Огастес де Морган

Од Википедија — слободната енциклопедија
Прејди на: содржини, барај
De Morgan Augustus.jpg

Огастес Де Морган (англиски: Augustus De Morgan) (27 јуни 180618 март, 1871) бил британски математичар и логичар со потекло од Индија. Ги формулирал Деморгановите закони и бил првиот што го изнел стручниот израз и ја направил ригорозната идеја за математичката индукција. Де Моргановиот кратер на месечината е наречен според него.

Биографија[уреди]

Детство[уреди]

Огастес Де Морган е роден на 27 јуни, 1806 во Мадура, Претседателството Мадрас, Индија (сегашен Мадураи, Тамил Наду, Индија); Неговиот татко бил Кол Де Морган, кој одржувал разни состаноци за Источноиндиската компанија. Неговата мајка потомок од Џејмс Додсон, кој ја пресметал табелата за антилогаритми, со други зборови, броевите кој ги претставуваат точните логаритми. Кол Де Морган се преселил со фамилијата во Англија кога Огастес имал само седум месеци. Татко му и дедо му биле родени во Индија така што Де Морган велел дека не е ниту Англичанец, ниту Шкотланѓанец, ниту пак Ирец, туку „слободен“ Бритонец, користејки го техничкиот термин за студент на Оксфорд или Кембриџ кој не е член на ниту еден од тие колеџи. Кога Де Морган бил десет години неговиот татко починал. Госпоѓата Де Морган живеела на разни места во југо-западна Англија и нејзиниот син го стекнал своето основно образование во разни училишта без поголем придонес. Неговите математички способности останале незабележани се до неговата четиринаесетта година. Пријател на фамилијата ненадејно го затекнал како разработува цртеж на фигура во Еуклид со ленир и компаси и му ја објаснил целта од Еуклид и му дал вовед во доказите. Го стекнал средното образование од господинот Парсонс, пријател од Ориел колеџот, Оксфорд кој ја ценел класиката многу повеќе од математиката. Неговата мајка била активен и загреан член на Англиската Црква и сакала нејзиниот син да стане свештеник; но во меѓувреме Де Морган започнал да покажува дека не може да се прилагоди на распоредот.

Универзитетско образование[уреди]

Во 1823 на шестнаесет години се запишал на колеџот Тринити во Кембриџ, каде што веднаш бил ставен под туторство на Џорџ Пикок и Вилијам Вивел.Тие останале пријатели до крајот на животот. Од почетокот покажал интерес за обнова на алгебрата, а подоцна покажал интерес за обнова на логиката-двата предмети во неговиот иден живот. На колеџот флејтата на која што свирел одлично му служела за рекреација. Не зел учество во атлетиката, но затоа бил истакнат во музичките клубови. Неговата љубов кон знаењето за негова сметка му пречела со тренингот за големата математичка трка; како последица на тоа настанал четвртиот кавгаџија. Ова му ја дава оценката дипломиран студент за уметности; но за да зеде поголема оценка за квалификуван учител за уметности и со тоа да стане квалификуван во заедницата било потребно да го помине тестот за теологија. За потпишувањето на било каков документ Де Морган силно се спротиставувал иако бил однесен во Англиската Црква. Околу 1875 теологичкиот тест за академски оценки биле укинувани во универзитетите во Оксфорд и Кембриџ.

Лондонскиот универзитет[уреди]

