При диференцирање на производ не се раководиме според принципот по кој диференцираме збир или разлика. Правилото при диференцирање на збир или разлика е: извод од збир (разлика) е збир (разлика) на изводи, што не е случај со производот.
Тврдењето ќе го дадеме формално, во вид на теорема:
Нека
и
се реални функции од една променлива, определени на интервалот
и диференцијабилни во точка
. Тогаш и нивниот производ
е диференцијабилен во точката
и при тоа важи:

Дополнително ако посочените функции се диференцијабилни во секоја точка од интервалот
, тогаш и нивниот производ е диференцијабилен на целиот интервал и формално се бележи:

Ќе дадеме и формален доказ. Нека се исполнети условите на теоремата, т.е. нека постојат изводите на функциите
и
во точката
. Тогаш, според дефиницијата на извод имаме:


Бидејќи по дефиниција:
, имаме:




Со тоа доказот е завршен.
Кога веќе го покажавме правилото за две функции, лесно ќе го прошириме на три, четири и повеќе.
Нека се зададени функции
и нека претпоставиме дека сите се диференцијабилни во некоја точка
. Тогаш имаме:
- Извод од производ на три функции во точка
:
![{\displaystyle \ (fgh)^{\prime }=[f(gh)]^{\prime }=f^{\prime }(gh)+f(gh)^{\prime }=f^{\prime }gh+f(g^{\prime }h+gh^{\prime })=f^{\prime }gh+fg^{\prime }h+fgh^{\prime }\,\,\,\blacksquare }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29b721c874ad1d099701827bceb99dd929acf983)
- Извод од производ на четири функции во точка
:
![{\displaystyle \ (fghk)^{\prime }=[f(ghk)]^{\prime }=f^{\prime }(ghk)+f(ghk)^{\prime }=f^{\prime }ghk+f(g^{\prime }hk+gh^{\prime }k+ghk^{\prime })=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86a99c390e018e4f96f491089feed3f076e51cc3)
