Интегрирање по делови

Статии поврзани со математичката анализа

Основна теорема на анализата Лимес на функција Непрекинатост Векторска анализа Теорија на редови Теорија на низи Тензорско сметање

Диференцијално сметање

Извод од производ Извод од количник Извод на сложена функција Извод на имплицитна функција Формула на Тејлор Теореми за средна вредност

Интегрално сметање

Таблица на основни интеграли Несвојствен интеграл

Методи на интегрирање

Интегрирање по делови Интегрирање со смена Ојлерови смени Тригонометриски смени Портал: Математика

Графичко толкување на теоремата. Нацртаната крива е параметризирана од променливата t.

Интегрирање по делови, или уште парцијална интеграција, во математиката еден од основните методи за решавање на интеграли. Се применува, во слични облици, и кај определените и кај неопределените интеграли. Правилото всушност ги дава потребните услови за постоење на интегралот од производот на две функции, како и начинот на негово пресметување, доколку тој секако постои.

Парцијална интеграција кај неопределен интеграл

Формално тврдењето е следново: нека $\ f$ и $\ g$ се диференцијабилни функции на некој интервал. Ако функцијата $\ f^{\prime }(x)g(x)$ има примитивна функција на интервалот, тогаш и функцијата $\ f(x)g^{\prime }(x)$ има примитивна функција на истиот интервал и важи:

$\int f(x)g^{\prime }(x)\,dx=f(x)g(x)-\int f^{\prime }(x)g(x)\,dx$

Ќе ја покажеме точноста: за изводот од производот на функциите $\ f$ и $\ g$ имаме:

$\left(f(x)g(x)\right)^{\prime }=f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x)$

односно:

$f(x)g^{\prime }(x)=\left(f(x)g(x)\right)^{\prime }-f^{\prime }(x)g(x)$

Ако го интегрираме равенството, заради својствата на интегрирањето имаме:

$\int f(x)g^{\prime }(x)\,dx=\int \left[\left(f(x)g(x)\right)^{\prime }-f^{\prime }(x)g(x)\right]\,dx$

$\int f(x)g^{\prime }(x)\,dx=\int \left(f(x)g(x)\right)^{\prime }\,dx-\int f^{\prime }(x)g(x)\,dx$

Конечно:

$\int f(x)g^{\prime }(x)\,dx=f(x)g(x)-\int f^{\prime }(x)g(x)\,dx$

Примери

Видете ги примерите во статијата за Интегрално сметање.

Парцијална интеграција кај определен интеграл

Формално тврдењето е следново: нека функциите $\ f$ и $\ g$ се глатки (имаат непрекинат прв извод) на интервалот $[a,b]$. Тогаш точно е следново равенство:

$\int _{a}^{b}f(x)g^{\prime }(x)\,dx=f(x)g(x)|_{a}^{b}-\int _{a}^{b}f^{\prime }(x)g(x)\,dx$

Доказот на ова тврдење е ист како кај неопределениот интеграл, со таа разлика што сега се земени предвид границите на интеграција.

Примери

Видете ги примерите во статијата за Интегрално сметање.