Интегрирање со смена на променливата

Статии поврзани со математичката анализа

Основна теорема на анализата Лимес на функција Непрекинатост Векторска анализа Теорија на редови Теорија на низи Тензорско сметање

Диференцијално сметање

Извод од производ Извод од количник Извод на сложена функција Извод на имплицитна функција Формула на Тејлор Теореми за средна вредност

Интегрално сметање

Таблица на основни интеграли Несвојствен интеграл

Методи на интегрирање

Интегрирање по делови Интегрирање со смена Ојлерови смени Тригонометриски смени Портал: Математика

Интегрирање со смена на променливата, во математиката т.е. интегралното сметање еден од основните методи за решавање на интеграли. Ова правило допушта, т.е. ги дава потребните услови под кои, слично како кај лимес на функција, може да се изврши смена на променливата во определен интеграл. Заедно со методот на интегрирање по делови, овој метод е едно од двете најнужни тврдења кои треба да се познаваат при решавањето на интегралите.

Формална дефиниција

Нека $A\subseteq \mathbb {R}$ е интервал и нека е дефинирана непрекината функција: $f:A\to \mathbb {R}$ и нека ${\displaystyle \phi$ :[a,b]\to A} е непрекинато-диференцијабилна функција на интервалот $[a,b]$. Тогаш важи следново равенство:

$\int _{a}^{b}f\left(\phi (t)\right)\phi ^{\prime }(t)\,dt=\int _{\phi (a)}^{\phi (b)}f(x)\,dx$

Ќе го докажеме тврдењето:

Нека се исполнети условите и нека $F(x)$ е примитивна за $f(x)$ на $A$, т.е. $F^{\prime }(x)=f(x),\,\,\ x\in A$. Тогаш пак функцијата $F(\phi (x))$ е примитивна за $f(\phi (x))\phi ^{\prime }(x)$ бидејќи

$\left[F(\phi (x))\right]^{\prime }=F^{\prime }(\phi (x))\phi ^{\prime }(x)=f(\phi (x))\phi ^{\prime }(x)$

Тогаш според формилата на Њутн-Лајбниц имаме:

$\int _{a}^{b}f(\phi (x))\phi ^{\prime }(x)\,dx=F(\phi (x))|_{a}^{b}=F(x)|_{\phi (a)}^{\phi (b)}=\int _{\phi (a)}^{\phi (b)}f(x)\,dx$

Пример

• Да се пресмета интегралот: $\int _{1}^{2}{\frac {\ln {x}}{x}}\,dx$

Ќе ја воведеме смената: $t=\ln {x}$. Следствено имаме: $dt={\frac {1}{x}}dx$ и за смената на границите: $x=1\Rightarrow t=\ln {1}$ и $x=2\Rightarrow t=\ln {2}$

Сега „настапува“ смената. Еве што всушност правиме:

односно добиваме:

$\int _{1}^{2}{\frac {\ln {x}}{x}}\,dx=\int _{\ln {1}}^{\ln {2}}t\,dt={\frac {t^{2}}{2}}|_{\ln {1}}^{\ln {2}}={\frac {1}{2}}(\ln ^{2}{2}-\ln ^{2}{1})={\frac {\ln ^{2}{2}}{2}}$

Поврзано

• Интегрално сметање
• Интегрирање по делови
• Интегрално сметање на функции од повеќе променливи