Елементарна алгебра

Елементарната алгебра е релативно основна форма на алгебрата која предава на учениците за кои се претпоставува дека имаат мало или никакво формално познавање на математиката надвор од самата аритметика. Обично се предава во средно училиште под поимот алгебра. Главната разлика помеѓу алгебрата и аритметиката е вклучувањето на променливи. Во аритметиката се вклучуваат само броеви и нивните аритметички операции (како +, −, ×, ÷) додека во алгебрата се користат и симболи како x и y, или a и b за означување на променливите..

Карактеристики на алгебрата

Променливи

Целта на користење на променливи, симболи кои означуваат броеви е да се овозможи изработка на генерализации во математиката. Ова е корисно поради:

• Таа им овозможува на аритметичките равенки (и нееднаквости) бидат наведени како закони (како a + b = b + a за сите a и b), тој начин е првиот чекор на систематско проучување на особините на реален броен систем.
• Таа им овозможува повикување на броеви кои не се познати. Во контекст на проблемот, променливата може да претставува одредена вредност која сеуште не е позната, но може да се најде преку формулирање и манипулација на равенки.
• Таа овозможува истражување на математички односи меѓу количини (како на пример "ако продавате x билети, тогаш вашиот профит ќе биде 3x − 10 dollars").

Изрази

Во елементарната алгебра, израз може да содржи броеви, променливи и аритметички операции. Овие се конвенционално напишани со термините 'посилни' на левата страна (види полином); неколку примери се:

$x+3\,$

$y^{2}+2x-3\,$

$z^{7}+a(b+x^{3})+42/y-\pi .\,$

Во понапредната алгебра, израз исто така може да вклучува елементарни функции.

Операции

Својства на операции

Операција	Се пишува	комутативно	асоцијативно	идентичен елемент	инверзна операција
Собирање	a + b	a + b = b + a	(a + b) + c = a + (b + c)	0, која ги зачувува броевите: a + 0 = a	Одземање ( - )
Множење	a × b или a • b	a × b = b × a	(a × b) × c = a × (b × c)	1, кој ги зачувува броевите: a × 1 = a	Дивизија ( / )
Степенување	ab	Не комутативен	Не асоцијативен	1, кој ги зачувува броевите: a1 = a	Логаритам (Log)

• Операција на собирање...
  • Значи повторено собирање на: n = 1 + 1 +...+ 1 (n број пати);
  • Има инверзна операција наречена одземање: (a + b) − b = a, кој е ист како додавање на негативен број, a − b = a + (−b);

• Операција на множење...
  • Значи повторено собирање: a × n = a + a +...+ a (n број пати);
  • Има инверзна операција наречена поделба која е дефинирана за не-нута броеви: (ab)/b = a, кој е ист како множење со реципрочна (mathematics)|reciprocal]], a/b = a(1/b);
  • дистрибуира преку собирање: (a + b)c = ac + bc;
  • Е кратенка од спротивставување: a × b ≡ ab;

• Операција на степенување...
  • Значи повторено множење: aⁿ = a × a ×...× a (n број пати);
  • Има инверзна операција наречена логаритам: a^log_ab = b = log_aa^b;
  • Дистрибуира преку множење: (ab)^c = a^cb^c;
  • Може да бидат напишани во однос n-ти корен: a^m/n ≡ (ⁿ√a)^m и на тој начин дури и корени од негативни броеви не постојат во системот на реални броеви. (Види: систем на копмлексни броеви)
  • Има својство: a^ba^c = a^{b + c};
  • Има својство: (a^b)^c = a^bc.
  • Во целина: a^b ≠ b^a and (a^b)^c ≠ a^(bc);

Ред на операции

Главна статија: Ред на операции

Во математиката е важно дека вредноста на изразување е секогаш пресметана на ист начин. Затоа е неопходно да се пресметаат деловите на изразување во посебен ред познат како ред на операции. Стадардниот редослед на операции се изразува во следнава шема.

Шематските загради и останатите групни симболи вклучувајќи загради, апсолутна вредност симболи, и дел од барот

Eкспоненти и корени

Множење и делење

Собирање и одземање

Заедничката ретроспектива како уред за помнење на овој ред е PEMDAS. Општо земено во елементарната алгебра, употребата на загради (често се нарекува загради) ) и нивните едноставни апликации ќе се предаваат во повеќето. училишта во светот.

Равенки

Главна статија: Равенки

Равенката претставува тврдење дека два изрази имаат иста вредност и се еднакви. Некои равенки важат за сите вредности на променливите (како a + b = b + a); како равенки се нарекуваат идентитети. Условните равенки се вистинити само за некои вредности на променливи кои се вклучени: x² − 1 = 4. Вредностите на променливите кои ја прават равенката точна се решенија на равенката и можат да се најдат преку [[решавање на равенката

==== Својства на еднаквост

• Односот на еднаквост (=) е...
  • [[рефлексивна релација|рефлексивен= b;
  • [[симетрична релација|симетричен= = b тогаш = a;
  • [[преодна релација|преоден= = b и b = c тогаш = c.