Бидејки не му била понудена работа на неговиот универзитет одлучил да оди во Бар и зел стан во Лондон; но повеќе сакал да учи математика отколку да чита право. Во ова време движењето за создавање на Лондонскиот Универзитет зело форма. Двата стари универзитета Оксфорд и Кембриџ биле добро заштитени со теолошки тестови така што ниту еден кој не евреин или дисидент надвор од Англиската Црква не може да влезе како студент. Сепак некои биле назначувани во некои канцеларии. Група на скободоумни луѓе донеле заклучок да ги решат тешкотиите со тоа што во Лондон би основале универзитет во принцип за луѓе со верска неутралност. Де Морган, тогаш 22 години бил назначен за професор по математика. Неговото дело „Студиите за математика“ е говор за интелектуално образование со бесценета вредност кој била и прекопирана во Обединетите Нации. Лондонскиот Универзитет била нова институција и поврзаноста со советот за раководење, сенатот од професори и студентите не биле добро организирани. Загреаното оспорување помеѓу професорите за анатомија и нивните студенти довело до разрешување на некои професори предводени од Де Морган. Бил назначен друг професор по математика кој се удавил неколку години подоцна. Де Морган се изложил себеси како принц на професорите, бил поканет да се врати назад каде што подоцна тоа станало неговиот центар каде што работел во наредните триесет години. Истата група реформери, предводени од Лорд Брогам, Шкотланѓанец кој бил на високи позиции во науката и во политиката и предавал на Лондонскиот Универзитет основан во исто време како и Друштвото за ирење на употребливото знаење. Неговата намера била да се рашири научното и другите учења со помош на читко напишани расправи од најдобрите писатели во тоа време. Еден од најголемите и најефективните писатели бил Де Морган. Напишал одлично дело за Диференцијалниот и Интегралниот Калкулус кој бил објавен од Општеството. Напишал и една-шестина од статиите во Пени Циклопедијата објавена од Општеството. Кога Де Морган се вратил да живее во Лондон го запознал Вилијам Френд и не му се спротиставувал на неговите математички ереси за негативните количини. Двајцата биле математичари и статистичари и нивните религиски гледање биле слични. Френд живеел во предградието на Лондон во куќа во која живееле Даниел Дефо и Исак Ват. Де Морган со неговата флејта бил добредојден. Во 1873 Де Морган се оженил со Софиа Елизабет една од ќерките на Френд. Лондонскиот Универзитет каде што Де Морган бил професор, била поинаква институција од Универзитетот на Лондон. Универзитетот на Лондон бил основан околу десетина години подоцна од владата со цел да се даваат дипломи после извесни испитувања без никакви квалификации. Лондонскиот Универзитет бил здружен со Универзитетот на Лондон како колеџ за учење и името било сменето во Универзитетски Колеџ. Универзитетот на Лондон не бил успешен како испитувачко тело, било потребно Универзитет за поучување. Де Морган бил многу успешен професор за математика. Неговиот план бил да се држат предавања по еден час и на крајот на секоја лекција да се зададат проблеми и примери во врска со тоа што го учеле, неговите студенти биле задолжени да ги решат проблемите и да му ги предадат, а откако тој ќе ги прегледал му ги враќал пред пред следната лекција. Според мислењето на Де Морган потполно разбирање и умствена споредба за големите начела далеку натежнати за важноста на аналитичката снаодливост во апликацијата за полу-разбраното начело за одредени случаеви. Де Морган имал три сина и четири ќерки. Неговиот најстар син бил грнчарот Вилијам Де Морган. Неговиот втор син Џорџ се здобил со големо знаење за математика на Универзитетскиот Колеџ и на Универзитетот на Лондон. Тој и уште еден апсолвент се здобиле со идеата за основање на Математичко Друштво во Лондон, каде што математичките документи нема да бидат само добивани, туку читани и за нив да се дискутира. Првиот состанок бил одржан во Универзитетскиот Колеџ. Де Морган бил првиот претседател, неговиот син првиот секретар. Тоа бил почетокот на Лондонското Матемаичко Друштво.

Пензионирање и смрт[уреди]

Во 1866 година катедрата за умствена философија на Универзитетскиот колеџ била слободна. Др. Мартино, свештеник и професор за умствена философија бил препорачан од Сенатот на Советот, но во советот имало некој кој се спротиставувал на таа одлука. Лаикот на училиштето Беин и Спенсер бил назначен. Де Морган сметал дека неговиот стар стандард за религиска неутралност бил повлечен надолу и без двоумење се откажал. На 60 години неговите ученици му осигурале пензија од 500 долари но го следела лоша среќа. Две години подоцна неговиот син Џорџ – помладиот Бернули како што сакал да го викаат, во алузија за двајцата еминенти матаматичари со тоа име, поврзани како татко и син -- починал. По ова следела смртта на ќерката. Пет години од оставката од Универзитетскиот колеџ Де Морган умрел од нервозна потиштеност на 18 март 1871, на неговиот 65-ти роденден.

