Пирамида (геометрија)

За другите значења на поимот видете ја страницата за појаснување.

Пирамида
Страни	n триаголници, 1 n-аголник
Рабови	2n
Темиња	n + 1
Група на симетрија	Cnv, [n], (*nn), ред 2n
Вртежна група	Cn, [n]+, (nn), ред n
Дуален полиедар	самодуален
Својства	испакнат

Видови на пирамиди

Пирамида или шилник — геометриско тело составено од основа која претставува многуаголник, и онолку ѕидови (бочни страни) колку што има страни основата. Всушност, пирамидата е рабесто геометриско тело (полиедар) кој е ограничен со еден конвексен многуаголник, а останатите ѕидови се триаголници што имаат заедничко теме и по една заедничка страна со многуаголникот. Конвексниот многуаголник се вика основа на пирамидата, а триаголниците се викаат бочни ѕидови и ја сочинуваат обвивката на пирамидата. Нивната заедничка точка се вика теме на пирамидата. Притоа, пирамидата чија основа е правилен многуаголник, а бочните рабови се еднакви меѓу себе, се вика правилна пирамида.

Пирамидата е дефинирана:

• Кога основата (која претставува многуаголник) е поставена во теоретска рамнина
• Постои висина, чија почетна точка е во рамнината
• Крајните точки на висината се споени со основата

Цртање на пирамидата

При цртањето на пирамидата се постапува слично како и при цртањето на призмата: Основата на пирамидата се поставува во хоризонтална положба, а висината ја цртаме нормално на основата, односно паралелно со рамнината на цртањето. Од подножната точка на висината (ортогоналната проекција на врвот) се повлекува нормала на основата и на неа се нанесува висината. На тој начин е определен врвот на пирамидата. Притоа, подножјето на висината е во тежиштето на основата. Ортогоналната проекција на врвот кај правилната четириаголна пирамида е во пресекот на дијагоналите на основата. Бочните ѕидови на правилната пирамида се складни рамнокраки триаголници. Бочната висина на правилната пирамида се вика апотема. Триаголната пирамида уште се вика тетраедар, а нејзина основа може да биде кој и да било ѕид.

Поделба

Во однос на основата пирамидите се поделени на:

• триаголни (основата претставува геометриска слика — триаголник)
• четриаголни (основата претставува — четириаголник)
• повеќе страна пирамида (основата е повеќеаголен многуаголник)

Пирамидата е правилна кога сите страни се еднакви по должина.

Во однос на аголот помеѓу висината и рамнината, пирамидите се поделени на:

• рамни
• коси

Зафатнина и плоштина

Според принципот на Кавалијери, две пирамиди што имаат еднакви висини и еднакви плоштини на основите, имаат еднакви зафатнини. Оттука, зафатнината на триаголната пирамида е еднаков на третина од производот на плоштината на основата и должината на нејзината висина. Формулата за пресметување на зафатнината на призмата е:

${\mathit {V}}={\frac {1}{3}}{\mathit {B}}{\mathit {v}}$

Формулата за пресметување на плоштината на пирамидата е:

${\mathit {O}}={\mathit {P}}(baza)+{\mathit {P}}(s_{1})+{\mathit {P}}(s_{2})+...+{\mathit {P}}(s_{n})\,\!$

Плоштината на пирамидата е еднаква на збирот на плоштината на основата (В) и плоштината на бочните ѕидови, односно обвивката (М), т.е. P = B + M. За плоштината на пирамидата важи следнава теорема: Ако две пирамиди имаат еднакви висини и еднакви плоштини на основите, тогаш нивните паралелни пресеци што се на еднакво растојание од врвот имаат еднакви плоштини.

Плоштината на потсечената пирамида се пресметува според формулата: P = B + B1 + M, каде: B и B1 се плоштините на основите, додека M е плоштината на бочните ѕидови.

Пресек на пирамида

Ако пирамидата се пресече со рамнината Σ, тогаш нивниот заеднички дел претставува многуаголник и се вика пресек на пирамидата. Пресекот може да биде: паралелен, ако рамнината Σ е паралелна со основата на пирамидата, и дијагонален, ако рамнината Σ минува низ два несоседни бочни рабови. За паралелниот пресек на пирамидата важи следнава теорема: Ако пирамидата се пресече со рамнина што е паралелна со основата, тогаш: 1) бочните рабови и висината со пресекот се поделени на пропорционални отсечки; 2) основата и пресекот се слични многуаголници; 3) плоштината на пресекот и плоштината на основата се однесуваат како квадратите на нивните растојанија до врвот на пирамидата. Инаку, делот од пирамидата кој е ограничен со основата и со еден паралелен пресек се вика потсечена пирамида.