• Односот на еднаквост (=) има својство
  • Ако = b и c = d тогаш' + c = b + d и ac = bd;
  • Дека ако a = b тогаш + c = b + c;
  • Дека ако два симболи се еднакви, тогаш можат да се заменат со други.

Својства на нееднаквост

• Односот на нееднаквост (<) има својство
  • На транзиција: ако a < b и b < c тогаш a < c;
  • Дека ако a < b и c < d тогаш a + c < b + d;
  • Дека ако a < b и c > 0 тогаш ac < bc;
  • Дека ако a < b и c < 0 тогаш bc < ac.

Algebraic examples

A typical algebra problem.

The following sections lay out examples of some of the types of alegbraic equations you might encounter.

Linear equations in one variable

Главна статија: Linear equation

The simplest equations to solve are linear equations that have only one variable. They contain only constant numbers and a single variable without an exponent. For example:

$2x+4=12.\,$

The central technique is add, subtract, multiply, or divide both sides of the equation by the same number in order to isolate the variable on one side of the equation. Once the variable is isolated, the other side of the equation is the value of the variable. For example, by subtracting 4 from both sides in the equation above:

$2x+4-4=12-4\,$

can simplify to:

$2x=8.\,$

Dividing both sides by 2:

${\frac {2x}{2}}={\frac {8}{2}}\,$

simplifies to the solution:

$x=4.\,$

The general case,

$ax+b=c\,$

follows the same procedure to obtain the solution:

$x={\frac {c-b}{a}}$

Quadratic equations

Главна статија: Quadratic equation

Quadratic equations can be expressed in the form ax² + bx + c = 0, where a is not zero (if it were zero, then the equation would not be quadratic but linear). Because of this a quadratic equation must contain the term ax², which is known as the quadratic term. Hence a ≠ 0, and so we may divide by a and rearrange the equation into the standard form

$x^{2}+px=q\,$

where p = b/a and q = −c/a. Solving this, by a process known as completing the square, leads to the quadratic formula.

Quadratic equations can also be solved using factorization (the reverse process of which is expansion, but for two linear terms is sometimes denoted foiling). As an example of factoring:

$x^{2}+3x-10=0.\,$

Which is the same thing as

$(x+5)(x-2)=0.\,$

It follows from the zero-product property that either x = 2 or x = −5 are the solutions, since precisely one of the factors must be equal to zero. All quadratic equations will have two solutions in the complex number system, but need not have any in the real number system. For example,

$x^{2}+1=0\,$

has no real number solution since no real number squared equals −1. Sometimes a quadratic equation has a root of multiplicity 2, such as:

$(x+1)^{2}=0.\,$

For this equation, −1 is a root of multiplicity 2.

Exponential and logarithmic equations

An exponential equation is an equation of the form a^X = b for a > 0, which has solution

$X=\log _{a}b={\frac {\ln b}{\ln a}}$

when b > 0. Elementary algebraic techniques are used to rewrite a given equation in the above way before arriving at the solution. For example, if

$3\cdot 2^{x-1}+1=10$

then, by subtracting 1 from both sides of the equation, and then dividing both sides by 3 we obtain

$2^{x-1}=3\,$

whence

$x-1=\log _{2}3\,$

or

$x=\log _{2}3+1.\,$

A logarithmic equation is an equation of the form log_aX = b for a > 0, which has solution

$X=a^{b}.\,$

For example, if

$4\log _{5}(x-3)-2=6\,$

then, by adding 2 to both sides of the equation, followed by dividing both sides by 4, we get

$\log _{5}(x-3)=2\,$

whence

$x-3=5^{2}=25\,$

from which we obtain

$x=28.\,$

Radical equations

A radical equation is an equation of the form X^m/n = a, for m, n integers, which has solution

$X={\sqrt[{m}]{a^{n}}}=\left({\sqrt[{m}]{a}}\right)^{n}$

if m is odd, and solution, and

$X=\pm {\sqrt[{m}]{a^{n}}}=\pm \left({\sqrt[{m}]{a}}\right)^{n}$

if m is even and a ≥ 0.

For example, if --------------------

$(x+5)^{2/3}=4,\,$

then

$x+5=\pm ({\sqrt {4}})^{3}=\pm 8$

$x=-5\pm 8$

or

$x=3,-13\,$.

System of linear equations

Главна статија: System of linear equations

In the case of a system of linear equations, like, for instance, two equations in two variables, it is often possible to find the solutions of both variables that satisfy both equations.

Elimination Method

An example of solving a system of linear equations is by using the elimination method:

${\begin{cases}4x+2y=14\\2x-y=1.\end{cases}}\,$

Multiplying the terms in the second equation by 2:

$4x+2y=14\,$

$4x-2y=2.\,$

Adding the two equations together to get:

$8x=16\,$

which simplifies to

$x=2.\,$

Since the fact that x = 2 is known, it is then possible to deduce that y = 3 by either of the original two equations (by using 2 instead of x) The full solution to this problem is then

${\begin{cases}x=2\\y=3.\end{cases}}\,$

Note that this is not the only way to solve this specific system; y could have been solved before x.