Математичка Работа[уреди]

Де Морган беше брилијантен и досетлив писател, дали како полемичар или како дописник. Во неговото време постоеја два Сер Вилијам Хамилтон кои често се смешувани. Едниот беше Сер Вилијам Хамилтон, 9ти Барон( т.е. неговата титула беше наследена), Шкот, професор по логика и метафизика на универзитетот во Единбург; а другиот беше витез(т.е. ја доби титулата), Ирец, професор по астрономија на универзитетот во Даблин. Баронот продонесе кон логиката, особено кон квантификација на тврдењата.; а витезот, чие цело име беше Вилијам Рован Хамилтон, придонесе кон математиката, особено геометриска алгебра, и прв даде опис на кватернионите. Де морган беше заинтересиран во работата на двајцата, но соработката со со Штотланѓанецот заврши контроверзно, додека онаа со Ирецот беше обележана со пријателство и се прекина со смртта. Во едно од писмата кон Рован, Де Морган вели: „знај дека отлжкрив дека ти и другиот Сер В.Х. сте поларно стротивни точки со почитта спрема мене( интелектуално и морално, каде Штотланѓанецот е поларна мечка, а вие поларен џентлмен). Кога направив едно истражување во Единбург, тој В.Х. реже дека сум го зел од него. Кога ти праќам тебе едно, ти го земаш, го генерализираш, и така генерализирано го презентираш на општеството, и ме правиш втор откривач на позната теорема“

Соработката на Де Морган со Хамилто математичарот траеше 24 години; и содржи не само математички теми туку и теми од општ интерес. Се карактеризира со генијалноста на Хамилтон и досетливоста на Де Морган. Хамилтон напиша „мојата копија на Беркелеевата работа не е моја; како и Беркелеј, знаеш и јас сум Ирец“. Де Морган возврати: „ Твојата фраза „Мојата копија не е моја“ не е безсмислено, туку е перфектно англиски да употребиш еден збор со две различни значења во една реченица, особено кога имаш од тоа корист. Нескладноста во јазикот не е абсурд, бидејќи додава значење. Но нескладноста во идеи, тоа е апсурд.

Де Морган е полн со лични занимливости. На пригодата на поставување на неговиот пријател како ректор на Универзитетот во Единбург, сенатот му ја понудил титулата почесен доктор на науки; а тој ја одбил понудата како погрешно именувана. Тој еднаш си го напиша името: Огастес Де Морган, H - O - M - O - P - A - U - C - A - R - U - M - L - I - T - E - R - A - R - U - M.

Тој не ја сакаше руралната средина, и додека неговото семејство уживаше на морскиот брег, и додека членовите на научните клубови се забавуваа на научни собири во природа, тој остануваше во прашливите библиотеки во метрополата. Тој велеше дека се чувствувал како Сократ, кој велел дека колку е подалеку од Атина, толку е подалеку од неговата среќа. Тој никогаш не сакаше да стане член на Благородничкото Здружение , и никогаш не присуствуваше на нивните собири; тој рече дека немал ништо заедничко со физичките философи. Овој став се должеше на неговото кревко здравје, поради кое не можеше да биде ни надгледувач, ни како Експериментатор. Никогаш не гласал на избори, ниту ги посетил значајните британски знаменитости. Доколку пишувањата на Де Морган биле објавени во форма на собрани дела, тие би направиле мала библиотека. За нас значајни се неговите трудови кон Филозофското општество на Кембриџ, создадено со напорите на Пикок и Вивел, кон кое тој придонел со четири мемоари за основите на алгебрата, и исто толкав број за формалната логика. Неговата најдобра презентација на алгебрата се наоѓа во Тригонометрија и двојна алгебра, објавено во 1849; и неговите рани видувања на формалната логика кои ги има во дело објавено во 1847. Неговата најзначајна работа е насловена како Буџет на Парадокси; прв пат се појави како писма во колумната на Athenæum journal; потоа беше ревидирана и довршена од Де Морган во последните години од неговиот живот, а беше посмртно објавена од неговата вдовица. За овие работи ќе дискутираме подетално во наредниот дел.

