Tеорема на Дезарг

Перспективни триаголници. Соодветните страни на триаголниците, кога се продолжени, се сечат во точките на правата наречена оска на перспективност. Правите кои минуваат низ соодветните темиња на триаголниците се сечат во точка наречена центар на перспективност. Теоремата на Дезарг вели дека вистинитоста на првиот услов е неопходна и доволна за вистинитоста на вториот.

Во проективната геометрија, теоремата на Дезарг, именувана по Жирар Дезарг, гласи:

Два триаголника се перспективни во однос на оска (аксијално перспективни) ако и само ако тие се перспективни во однос на точка (централно перспективни).

Означете ги трите темиња на едниот триаголник со a, b и c, а оние на другиот со A, B и C . Аксијална перспективност значи дека правите ab и AB се сечат во точка, правите ac и AC се сечат во втора точка, а правите bc и BC се сечат во трета точка, и дека сите овие три точки лежат на една права наречена оска на перспективност. Централната перспективност значи дека трите прави линии Aa, Bb и Cc се конкурентни, т.е. минуваат низ една точка наречена центар на перспективност.

Оваа теорема на пресеци е вистинита во вообичаената Евклидова рамнина, но треба да се внимава во исклучителни случаи, како кога некој пар страни се паралелни, така што нивната „точка на пресек“ се наоѓа во бесконечност. Вообичаено, за да се отстранат овие исклучоци, математичарите ја „комплетираат“ Евклидовата рамнина со додавање на точки на бесконечност, следејќи ја постапката на Жан-Виктор Понселе. Ова резултира со проширување на Евклидовата во проективна рамнина .

Дезарговата теорема е вистинита за реалната проективна рамнина и за секој проективен простор аритметички дефиниран од поле или прстен со делење; ова го вклучува секој проективен простор со димензија поголема од два или во која важи теоремата на Пап . Сепак, постојат многу „не-дезаргови рамнини“, во кои теоремата на Дезарг не важи.

Историја

Дезарг никогаш не ја објавил оваа теорема, но таа се појавила во додатокот насловен како „Универзален метод на г. Дезарг за користење на перспектива“ (Manière universelle de M. Desargues pour practiquer la perspective) на практичната книга за користење на перспективата објавена во 1648 г. од неговиот пријател и ученик Абрахам Бос (Abraham Bosse) (1602–1676).

Координатизација

Важноста на Дезарговата теорема во апстрактната проективна геометрија се должи особено на фактот што проективниот простор ја задоволува таа теорема ако и само ако е изоморфен на проективен простор дефиниран над поле или прстен со делење.

Проективни наспроти афини простори

Во афин простор, како што е Евклидовата рамнина, важи слично тврдење, но само ако се наведат различни специјални случаи како што се паралелни прави. Затоа, теоремата на Дезарг е една од наједноставните геометриски теореми чиј природен дом е во проективен наместо во афин простор.

Само-дуалност

По дефиниција, два триаголника се перспективни ако и само ако се централно перспективни (или, еквивалентно според оваа теорема, централно (аксијално) перспективни). Забележете дека перспективните триаголници не мора да бидат слични .

Според стандардната двојност на рамнинската проективна геометрија (каде што точките соодветствуваат на правите, а колинеарноста на точките одговара на конкурентност на правите), изјавата на теоремата на Дезарг е само-дуална: аксијалната перспективност преминува во централната перспективност и обратно. Конфигурацијата на Дезарг (подолу) е само-дуална конфигурација.

Оваа самодуалност во исказот се должи на вообичаениот модерен начин на пишување на теоремата. Историски гледано, теоремата гласела само: „Во проективен простор, пар централно перспективни триаголници се аксијално перспективни“ и двојната изјава од оваа изјава се нарекувала обратна страна на теоремата на Дезарг и секогаш била нарекувана со тоа име.

