Златен пресек

Од Википедија — слободната енциклопедија
Прејди на прегледникот Прејди на пребарувањето
Златниот правоаголник (во розова боја) со подолгата страна а и пократката страна б, кога е поставена во прилог на квадратот на должината а, произведува геометриска сличност на златниот правоаголник со подолгата страна а + б и пократката страна а. Ова го илустрира односот на .

Во математиката две величини се во златниот однос ако соодносот помеѓу двете величини е еднаков на збирот на тие две вредности, наспроти повисоки вредности. Сликата од десно ја илустрира геометриски односи. Алгебарски, за количините a и b и a > b > 0,

грчката буква фи ( ili ) е константна. Неговата вредност е:

[1]

Златниот однос се нарекува и  златен пресек (латински: sectio aurea).. Други имиња вклучуваат екстремен однос, среден пресек, златна пропорција, златен број. Sectio divina лат. (изговор: секцио дивина). Божествен пресек. Тоа е однос во кој има примена на предмети, слики итн. Предизвикува особено естетско доживување – допаѓање, па оттука е и името „Божествен пресек“.

Златниот однос се појавува во одредени модели во природата, вклучувајќи phyllotaxis (спирално сортирање листови) и други делови на растенија.

Математичарите уште во Еквилд ги изучувале својствата на златниот однос, вклучувајќи ја и појавата на мерење на правилен петаголник и на златниот правоаголник, што всушност може да се подели во квадрат и уште еден правоаголник на истиот однос.

Пресметка[уреди | уреди извор]

Шаблон:Ирационалан број
Двоични 1.1001111000110111011...
Десетични 1.6180339887498948482...  A001622
Шеснаесетеречни 1.9E3779B97F4A7C15F39...
Верижен прекршок
Алгебарски облик
Бесконечен ред

Две величини a и b се во златниот однос φ ако

Еден начин да се најде вредноста на φ е со решавање на левата страна. Со упростување на прекршокот и со замена во b/a = 1/φ,

Затоа,

Множење со φ дава

што може да се изрази како

Со користење на формулата за решавање на  квадратни равенки, се добиваат две решенија:

и

Бидејќи φ е однос меѓу двете позитивни вредности  φ е секогаш позитивна вредност:

.

Алгебра[уреди | уреди извор]

Ирационалнот[уреди | уреди извор]

Златниот сооднос е ирационален број. Подолу се два кратки докази на ирационалната:

Контрадикција на израз во најниска вредност[уреди | уреди извор]

Ако φ е рационален број, тогаш би бил размер на страните на правоаголници со цели страни (правоаголник што опфаќа цел дијаграм). Но, исто така, би бил и односна целобројните страни на помалиот правоаголник, (на десната страна на дијаграмот) добиени со бришење на квадратот. Редоследот на намалувањето на целобројните вредности на должината на страната е формирана со бришење на квадратот и не може да трае вечно, бидејќи имаат долна граница, затоа, φ не може да биде рационален.

Да се потсетиме дека:

целината е подолг дел плус пократок дел;
целината е подолг дел, како што е подолг дел на пократок дел.

Ако некој број се нарекува n а подолгиот дел m, тогаш втората изјава станува:

n спроти m , исто како што и m спроти nm,

или, во алгебрата:

Да се каже дека φ е рационално значи дека φ односите n/m каде n и m се integers. Ние може да се каже дека n/m имаат најниски вредности, и дека n и m се позитивни броеви. Но, ако дел n/m ниските вредности, тогаш идентитетот на белешки со (*) до врвот равенката m/(nm), кој продолжува да имаат најниски вредности. Оваа контрадикција, која произлегува од тврдат дека φ е рационално.

Извод од ирационалноста на бројот √5[уреди | уреди извор]

Уште еден краток доказ — можеби и повеќе познати — каде што златната ирационалност на односот се користи како затвореност кај  рационалните броеви, собирање и множење. Ако  е рационално, и  е рационално, што е спроти фактите дека квадратниот корен од не квадратен природен број е ирационален.

Најмал полином[уреди | уреди извор]

Златниот сооднос е, исто така, алгебарски број, па дури и цел алгебарски број. Најмалиот полином гласи на следниот начин:

Поради членот со степен 2, овој полином всушност има два корени, и другата вреденост е роднина на златниот сооднос.

Роднина на златниот пресек[уреди | уреди извор]

Други корени од најмалите полиноми x -2 - x - 1

Апсолутната вредност на оваа количина (≈ 0.618) одговара на должината на односите во обратна насока (должината на пократката страна во однос на подолгата, b/a), е понекогаш познат под името роднина на златниот пресек.[2] Се означува со голема буква Фи ():

Поврзано[уреди | уреди извор]

Наводи[уреди | уреди извор]

  1. OEISA001622
  2. Golden Ratio Conjugate“ од Ерик В. Вајсштајн - MathWorld (англиски)