Реден број

Во теоријата на множествата, реден број или ординал е поредочниот тип на едно добро подредено множество. Ваквите броеви обично ги среќаваме кај наследно транзитивни множества. Ординалите се продолжение на природните броеви кои се поинакви од целите броеви и кардиналите. Како и другите видови броеви, редните броеви можат да се собираат, множат и степенуваат.

Претставување на редни броеви до ω^ω. Секој свиок на спиралата претставува една моќност на ω

Во формален контекст, редните броеви во математиката ги вовел Георг Кантор во 1897 година со намера да ги опфати бесконечните низи и да ги класификува множествата според извесни видови на поредочни структури. Кантор впрочем ги открил сосем случајно, работејќи на проблем во тригонометриски низи.

Конечните редни броеви (и конечните кардинали) ги претставуваат природните броеви: 0, 1, 2, …, бидејќи било кои две подредувања на едно конечно множество се поредочно изоморфни. Најмалиот бесконечен реден број е ω, кој се асоцира со кардиналниот број ℵ₀. Меѓутоа во случајот на трансконечност, редните броеви по ω ординалите имаат поподробни својства од кардиналите бидејќи се носители на редослед. имаме само еден преброиво бесконечен кардинал, т.е. самиот ℵ₀, there are непреброиво многу преброиво бесконечни ординали, т.е.

ω, ω + 1, ω + 2, …, ω·2, ω·2 + 1, …, ω², …, ω³, …, ω^ω, …, ω^ωω, …, ε₀, ….

Тука собирањето и одземањето не се комутативни: поточно 1 + ω е ω наместо ω + 1 и така 2·ω е ω наместо ω·2. Множеството на сите преброиви ординали го сочинува првиот непреброив ординал ω₁, кој се асоцира со ℵ₁ (следниот кардинал по ℵ₀). Добро подредените кардинали се совпаѓаат со нивните првични ординали, т.е. најмалиот ординал со таа дадена кардиналност. „Кардиналноста на редниот број“ ја определува асоцијацијата „еден на повеќе“ од ординали на кардинали.

Општо земено, секој ординал α е „поредочен тип на множеството редни броеви“ без самиот ординал α. Ова својство овозможува секој ординал да се претстави како множество од сите ординали помали од него. Ординалите можеме да ги класификуваме како: нула, следбени ординали и гранични ординали (со разни коконечности). Ако имаме „класа на ординали“, можеме да го утврдиме α-тиот член на таа класа, т.е. можеме да ги наброиме. Ваквата класа е затворена и неограничена ако нејзината функцијата на редење е непрекината и не никогаш запира. Канторовиот нормален облик го претставува секој ординал засебно како конечен збир од ординалните степени на ω. Меѓутоа, ова не може да биде основа за универзално претставување на ординалите поради самоодносните претстави како ε₀ = ω^ε₀. Можеме да дефинираме сè поголеми ординали, но така тие стануваат сè потешки за опишување. Секој реден број може да се претвори во тополошки простор давајќи му поредочна топологија. Оваа топологија ќе биде дискретна ако и само ако ординалот е преброив кардинал, т.е. највеќе ω. Едно подмножество на ω + 1 ќе биде отворено во поредончната топологија ако и само ако е коконечно или не го содржи ω како елемент (не обете).

Поврзано

• Броење
• Алеф-број

Наводи

• Cantor, G., (1897), Beitrage zur Begrundung der transfiniten Mengenlehre. II (tr.: Contributions to the Founding of the Theory of Transfinite Numbers II), Mathematische Annalen 49, 207-246 превод на англиски.

Надворешни врски

• „Реден број“ од Ерик В. Вајсштајн — MathWorld (англиски)

• Редни броеви - ProvenMath (англиски)