Теоријата на алгебрата на Џорџ Пикок беше многу подобрена од страна на Д.Ф. Фрегори, помлад член на Кембриџ, кој се зафати со работа не само на равенките , туку и на постојаноста на некои формални закони. Оваа нова теорија на алгебрата како наука на симболи и законите за нивна комбинација беше логички доработена од страна на Де Морган; и неговиот метод на работа е сѐ уште следен од страна на Англиските алгебристи. Од тука Учебникот по алгебра на Џорџ Кристал се заснова на теоријата на Де Морган; иако повнимателниот читател може да препознае дека тој се одалечува од неговата теорија кога ги опишува бесконечните серии. Де Моргановата теорија е дадена во неговото дело Тригонометрија и двојна алгебра. Во поглавјето „Симболична Алгебра“ тој пишува: По напуштањето на значењето на симболите, го напуштаме и значењето на зборовите кои ги опишуваат. Овој додаток, сега е бесмислен. Тоа е модел на комбинација презентиран од +; кога + ќе добие значење, тогаш ќе добијат и следните зборови. Важно е студентот да знае дека, со еден исклучок, ни еден збор или симбол од аритметика или алгебара има било какво значење во ова поглавје, тука објект се симболите, и законите за нивната комбинација. Така да А,В,С... може да има повеќе значења. Читателот може да поверува, да се спротивстави, како што сака, но не надвор од ова поглавје. Единствениот исклучок погоре наведен, кој има некое значење е =, поставено помеѓу два симбола А=В. Тоа покажува дека двата симбола имаат иста вредност како резултат, со било кои употребени операции. Дека доколку А и В се бројни вредности, станува збор за исти бројни вредности, или доколку се операции, тие го постигнуваат истиот ефект и т.н“

Тука, може да се запрашаме, зошто симболот = ја крши теоријата на симболи? Де Морган се согласува дека постои исклучок, но исклучокот го докажува правилото, не на обичниот и нелогичен начин на неговото поставување, тука на страиот и логичен начин на негово тестирање. Доколку постои исклучок, тогаш не постои правило, или пак тоа правило треба да се промени. Тука не станува збор за граматички правила, туку за научни и приридни правила.

Де Морган продолжува да дава опис на фундаменталните симболи на алгебрата и исто така збир на законите на алгебрата. Симболите се 0, 1, +, −, ×, ÷, ()(), и буквите; овие се основните а се друго е изведено. Неговиот збир на фундаменталните закони е изнесен преку 14 поглавја, но некои од нив се само дефиниции. Законите можат да се сведат на следниве, кои според Де Морган не се меѓусебно независни. 1. Закон на знаци. + + = +, + − = −, − + = −, − − = +, × × = ×, × ÷ = ÷, ÷ × = ÷, ÷ ÷ = ×. 2. Комутативен Закон. a+b = b+a, ab=ba. 3. Дистрибутивен Закон. a(b+c) = ab+ac. 4. Закони за индекси. ab×ac=ab+c, (ab)c=abc, (ab)d= ad×bd. 5. a−a=0, a÷a=1.