Доказ на теоремата на Дезарг

Дезарговата теорема важи за проективен простор од која било димензија над кое било поле или прстен со делење, а исто така важи и за апстрактни проективни простори со димензија најмалку 3. Во димензија 2, рамнините за кои важи се нарекуваат Дезаргови рамнини и се исти како рамнините на кои може да им се дадат координати преку прстен со делење. Исто така, постојат многу не-дезаргови рамнини во кои не важи теоремата на Дезарг.

Тридимензионален доказ

Дезарговата теорема е точна за секој проективен простор со димензија не помала од 3, и поопшто, за секој проективен простор кој може да се вгради во простор со димензија не помала од 3.

Теоремата на Дезарг може да се искаже на следниов начин:

Ако правите Aa, Bb и Cc се конкурентни (се сечат во една точка), тогаш

точките AB ∩ ab, AC ∩ ac и BC ∩ bc се колинеарни .

Точките A, B, a и b се компланарни (лежат во иста рамнина) поради претпоставената конкурентност на Aa и Bb . Според тоа, правите AB и ab припаѓаат на иста рамнина и мора да се сечат. Понатаму, ако двата триаголника лежат на различни рамнини, тогаш точката AB ∩ ab им припаѓа на двете рамнини. Со симетричен аргумент постојат и точките AC ∩ ac и BC ∩ bc и припаѓаат на рамнините на двата триаголника. Бидејќи овие две рамнини се сечат во повеќе од една точка, нивниот пресек е права која ги содржи сите три точки.

Ова ја докажува теоремата на Дезарг ако двата триаголника не се содржат во иста рамнина. Ако тие се во иста рамнина, теоремата на Дезарг може да се докаже со избирање точка која не е во рамнината, користејќи го ова за да се подигнат триаголниците надвор од рамнината така што аргументот од погоре да важи, а потоа да се проектираат назад во рамнината. Последниот чекор од доказот не успева ако проективниот простор има димензија помала од 3, бидејќи во овој случај не е можно да се најде точка која не е во рамнината.

Теоремата на Монж, исто така, тврди дека три точки лежат на права, и има доказ користејќи ја истата идеја за разгледување во три наместо во две димензии и со запишување на правата како пресек на две рамнини.

Дводимензионален доказ

Со оглед на тоа што постојат не-дезаргови проективни рамнини во кои Дезарговата теорема не е точна, треба да се исполнат некои дополнителни услови за да се докаже теоремата. Овие услови обично имаат форма на претпоставка за постоење на доволно многу колинеации од одреден тип, што пак води до покажување дека основниот алгебарски координатен систем мора да биде прстен со делење (skewfield).

Поврзаност со теоремата на Пап

Шестаголната теорема на Пап вели дека, ако шестаголникот AbCaBc е нацртан така што темињата a, b и c лежат на права, а темињата A, B и C лежат на втора права, тогаш секои две спротивни страни на шестаголникот лежат на две прави кои се сечат во точка и трите вака конструирани точки се колинеарни. Рамнината во која теоремата на Пап е универзално вистинита се нарекува Папијан. Hessenberg (1905) покажал дека теоремата на Дезарг може да се изведе со три примени на теоремата на Пап.

Обратното на ова тврдење не е точно, односно, не сите Дезаргови рамнини се Папови. Универзалната исполнетост на теоремата на Пап е еквивалентна на тоа основниот координатен систем да е комутативен. Според тоа, рамнината дефинирана преку не-комутативен прстен со делење (прстен со делење кој не е поле) би била дезаргова, но не и Папова. Меѓутоа, поради малата теорема на Ведерберн, која вели дека сите конечни прстени со делење се полиња, сите конечни Дезаргови рамнини се Папови. Не постои познат целосно геометриски доказ за овој факт, иако Bamberg & Penttila (2015) даваат доказ кој користи само „елементарни“ алгебарски факти (наместо целосната сила на малата теорема на Ведерберн).

Конфигурацијата на Дезарг

Дезарговата конфигурација се гледа како пар меѓусебно впишани петаголници: секое теме на петаголнник лежи на права низ една од страните на другиот петаголник.

