При диференцирање на производ не се раководиме според принципот по кој диференцираме збир или разлика. Правилото при диференцирање на збир или разлика е: извод од збир (разлика) е збир (разлика) на изводи , што не е случај со производот.
Како се бара извод од производ на две функции? [ уреди | уреди извор ] Тврдењето ќе го дадеме формално, во вид на теорема :
Нека
f
{\displaystyle \ f}
g
{\displaystyle \ g}
реални функции од една променлива, определени на интервалот
P
{\displaystyle \ P}
x
0
∈
P
{\displaystyle \ x_{0}\in P}
f
⋅
g
{\displaystyle \ f\cdot g}
x
0
∈
P
{\displaystyle \ x_{0}\in P}
(
f
⋅
g
)
′
(
x
0
)
=
f
′
(
x
0
)
⋅
g
(
x
0
)
+
f
(
x
0
)
⋅
g
′
(
x
0
)
{\displaystyle \ (f\cdot g)^{\prime }(x_{0})=f^{\prime }(x_{0})\cdot g(x_{0})+f(x_{0})\cdot g^{\prime }(x_{0})}
Дополнително ако посочените функции се диференцијабилни во секоја точка од интервалот
P
{\displaystyle \ P}
(
f
⋅
g
)
′
=
f
′
⋅
g
+
f
⋅
g
′
{\displaystyle \ (f\cdot g)^{\prime }=f^{\prime }\cdot g+f\cdot g^{\prime }}
Ќе дадеме и формален доказ. Нека се исполнети условите на теоремата, т.е. нека постојат изводите на функциите
f
{\displaystyle \ f}
g
{\displaystyle \ g}
x
0
∈
P
{\displaystyle \ x_{0}\in P}
f
′
(
x
)
=
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
−
f
(
x
0
)
x
−
x
0
{\displaystyle f^{\prime }(x)=\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}}
g
′
(
x
)
=
lim
x
→
x
0
g
(
x
)
−
g
(
x
0
)
x
−
x
0
{\displaystyle g^{\prime }(x)=\lim _{x\to x_{0}}{\frac {g(x)-g(x_{0})}{x-x_{0}}}}
Бидејќи по дефиниција:
(
f
⋅
g
)
(
x
)
=
f
(
x
)
g
(
x
)
{\displaystyle \ (f\cdot g)(x)=f(x)g(x)}
(
f
⋅
g
)
′
(
x
)
=
lim
x
→
x
0
(
f
g
)
(
x
)
−
(
f
g
)
(
x
0
)
x
−
x
0
=
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
g
(
x
)
−
f
(
x
0
)
g
(
x
0
)
x
−
x
0
=
{\displaystyle (f\cdot g)^{\prime }(x)=\lim _{x\to x_{0}}{\frac {(fg)(x)-(fg)(x_{0})}{x-x_{0}}}=\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)g(x)-f(x_{0})g(x_{0})}{x-x_{0}}}=}
=
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
g
(
x
)
−
f
(
x
0
)
g
(
x
0
)
+
g
(
x
)
f
(
x
0
)
−
g
(
x
)
f
(
x
0
)
x
−
x
0
=
{\displaystyle =\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)g(x)-f(x_{0})g(x_{0})+g(x)f(x_{0})-g(x)f(x_{0})}{x-x_{0}}}=}
=
lim
x
→
x
0
g
(
x
)
(
f
(
x
)
−
f
(
x
0
)
)
+
f
(
x
0
)
(
g
(
x
)
−
g
(
x
0
)
)
x
−
x
0
=
{\displaystyle =\lim _{x\to x_{0}}{\frac {g(x)\left(f(x)-f(x_{0})\right)+f(x_{0})\left(g(x)-g(x_{0})\right)}{x-x_{0}}}=}
=
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
−
f
(
x
0
)
x
−
x
0
⋅
lim
x
→
x
0
g
(
x
)
+
f
(
x
0
)
⋅
lim
x
→
x
0
g
(
x
)
−
g
(
x
0
)
x
−
x
0
=
{\displaystyle =\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}\cdot \lim _{x\to x_{0}}g(x)+f(x_{0})\cdot \lim _{x\to x_{0}}{\frac {g(x)-g(x_{0})}{x-x_{0}}}=}
=
f
′
(
x
0
)
⋅
g
(
x
0
)
+
f
(
x
0
)
⋅
g
′
(
x
0
)
◼
{\displaystyle =f^{\prime }(x_{0})\cdot g(x_{0})+f(x_{0})\cdot g^{\prime }(x_{0})\,\,\,\blacksquare }
Со тоа доказот е завршен.
Случај со повеќе од две функции [ уреди | уреди извор ] Кога веќе го покажавме правилото за две функции, лесно ќе го прошириме на три, четири и повеќе.
Нека се зададени функции
f
,
g
,
h
,
k
{\displaystyle f,\,g,\,h,\,k\,}
x
{\displaystyle \ x}
Извод од производ на три функции во точка
x
{\displaystyle \ x}
(
f
g
h
)
′
=
[
f
(
g
h
)
]
′
=
f
′
(
g
h
)
+
f
(
g
h
)
′
=
f
′
g
h
+
f
(
g
′
h
+
g
h
′
)
=
f
′
g
h
+
f
g
′
h
+
f
g
h
′
◼
{\displaystyle \ (fgh)^{\prime }=[f(gh)]^{\prime }=f^{\prime }(gh)+f(gh)^{\prime }=f^{\prime }gh+f(g^{\prime }h+gh^{\prime })=f^{\prime }gh+fg^{\prime }h+fgh^{\prime }\,\,\,\blacksquare }
Извод од производ на четири функции во точка
x
{\displaystyle \ x}
(
f
g
h
k
)
′
=
[
f
(
g
h
k
)
]
′
=
f
′
(
g
h
k
)
+
f
(
g
h
k
)
′
=
f
′
g
h
k
+
f
(
g
′
h
k
+
g
h
′
k
+
g
h
k
′
)
=
{\displaystyle \ (fghk)^{\prime }=[f(ghk)]^{\prime }=f^{\prime }(ghk)+f(ghk)^{\prime }=f^{\prime }ghk+f(g^{\prime }hk+gh^{\prime }k+ghk^{\prime })=}
f
′
g
h
k
+
f
g
′
h
k
+
f
g
h
′
k
+
f
g
h
k
′
{\displaystyle \ f^{\prime }ghk+fg^{\prime }hk+fgh^{\prime }k+fghk^{\prime }}
![{\displaystyle \ (fgh)^{\prime }=[f(gh)]^{\prime }=f^{\prime }(gh)+f(gh)^{\prime }=f^{\prime }gh+f(g^{\prime }h+gh^{\prime })=f^{\prime }gh+fg^{\prime }h+fgh^{\prime }\,\,\,\blacksquare }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29b721c874ad1d099701827bceb99dd929acf983)
![{\displaystyle \ (fghk)^{\prime }=[f(ghk)]^{\prime }=f^{\prime }(ghk)+f(ghk)^{\prime }=f^{\prime }ghk+f(g^{\prime }hk+gh^{\prime }k+ghk^{\prime })=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86a99c390e018e4f96f491089feed3f076e51cc3)