Последните два можеме да ги наречеме правила на редукција. Де Морган се труди да даде комплетен збир на законите кои алгебарските симболи мора да ги почитуваат, и вели: „Секој систем на симболи кој ги почитува овие закони и никои други, освен оние кои се направени со комбинација на дадениве, и кои ги користат претходните симболи, и никои други, освен новите симболи кои се добиени со изведување од дадениве и комбинирање на дадениве, е алгебра на симболи.“ Од негова гледна точка ниеден од горенаведените принципи не е правило; тие се формални закони, т.е. арбитрарно одбрани врски каде што алгебарските симболи мора да бидат субјекти. Тој не го споменува законот, кој веќе бил посочен од Грегори, кој гласи (a + b) + c = a + (b + c),(ab)c = a(bc) и на кој подоцна му беше дадено името закон на асоцијација. Доколку кумулативноит закон не важи, асоцијативниот може да важи, но не и обратно. Несреќна околкност за симболистот или формалистот е тоа да во универзалната аритметика mn не е еднакво на nm; бидејќи таму кумулативниот закон ќе може целосно да биде применет. Но зошто да не се примени целосно? Бидејќи основит ена алгебрата се, реални, а не формални, материјални а не симболични. Формалистите се многу тврдоглави кога ги користат операциите со индексите, со последици каде што бидејќи не ги земаат в обзир, а потоа ги потиснувааат во применетата математика. Да се даде опис на законите кои симболите на алгебрата мора да ги почитуваат е невозможно, и не потсеќа на задачата која ја имале философите кои се обидувале да го опишат a priori знаењето на умот. Де моргановата работа насловена како Тригонометрија и двојна алгебра се состои од два дела, првиот кој е опис на Тригонометријата, а вториот е опис на генерализираната алгебра која тоја ја нарекува двојна алгебра. Но што мисли со тоа Двојна кога зборува за алгебра? И зошто тригонометријата треба да биде опишана во истата книга? Првите чекори на решавањето на алгебрата се аритметички, каде се појавуваат само бројки и симноли од типот + , . Следната фаза е универзална аритметика, каде се појавуваат букви наместо бројки, кои ги означуваат бројките унуверзално, а процесите се извршени без да бидат познати вредностите на симболите. Нека a и b се некои броеви; тогаш израз како a-b може да е невозможен; така што во универзалната аритметикасекогаш постои провисо, услов дека операцијата е изводлива. Третиот дел е Единечна алгебра каде симболите може да означуваат број напред, или број назад, и е адекватно претставена со сегменти на права линија која поминува низ координатен почеток. Негативните вредности тогаш не се невозможни; тие се претставени со задниот сегмент. Но сепак постои невозможност за решавање во израз како што е којшто се појавува при решавањето на квадратните равенки. Четвртата фаза е двојна алгебра, каде симболот генерално опишува сегмент на права на некоја рамнина; тоа е двоен симбол бидејќи содржи две карактеристики, должина и насока; а се интерпретира како ознака за квадрант. Изразот тогаш претставува линија во рамнината која има абсциса а и ордината b. Арганд и Варен ја однесоа двојната алгебра дотаму; но не успеаја да да објаснат со оваа теорија израз како . Де Морган се обиде да го направи тоа со сведување на тој израз до формата , и сметаше дека покажал дека тоа е во секој случај возможно. Значаен факт е тоа да оваа двојна алгебра ги задоволува сите формални закони наведени погоре, и бидејќи секоја навидум невозможна комбинација на симболи е интерпретирана, ова личи на комплетна форма на алгебра.

Доколку оваа теорија е точна, следниот чекор би бил Тројна Алгебра ако навистина претставува линија во одредена рамнина, мора да биде возможно да се најде трет термин кој откако ќе се додаде на равенката ќе претставува линија во просторот. Арганд и некои руги претпоставуваа дека тоа е иако ова се коси со вистината поставена од Еулер дека . Де морган и многу други напорно работеа на овој проблем, но без резултати сè додека на ова не се нафати и Хамилтон. Сега ни е јасна причината: симболот од двојната алгебра не претставува должина и насока, туку множител и агол. Во неа аглите се во една рамнина; така што следната фаза би била Четворна Алгебра, каде и оската на рамнината е променлива. Ова го дава одговорот на првото прашање; двојната алгебра не е ништо повеќе од аналитичка тригонометрија на рамнина, и затоа се сметала за најдобро решение на задачите со променливи струи. Но Де Морган не стигна толку далеку; тој почина со убедувањето „дека двојната алгебра мора да остане како метод за целосен развој на концептот за аритметика, сè додека тие симболи се во прашање, кои што аритметиката ги предлага.“

