Несвојствен интеграл

Од Википедија — слободната енциклопедија
Прејди на прегледникот Прејди на пребарувањето
Статии поврзани со математичката анализа

Основна теорема на анализата
Лимес на функција
Непрекинатост
Векторска анализа
Теорија на редови
Теорија на низи
Тензорско сметање

Диференцијално сметање

Извод од производ
Извод од количник
Извод на сложена функција
Извод на имплицитна функција
Формула на Тејлор
Теореми за средна вредност

Интегрално сметање

Таблица на основни интеграли
Несвојствен интеграл

Методи на интегрирање

Интегрирање по делови
Интегрирање со смена
Ојлерови смени
Тригонометриски смени

Несвојствен интеграл претставува генерација на определен интеграл на неограничени интервали на интеграција и неограничени подинтегрални функции.

Дефиниција[уреди | уреди извор]

Несвојствениот интеграл за функцијата , ако постои , е интеграл според дефиницијата еднаков на граничната вредност (лимес), .

За , несвојствениот интеграл е еднаков на Римановиот поради непрекинатоста на лимесот.

Видови интеграли[уреди | уреди извор]

Се разликуваат несвојствени интеграли од првиот и вториот вид.

Несвојствени интеграли од првиот вид[уреди | уреди извор]

Кај несвојствените интеграли од првиот вид, подинтегралната функција е дефинирана во бесконечниот интервал на интеграција. Во зависност од интервалот на интеграција, постојат три типа на несвојствени интеграли со бесконечен интервал кои се дефинираат како гранични вредности, но на различни начини:

  • кога интервалот на интеграцијата на полуоската е затворен лево, :
  • кога интервалот на интеграцијата на полуоската е затворен десно, :
  • кога интервалот е права на целите броеви, :

Несвојствени интеграли од вториот вид[уреди | уреди извор]

Несвојствените интеграли од вториот вид се интеграли во кои интервалот на интеграција е конечен, но подинтегралната функција е неограничена во една точка наречена сингуларна точка. Постојат три типа на несвојствени интеграли од вториот вид, во зависност од позицијата на сингуларната точка:

  • кога функцијата е дефинирана во десно-отворен интервал, , где :
  • кога функцијата е дефинирана во лево-отворен интервал, , где :
  • кога функцијата е дефинирана во цел интервал , освен во една внатрешна точка -{c}-, во којашто е неограничена :

Својства[уреди | уреди извор]

Со ограничување на лимесот кај својствата на Римановите интеграли, лесно е да се добијат следниве својства на несвојствените интеграли:

  • , ако постои барем еден од трите израза.
  • , ако постои барем еден од трите израза.

Кошиев критериум за несвојствените интеграли[уреди | уреди извор]

Интегралот постои во несвојствена смисла ⇔ Ова лесно се докажува од Кошиевиот конвергенциски критериум, каде што функцијата на која се дефинира лимесот се заменува со конкретниот несвојствен интеграл .

Поврзано[уреди | уреди извор]

Библиографија[уреди | уреди извор]

  • Apostol, T (1974), Mathematical analysis, Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-00288-1 .
  • Apostol, T (1967), Calculus, Vol. 1 (2nd изд.), Jon Wiley & Sons .
  • Autar Kaw, Egwu Kalu (2008), Numerical Methods with Applications (1st изд.), autarkaw.com 
  • Titchmarsh, E (1948), Introduction to the theory of Fourier integrals (2nd изд.), New York, N.Y.: Chelsea Pub. Co. (објавено 1986), ISBN 978-0-8284-0324-5 .
  • Cooper, Jeffery (2005), Working analysis, Gulf Professional 
  • Ghorpade, Sudhir; Limaye, Balmohan (2010), A course in multivariable calculus and analysis, Springer