Контрадикција

Од Википедија — слободната енциклопедија
Прејди на: содржини, барај

Доказ со доведување до противречност[уреди]

Овој доказ спаѓа во групата на индиректни докази и уште е познат како доказ со доведување до контрадикција (апсурд), Reductio ad absurdum.

Суштината на Доказ со доведување до противречност се сосотои во следново: ако од негацијата на заклучокот и од претпоставката на теоремата следува некој исказ противречен на условот, некоја аксиома или теорема, тогаш тврдењето во теоремата е точно.

Познат пример на доказ со доведување до противречност е доказот дека \sqrt{2} е ирационален број:

Да претпоставиме дека \sqrt{2} е рационален број, па \sqrt{2} = {a\over b} каде a и b се ненулти цели заемно прости броеви. Значи, b\sqrt{2} = a. Квадрирајќи ги двете страни добиваме: 2b2 = a2. Бидејќи 2 ја множи левата страна, 2 мора да ја дели десната страна (тие се еднакви и се цели броеви). Значи a2 е парен, што повлекува дека a мора да е парен. Можеме да напишеме a = 2c, каде c е исто така цел број. Со замена во почетната равенка добиваме 2b2 = (2c)2 = 4c2. Ги делиме двете страни со 2 и добиваме b2 = 2c2. Но тогаш, исто како претходно, 2 го дели b2, па b мора да е парен. Сепак, ако a и b се двата парни, тогаш имаат заеднички делител, имено 2. Ова противречи со нашата претпоставка, значи заклучуваме дека \sqrt{2} е ирационален број.