Кога математичките студии се вратија на Универзитетот во Кембриџ, се вратија и студиите за логиката. Мотиватор беше Вивел; но други познати негови современици беа Сер В.Хамилтон од Единбург, и прф. Бул од Корк. Де Моргановата работа на формалната логика, објавена во 1847, е значајна во принцип на развој на нумерички дефинираните силогизми. Следбениците на Аристотел велат дека од два одредени предлога како Некои М се А, и некои М се Б, ништо не укажува дека А и Б се поврзани. Но тие одат дотаму да за секоја врска помеѓу А и Б да биде точна, средниот термин мора да биде универзално земен во една од премисите. Де Морган посочува дека од Најчесто М се А, и најчесто М се Б, следува потребата дека некои А се Б и го формулирал нумеричкиот дефинитивниот силогизам кој го поставува овој прицип во јасна бројна форма. Да претпоставиме дека бројот на М е м, на М кои се А е а, и на М кои се Б е б.; тогаш постојат најмалку (a + b − m) A кои се Б. Да претпоставиме дека бројот на луѓе на еден брод е 1000, дека 500 биле во салонот, а 700 биле изгубени; следува правило по кое најмалку 700+500-1000, т.е., 200 патници од салонот биле изгубени. Овој принцип е доволен да се докаже точноста на сите Аристотелови тврдења; и според тоа е принцип на неопходно резонирање. Тука веќе Де Морган прави голем напредок со претставување на квантификација на термините. Во тоа време Сер В. Хамилтон предаваше во Единбург доктрина за квантификацијата на тврдењата., и настана соработка. Сепак, Де Морган наскоро увиде дека Хамилтоновата квантификација е од друг карактер; дека се мисли на пример, кој ги заменува двете форми Цело А е Цео Б, и Цело А е дел од Б за Аристотеловата форма Сите А се Б. Филозофите во глобала имаат голема нетолеранција, тие се убедени дека ја знаат целата вистина и дека се надвор од нивниот систем е грешка. Хамилтон сметал дека го нашол клучот на Аристотеловата кула; и го кажал тоа; иако тоа била чудна кула која стоела 2000 год. без клуч. Како последица тој немал простор за Де Моргановите иновации. Тој го обвинил Де Морган за плагијатизам, и контроверзноста траеше со години во колумните на Athenæum и во делата на двата автори.

Мемоарите за логиката кои Де Морган ги даде на Филозофското општество на Кембриџ пред издавање на неговата книга Формална Логика се неговите најголеми придонеси кон науката, а особено неговиот четврт мемоар, во кој тој ја почнува работата на широкото поле на логика на релативности. Ова е целно поле на секој логичар на 20тиот век, каде е направена голема работа кон подобрување на јазикот и олеснивање на мисловните процеси кои се случуваат цело време во практиката. Идентитетот и разликата се двете работи обработувани од страна на логичарите, но има многу други кои заслужуваат проучување., како еднаквост, еквивалентност, сродност, афинитет и сл.

Во предговорот на Буџет на Парадокси Де Морган објаснува што мисли со зборовите. „Многу индивидуи, уште од почетокот на математичката работа, имаат, секој за себе, ги напаѓано своите директни и индиректни последици. Ќе го наречам секој од овие луѓе Парадоксер, а неговиот систем Парадокс. Го користам зборот во старата смисла; парадокс е нешто надвор од генералното мислење, како во тема, така и во метод и заклучок. Многу од работите кои ќе ги наведам ќе бидат наречени Ексцентричности, што е најблискиот збор кој го имаме за стар парадокс. Но постои разлика, со самото тоа што нешто нарекуваме ексцентричност ние зборуваме лесно за тоа, што не е целната смисла на парадоксот. Така да во 16ти век многу луѓе зборуваа за Земјиното движење како Парадоксот на Коперник и таа теорија имаше големо признание, и дури привлече голем број на луѓе кон себе. Во 17 ти век настапи темата за недостаток на значење, барем во Англија“

Како може да се разликува вистинскиот од лажниот парадоксер? Де Морган го дава следниот тест: „Начинот на кој парадоксерот ќе се претстави себеси, дали ќе има смисла или не, не зависи от тоа што застапува, туку от тоа колку знаење има стекнато од трудовите на другите, особено доколку го применува, што е предуслов за креирање на сопствени знаења. Новите знаења, со било каква примена, мора да бидат извод на старите знаења, во секоја смисла на зборот, и ретко је го следат ова правило. Сите светски откритија на некој начин наследиле не што од сбоите претходници, таму нема исклучок.

