
(
x
0
)
⋅
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
g
(
x
0
)
−
f
(
x
0
)
g
(
x
)
x
−
x
0
=
{\displaystyle =\lim _{x\to x_{0}}\left[{\frac {1}{x-x_{0}}}\cdot {\frac {f(x)g(x_{0})-f(x_{0})g(x)}{g(x)g(x_{0})}}\right]=\lim _{x\to x_{0}}{\frac {1}{g(x)g(x_{0})}}\cdot \lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)g(x_{0})-f(x_{0})g(x)}{x-x_{0}}}=}
=
1
(
g
(
x
0
)
)
2
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
g
(
x
0
)
−
f
(
x
0
)
g
(
x
)
−
g
(
x
0
)
f
(
x
0
)
+
g
(
x
0
)
f
(
x
0
)
x
−
x
0
=
{\displaystyle ={\frac {1}{(g(x_{0}))^{2}}}\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)g(x_{0})-f(x_{0})g(x)-g(x_{0})f(x_{0})+g(x_{0})f(x_{0})}{x-x_{0}}}=}
1
(
g
(
x
0
)
)
2
[
g
(
x
0
)
⋅
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
−
f
(
x
0
)
x
−
x
0
−
f
(
x
0
)
⋅
lim
x
→
x
0
g
(
x
)
−
g
(
x
0
)
x
−
x
0
]
=
{\displaystyle {\frac {1}{(g(x_{0}))^{2}}}\left[g(x_{0})\cdot \lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}-f(x_{0})\cdot \lim _{x\to x_{0}}{\frac {g(x)-g(x_{0})}{x-x_{0}}}\right]=}
1
(
g
(
x
0
)
)
2
(
g
(
x
0
)
⋅
f
′
(
x
0
)
−
f
(
x
0
)
⋅
g
′
(
x
0
)
)
=
f
′
(
x
0
)
g
(
x
0
)
−
f
(
x
0
)
g
′
(
x
0
)
(
g
(
x
0
)
)
2
{\displaystyle {\frac {1}{(g(x_{0}))^{2}}}\left(g(x_{0})\cdot f^{\prime }(x_{0})-f(x_{0})\cdot g^{\prime }(x_{0})\right)={\frac {f^{\prime }(x_{0})g(x_{0})-f(x_{0})g^{\prime }(x_{0})}{\left(g(x_{0})\right)^{2}}}}
Шекутковски, Никита Архивирано на 21 декември 2007 г.Математичка анализа I , Просветно Дело, Скопје, 1996
![{\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)^{\prime }=\lim _{x\to x_{0}}{\frac {\left({\frac {f}{g}}\right)(x)-\left({\frac {f}{g}}\right)(x_{0})}{x-x_{0}}}=\lim _{x\to x_{0}}\left[{\frac {1}{x-x_{0}}}\cdot \left({\frac {f(x)}{g(x)}}-{\frac {f(x_{0})}{g(x_{0})}}\right)\right]=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1408ae34002c4d62276421752d96664308d210af)
![{\displaystyle =\lim _{x\to x_{0}}\left[{\frac {1}{x-x_{0}}}\cdot {\frac {f(x)g(x_{0})-f(x_{0})g(x)}{g(x)g(x_{0})}}\right]=\lim _{x\to x_{0}}{\frac {1}{g(x)g(x_{0})}}\cdot \lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)g(x_{0})-f(x_{0})g(x)}{x-x_{0}}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4df23574c17a7afc1d5eaaeabebd7fe5305eee8d)
![{\displaystyle {\frac {1}{(g(x_{0}))^{2}}}\left[g(x_{0})\cdot \lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}-f(x_{0})\cdot \lim _{x\to x_{0}}{\frac {g(x)-g(x_{0})}{x-x_{0}}}\right]=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b1872e0c128a61efc94bbb688d0484dc3cd4581)
