Извод на имплицитна функција

Статии поврзани со математичката анализа

Основна теорема на анализата Лимес на функција Непрекинатост Векторска анализа Теорија на редови Теорија на низи Тензорско сметање

Диференцијално сметање

Извод од производ Извод од количник Извод на сложена функција Извод на имплицитна функција Формула на Тејлор Теореми за средна вредност

Интегрално сметање

Таблица на основни интеграли Несвојствен интеграл

Методи на интегрирање

Интегрирање по делови Интегрирање со смена Ојлерови смени Тригонометриски смени Портал: Математика

Имплицитните функции се функции зададени во вид на равенка во која фигурираат и аргументот и сликата (т.е. и независно- и зависно-променливата). Најчесто се запишуваат како:

$\ F(x,y)=0$

при што со $x$ е означен аргументот (независно-променливата), а со $y$-сликата (зависно-променливата)

Пред да дадеме начин на кој се пресметува првиот извод на имплицитната функција, да го дадеме следново важно тврдење:

Нека $\ A\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ е отворено множество, нека $(a,b)\in A$ и нека важи:

• $F:A\to \mathbb {R}$ е непрекината функција;

• $F(a,b)=0$;

• постојат парцијалните изводи: ${\frac {\partial F}{\partial y}}$ и ${\frac {\partial F}{\partial x}}$ истите се непрекинати на целото $A$;

• ${\frac {\partial F}{\partial y}}(a,b)\neq 0$

Ако сите услови се исполнети, тогаш постои околина на точката $(a,b)$ на која е дефинирана и еднозначно определена функција $f$ која е непрекината и е таква што важи: $f(a)=b$ и (што е поважно) $F(x,f(x))=0$ за секој $x$ од таа околина. Поинаку кажано таквата функција $f$ претставува експлицитна (директна, очигледна, неприкриена) репрезентција на имплицитната функција $F$ на таа околина.

Сега, кога знаеме дека имплицитна функција може да се претстави преку експлицитна, барем на некоја околина, за изводот ќе имаме:

$f^{\prime }(x)=-{\frac {{\frac {\partial F}{\partial x}}(x,f(x))}{{\frac {\partial F}{\partial y}}(x,f(x))}}$

Кружната единица може да се наведе како крива на ниво f (x, y) = 1 од функцијата f (x, y) = x2 + y2. Околу точката А, y може да се изрази како функција y (x). Во овој пример оваа функција може да биде напишана експлицитно како g1(x)=1=+\sqrt{1-x^2}</math>, во многу случаи не постои таков експлицитен израз, но сепак може да се повика на имплицитната функција y (x). Не постои таква функција околу точката Б

Пример

Нека е зададена имплицитна функција:

$F(x,y):x^{2}+y^{2}-1=0$

Тогаш:

• функцијата е непрекината за сите вредности на $x$ и $y$;

• постојат парцијалните изводи:

${\frac {\partial F}{\partial x}}(x,y)=2x$

${\frac {\partial F}{\partial y}}(x,y)=2y$

и тие се непрекинати за сите $x$ и $y$ и уште повеќе ${\frac {\partial F}{\partial y}}\neq 0$ за $y\neq 0$. Значи функцијата $F$ ги исполнува условите од претходното тврдење, па значи дека таа може експлицитно да се репрезентира. Нека оваа репрезентација ја означиме со зависно-променливата, т.е. со $y$. Тогаш за изводот имаме:

$f^{\prime }(x)=y^{\prime }=-{\frac {{\frac {\partial F}{\partial x}}(x,y)}{{\frac {\partial F}{\partial y}}(x,y)}}=-{\frac {2x}{2y}}=-{\frac {x}{y}}$

Од друга страна, пак, можеме да го направиме следново: бидејќи $F(x,y)=0$ имаме:

$x^{2}+y^{2}-1=0$, односно: $y=\pm {\sqrt {1-x^{2}}}$

каде

$y_{1}=+{\sqrt {1-x^{2}}}$ и

$y_{2}=-{\sqrt {1-x^{2}}}$

се двете можни експлицитни репрезентации на имплицитната функција.

Тогаш изводот може да го пресметаме дирекно, како за експлицитна функција. Имаме:

• $y_{1}^{\prime }=({\sqrt {1-x^{2}}})'={\frac {-2x}{2{\sqrt {1-x^{2}}}}}=-{\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}=-{\frac {x}{y_{1}}}$

• $y_{2}^{\prime }=(-{\sqrt {1-x^{2}}})'=-{\frac {-2x}{2{\sqrt {1-x^{2}}}}}={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}=-{\frac {x}{y_{2}}}$

Значи, доколку може да ја утврдиме експлицитната репрезентација, изводот на имплицитната функција може да го пресметаме како извод на нејзината (или: нејзините) експлицитна репрезентација. Во пракса, кога експлицитната репрезентација е очигледна, почесто се употребува последниов начин.

Поврзано

• Уште примери (од статијата Диференцијално сметање)