Second method of finding a solution

Another way of solving the same system of linear equations is by substitution.

${\begin{cases}4x+2y=14\\2x-y=1.\end{cases}}\,$

An equivalent for y can be deduced by using one of the two equations. Using the second equation:

$2x-y=1\,$

Subtracting 2x from each side of the equation:

$2x-2x-y=1-2x\,$

$-y=1-2x\,$

and multiplying by -1:

$y=2x-1.\,$

Using this y value in the first equation in the original system:

$4x+2(2x-1)=14\,$

$4x+4x-2=14\,$

$8x-2=14\,$

Adding 2 on each side of the equation:

$8x-2+2=14+2\,$

$8x=16\,$

which simplifies to

$x=2\,$

Using this value in one of the equations, the same solution as in the previous method is obtained.

${\begin{cases}x=2\\y=3.\end{cases}}\,$

Note that this is not the only way to solve this specific system; in this case as well, y could have been solved before x.

Други видови на системи од линеарни равенки

Нерешливи системи

Во примерот погоре , можно е да се најде решение. Сепак, постојат и системите од равенки кои немаат решение. Очигледен пример би бил:

${\begin{cases}x+y=1\\0x+0y=2\end{cases}}\,$

Втората равенка во системот нема можно решение. Затоа, овој систем не може да се реши. Сепак, сите некомпатибилни системи не се препознаваат на прв поглед. Како пример, следниот систем:

${\begin{cases}4x+2y=12\\-2x-y=-4\end{cases}}\,$

Кога се обидува да се реши овој (на пример, со користење на методот на замена погоре), втората равенка, по додавањето 2x од двете страни и множење со −1, резултира во:

$y=-2x+4\,$

И користење на оваа вредност за y во првата равенка:

$4x+2(-2x+4)=12\,$

$4x-4x+8=12\,$

$8=12\,$

Нe променливи се лево, и на еднаквост не е точно. Ова значи дека првата равенка не може да обезбеди решение за вредноста на y добиени во втората равенка.

Неопределени системи

Исто така постојат и системи кои имаат повеќе или Инфинит солушнс, во опозиција на систем со единствено решение (што значи, двете единствени вредности за x and y) На пример:

${\begin{cases}4x+2y=12\\-2x-y=-6\end{cases}}\,$

Изолирање на y во втората равенка:

$y=-2x+6\,$

И користење на оваа вредност во првата равенка во системот:

$4x+2(-2x+6)=12\,$

$4x-4x+12=12\,$

$12=12\,$

The equality is true, but it does not provide a value for x. Indeed, one can easily verify (by just filling in some values of x) that for any x there is a solution as long as y = −2x + 6. There are infinite solutions for this system.

Over- and underdetermined systems

Systems with more variables than the number of linear equations do not have a unique solution. An example of such a system is

${\begin{cases}x+2y=10\\y-z=2\end{cases}}$

Such a system is called underdetermined; when trying to find a solution, one or more variables can only be expressed in relation to the other variables, but cannot be determined numerically. Incidentally, a system with a greater number of equations than variables, in which necessarily some equations are sums or multiples of others, is called overdetermined.

Relation between solvability and multiplicity

Given any system of linear equations, there is a relation between multiplicity and solvability.
If one equation is a multiple of the other (or, more generally, a sum of multiples of the other equations), then the system of linear equations is undetermined, meaning that the system has infinitely many solutions. Example:

${\begin{cases}x+y=2\\2x+2y=4\end{cases}}$

has solutions (x,y) such as (1,1), (0,2), (1.8,0.2), (4,−2), (−3000.75,3002.75), and so on.

When the multiplicity is only partial (meaning that for example, only the left hand sides of the equations are multiples, while the right hand sides are not or not by the same number) then the system is unsolvable. For example, in

${\begin{cases}x+y=2\\4x+4y=1\end{cases}}$

the second equation yields that x + y = 1/4 which is in contradiction with the first equation. Such a system is also called inconsistent in the language of linear algebra. When trying to solve a system of linear equations it is generally a good idea to check if one equation is a multiple of the other. If this is precisely so, the solution cannot be uniquely determined. If this is only partially so, the solution does not exist.
This, however, does not mean that the equations must be multiples of each other to have a solution, as shown in the sections above; in other words: multiplicity in a system of linear equations is not a necessary condition for solvability.

See also

• Binary operation
• Gaussian elimination
• Mathematics education
• Number line
• Polynomial

References

• Leonhard Euler, Elements of Algebra, 1770. English translation Tarquin Press, 2007, ISBN 978-1-899618-79-8, also online digitized editions 2006, 1822.
• Charles Smith, A Treatise on Algebra, in Cornell University Library Historical Math Monographs.