Извод од производ

Статии поврзани со математичката анализа

Основна теорема на анализата Лимес на функција Непрекинатост Векторска анализа Теорија на редови Теорија на низи Тензорско сметање

Диференцијално сметање

Извод од производ Извод од количник Извод на сложена функција Извод на имплицитна функција Формула на Тејлор Теореми за средна вредност

Интегрално сметање

Таблица на основни интеграли Несвојствен интеграл

Методи на интегрирање

Интегрирање по делови Интегрирање со смена Ојлерови смени Тригонометриски смени Портал: Математика

При диференцирање на производ не се раководиме според принципот по кој диференцираме збир или разлика. Правилото при диференцирање на збир или разлика е: извод од збир (разлика) е збир (разлика) на изводи, што не е случај со производот.

Како се бара извод од производ на две функции?

Тврдењето ќе го дадеме формално, во вид на теорема:

Нека $\ f$ и $\ g$ се реални функции од една променлива, определени на интервалот $\ P$ и диференцијабилни во точка $\ x_{0}\in P$. Тогаш и нивниот производ $\ f\cdot g$ е диференцијабилен во точката $\ x_{0}\in P$ и при тоа важи:

$\ (f\cdot g)^{\prime }(x_{0})=f^{\prime }(x_{0})\cdot g(x_{0})+f(x_{0})\cdot g^{\prime }(x_{0})$

Дополнително ако посочените функции се диференцијабилни во секоја точка од интервалот $\ P$, тогаш и нивниот производ е диференцијабилен на целиот интервал и формално се бележи:

$\ (f\cdot g)^{\prime }=f^{\prime }\cdot g+f\cdot g^{\prime }$

Доказ

Ќе дадеме и формален доказ. Нека се исполнети условите на теоремата, т.е. нека постојат изводите на функциите $\ f$ и $\ g$ во точката $\ x_{0}\in P$. Тогаш, според дефиницијата на извод имаме:

$f^{\prime }(x)=\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}$

$g^{\prime }(x)=\lim _{x\to x_{0}}{\frac {g(x)-g(x_{0})}{x-x_{0}}}$

Бидејќи по дефиниција: $\ (f\cdot g)(x)=f(x)g(x)$, имаме:

$(f\cdot g)^{\prime }(x)=\lim _{x\to x_{0}}{\frac {(fg)(x)-(fg)(x_{0})}{x-x_{0}}}=\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)g(x)-f(x_{0})g(x_{0})}{x-x_{0}}}=$

$=\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)g(x)-f(x_{0})g(x_{0})+g(x)f(x_{0})-g(x)f(x_{0})}{x-x_{0}}}=$

$=\lim _{x\to x_{0}}{\frac {g(x)\left(f(x)-f(x_{0})\right)+f(x_{0})\left(g(x)-g(x_{0})\right)}{x-x_{0}}}=$

$=\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}\cdot \lim _{x\to x_{0}}g(x)+f(x_{0})\cdot \lim _{x\to x_{0}}{\frac {g(x)-g(x_{0})}{x-x_{0}}}=$

$=f^{\prime }(x_{0})\cdot g(x_{0})+f(x_{0})\cdot g^{\prime }(x_{0})\,\,\,\blacksquare$

Со тоа доказот е завршен.

Случај со повеќе од две функции

Кога веќе го покажавме правилото за две функции, лесно ќе го прошириме на три, четири и повеќе.

Нека се зададени функции $f,\,g,\,h,\,k\,$ и нека претпоставиме дека сите се диференцијабилни во некоја точка $\ x$. Тогаш имаме:

• Извод од производ на три функции во точка $\ x$:

$\ (fgh)^{\prime }=[f(gh)]^{\prime }=f^{\prime }(gh)+f(gh)^{\prime }=f^{\prime }gh+f(g^{\prime }h+gh^{\prime })=f^{\prime }gh+fg^{\prime }h+fgh^{\prime }\,\,\,\blacksquare$

• Извод од производ на четири функции во точка $\ x$:

$\ (fghk)^{\prime }=[f(ghk)]^{\prime }=f^{\prime }(ghk)+f(ghk)^{\prime }=f^{\prime }ghk+f(g^{\prime }hk+gh^{\prime }k+ghk^{\prime })=$

$\ f^{\prime }ghk+fg^{\prime }hk+fgh^{\prime }k+fghk^{\prime }$

Поврзано

• Диференцијално сметање
• Извод од количник
• Интегрално сметање