„Се сеќавам дека пред Американската Асоцијација да се сретне во Индијанаполис во 1890, локалниот весник издаде голема приказна која беше претставена пред присутните научници- млад човек кој живееше некаде на село беше го направил кругот-квадрат. За време на состанокот набљудував млад човек кој шеташе со ролна хартија во раката. Тој ми рече дека хартијата на која е неговото откритие не е примена. Го прашав дали неговата цел не е да му се објави делто за сите да можат да го видат, сето тоа што тој го постигнал. Но, Реков, Многу луѓе работеле на ова прашање, и нивните резултати се целосно тестирани,и отпечатени за сите оние кои знаат да читаат; дали сте се информирале за нивните резултати? По ов аследуваше дамо брза насмевка од лажниот парадоксер.“


Буџетот се состои од ревизии на голем број на парадоксални книги кои Де Морган ги имал акумулирано во својата библиотека, дел со купување од библиотеки, дел од книги кои му биле пратени за ревизија., дел од книги кои му биле пратени од авторите. Тој ја дава следната класификација. Квадратори на кругот, трисектори на аглите, дупликатори на коцката, конструктори на постојано движење, променувачи на гравитацијата, стагнатори на Земјата, градители на Универзумот. Ќе најдете примери за вакви луѓе низ цел свет во новиот век.

Де Морган го презентира сопстеното знаење за парадоксерите.„ Се сомневам дека знам повеќе за Англичаните од повеќето Британци. Никогаш не водев сметка за тоа. Но знам дека година по година, зборував со повеќе од петмина годишно, што ми даде некои 150 примероци. За ова сум сигурен и е моја вина што не биле 1000. Никој не знае како се собираат, освен оние до кои природно се обраќаат . Тие се од сите рангови и занимања, од сите возрасти и карактери. Тие се многу вредни луѓе и нивната цел е добра волја, т.е. објаснување на парадоксите. Голем дел- множеството од нив- се неписмени, и многу други ги трошат своите средства, и се приближуваат кон сиромаштијата. Овие истражувачи се мразат меѓусебно.“

Парадоксер на кој Де Морган му обрна исто толку внимание како и Ахил на Хектор—да го влече околу ѕидовите околу и околу—беше Џејмс Смит, успешен трговец од Ливерпул. Тој откри дека . Неговиот метод на размислување беше интерсна каракатура на Евклидовиот reductio ad absurdum. Тој рече нека , и потоа на таа претпоставка покажа дека секоја друга вредност е абсурдна, според тоа мора да биде точната вредност. Следново е пример за влечењето на влечењето на Де Морган околу ѕидовите на Троја. „Г-н Смитх продолжува да ми пишува долги писма, на кои тредлага да му одговорам. Во неговото последно писмо од 31 страна, тој ме информира, со нагласувње на мојата абстиненција, дека иако сметам дека другите ме сметаат за математички Голиат, јас всушност сум почнал да се однесувам како математички полжав, и не излегувам од лушпата. Математички полжав! Ова не може да биде она што го регулира чукањето на часовникот; бидејќи тоа би значело дека г-н Смитх би требало да го кажува точното време; што воопшто не би сакал да се случи за часовник кој е 19 секунди напред секој час, со погрешната квадрација на π. Но тој оди дотаму што ми вели камчињата на вистината и здравиот разум ќе ја скршат мојата лушпа, и ќе ме стават во hors de combat. Сбрката на слики е интерсна. Голиат се претворил во полжав да го избегне и Џејмс Смит и да ме постави во hors de combat со обични камчиња. Доколку Голиат се повлекол во лушпата, Давид би ги победил Филистинците со еден удар. Има малку скромност во кажувањето дека камчињата сѐ уште не ја скршиле школката, можеби тоа е затоа што фрлачот за тоа време веќе почнал да пее.“

Во областа на чистата математика Де Морган можел лесно да го разликува лажниот од точниот парадокс; но во физиката не бил толку прецизен. Неговиот дедо бил парадоксер, како и неговата сопруга, и, Де Морган ретко го избегнувал мислењето на физичките философи. Неговата сопруга напишала книга за феноменот на спиритуализмот., а Де Морган напишал предговор во кој вели дека му се познати некои од кажаните факти, други ги верува од кажување, но не се преправа дека знае дали се дело на духови, или некое друго непознато потекло. Како алтернатива тој ги остави нормалните материјални причини. Фарадеј имал едно предавање на тема Спиритуализам, во кое кажа дека треба да се испита дали овие феномени се физички можни, или невозможни; на Де Морган ова не му било јасно.