Од Википедија — слободната енциклопедија
Графичко толкување на теоремата. Нацртаната крива е параметризирана од променливата t. Интегрирање по делови, или уште парцијална интеграција , во математиката еден од основните методи за решавање на интеграли . Се применува, во слични облици, и кај определените и кај неопределените интеграли. Правилото всушност ги дава потребните услови за постоење на интегралот од производот на две функции , како и начинот на негово пресметување, доколку тој секако постои.
Формално тврдењето е следново: нека
f
{\displaystyle \ f}
g
{\displaystyle \ g}
диференцијабилни функции на некој интервал. Ако функцијата
f
′
(
x
)
g
(
x
)
{\displaystyle \ f^{\prime }(x)g(x)}
примитивна функција на интервалот, тогаш и функцијата
f
(
x
)
g
′
(
x
)
{\displaystyle \ f(x)g^{\prime }(x)}
∫
f
(
x
)
g
′
(
x
)
d
x
=
f
(
x
)
g
(
x
)
−
∫
f
′
(
x
)
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int f(x)g^{\prime }(x)\,dx=f(x)g(x)-\int f^{\prime }(x)g(x)\,dx}
Ќе ја покажеме точноста: за изводот од производот на функциите
f
{\displaystyle \ f}
g
{\displaystyle \ g}
(
f
(
x
)
g
(
x
)
)
′
=
f
′
(
x
)
g
(
x
)
+
f
(
x
)
g
′
(
x
)
{\displaystyle \left(f(x)g(x)\right)^{\prime }=f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x)}
односно:
f
(
x
)
g
′
(
x
)
=
(
f
(
x
)
g
(
x
)
)
′
−
f
′
(
x
)
g
(
x
)
{\displaystyle f(x)g^{\prime }(x)=\left(f(x)g(x)\right)^{\prime }-f^{\prime }(x)g(x)}
Ако го интегрираме равенството, заради својствата на интегрирањето имаме:
∫
f
(
x
)
g
′
(
x
)
d
x
=
∫
[
(
f
(
x
)
g
(
x
)
)
′
−
f
′
(
x
)
g
(
x
)
]
d
x
{\displaystyle \int f(x)g^{\prime }(x)\,dx=\int \left[\left(f(x)g(x)\right)^{\prime }-f^{\prime }(x)g(x)\right]\,dx}
∫
f
(
x
)
g
′
(
x
)
d
x
=
∫
(
f
(
x
)
g
(
x
)
)
′
d
x
−
∫
f
′
(
x
)
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int f(x)g^{\prime }(x)\,dx=\int \left(f(x)g(x)\right)^{\prime }\,dx-\int f^{\prime }(x)g(x)\,dx}
Конечно:
∫
f
(
x
)
g
′
(
x
)
d
x
=
f
(
x
)
g
(
x
)
−
∫
f
′
(
x
)
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int f(x)g^{\prime }(x)\,dx=f(x)g(x)-\int f^{\prime }(x)g(x)\,dx}
Видете ги примерите во статијата за Интегрално сметање . Формално тврдењето е следново: нека функциите
f
{\displaystyle \ f}
g
{\displaystyle \ g}
непрекинат прв извод ) на интервалот
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
∫
a
b
f
(
x
)
g
′
(
x
)
d
x
=
f
(
x
)
g
(
x
)
|
a
b
−
∫
a
b
f
′
(
x
)
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g^{\prime }(x)\,dx=f(x)g(x)|_{a}^{b}-\int _{a}^{b}f^{\prime }(x)g(x)\,dx}
Доказот на ова тврдење е ист како кај неопределениот интеграл, со таа разлика што сега се земени предвид границите на интеграција.
Видете ги примерите во статијата за Интегрално сметање . 
![{\displaystyle \int f(x)g^{\prime }(x)\,dx=\int \left[\left(f(x)g(x)\right)^{\prime }-f^{\prime }(x)g(x)\right]\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fffa51cd7a2db315c5629740b4ac130308b95562)
![{\displaystyle [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