Десетте прави вклучени во теоремата на Дезарг (шест страни на триаголниците, трите прави Aa, Bb и Cc и оската на перспективност) и десетте вклучени точки (шесте темиња, трите пресечни точки на оската на перспективност и центарот на перспективност) се така распоредени што секоја од десетте прави поминува низ три од десетте точки, а секоја од десетте точки лежи на три од десетте прави. Тие десет точки и десет прави ја сочинуваат конфигурацијата на Дезарг, пример за проективна конфигурација. Иако теоремата на Дезарг избира различни улоги за овие десет прави и точки, самата конфигурација на Дезарг е посиметрична: која било од десетте точки може да биде избрана да биде центар на перспективност, и тој избор одредува кои шест точки ќе бидат темиња на триаголници и која права ќе биде оска на перспективност.

Малата теорема на Дезарг

Оваа ограничена верзија вели дека ако два триаголника се централно перспективни од точка на дадена права и два пара соодветни страни исто така се сечат на оваа права, тогаш и третиот пар од соодветните страни се сечат на правата. Така, тоа е специјален случај на Дезарговата теорема само за случаите во кои центарот на перспективноста лежи на оската на перспективноста.

Рамнината на Муфанг е проективна рамнина во која малата теорема Дезарг важи за секоја права.

Исто така види

• Теорема на Паскал

Наводи

• Albert, A. Adrian; Sandler, Reuben (2015) [1968], An Introduction to Finite Projective Planes, Dover, ISBN 978-0-486-78994-1
• Bamberg, John; Penttila, Tim (2015), „Completing Segre's proof of Wedderburn's little theorem“, Bulletin of the London Mathematical Society, 47 (3): 483–492, doi:10.1112/blms/bdv021
• Casse, Rey (2006), Projective Geometry: An Introduction, Oxford: Oxford University Press, ISBN 0-19-929886-6
• Coxeter, H.S.M. (1964), Projective Geometry, Blaisdell
• Coxeter, Harold Scott MacDonald (1969), Introduction to Geometry (2nd. изд.), Wiley, ISBN 978-0-471-50458-0, MR 0123930
• Cronheim, Arno (1953), „A proof of Hessenberg's theorem“, Proceedings of the American Mathematical Society, 4 (2): 219–221, doi:10.2307/2031794, JSTOR 2031794, MR 0053531
• Dembowski, Peter (1968), Finite Geometries, Springer Verlag, ISBN 978-3-540-61786-0
• Hessenberg, Gerhard (1905), „Beweis des Desarguesschen Satzes aus dem Pascalschen“, Mathematische Annalen, Springer, 61 (2): 161–172, doi:10.1007/BF01457558, ISSN 1432-1807
• Hilbert, David; Cohn-Vossen, Stephan (1952), Geometry and the Imagination (2nd. изд.), Chelsea, стр. 119–128, ISBN 0-8284-1087-9
• Hughes, Dan; Piper, Fred (1973), Projective Planes, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90044-6
• Kárteszi, Ferenc (1976), Introduction to Finite Geometries, North-Holland, ISBN 0-7204-2832-7
• Katz, Victor J. (1998), A History of Mathematics:An Introduction (2nd. изд.), Reading, Mass.: Addison Wesley Longman, ISBN 0-321-01618-1
• Pambuccian, Victor; Schacht, Celia (2019), „The axiomatic destiny of the theorems of Pappus and Desargues“, Во Dani, S. G.; Papadopoulos, A. (уред.), Geometry in history, Springer, стр. 355–399, ISBN 978-3-030-13611-6
• Room, Thomas G.; Kirkpatrick, P. B. (1971), Miniquaternion Geometry, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-07926-8
• Smith, David Eugene (1959), A Source Book in Mathematics, Dover, ISBN 0-486-64690-4
• Stevenson, Frederick W. (1972), Projective Planes, W.H. Freeman, ISBN 0-7167-0443-9
•  

Надворешни врски

• Дезаргова теорема во MathWorld
• Дезаргеовата теорема на крајот
• Монж преку Дезарг во пресрет на јазолот
• Доказ на теоремата на Дезарг во PlanetMath
• Дезарговата теорема во скици со динамичка геометрија