Кардинален број

ℵ₀ е најмалиот кардинален број

Кардиналните броеви (латински: cardo, со значење „пресвртна точка“) — воопштување на природните броеви за опишување на кардиналноста на множествата.

Кардиналноста може да се објасни со помош на бијективна функција. Две множества имаат иста кардиналност ако и само ако постои бијекција меѓу елементите од двете множества. Во случајот на конечните множества, ова соодветствува со поимот на големина. Кардиналноста на конечно множество е природен број, т.е. бројот на елементи во множеството. Во случајот на бесконечните множества, однесувањето е многу посложено. множеството. Германскиот математичар Георг Кантор опишал како овој концепт од теоријата на множества може да се воопшти за бесконечните множества и како може да се пресметаат бесконечните кардинални броеви. Со неговата теорема тој покажал дека е можно бесконечните множества да имаат различна кардиналност, па така кардиналноста на множеството на реални броеви е поголема од онаа на множеството на природни броеви.

Кардиналноста на бесконечните множества се означува со симболот ℵ (ален, прва буква од хебрејското писмо), индексиран со цел број. Така на пример, кардиналноста на множеството на природни броеви $\mathbb {N}$ („најмала“ бесконечност) изнесува ℵ₀. Различните кардиналности на бесконечните множества овозможуваат образување на низа од повеќе алефи индексирани со редни броеви или:

$\aleph _{0},\aleph _{1},\aleph _{2},\ldots ,\aleph _{\alpha },\ldots .\$

Природните броеви може да се употребуваат за две намени: првата, за да се прикаже бројот на елементи во конечно множество и втората, за да се определи подреденоста на елементот во подредено множество. Овие два концепта соодветствуваат еден на друг за конечните множества, па поради тоа е неопходно истото да се направи за бесконечните. Прикажувањето на подреденоста во подредено множество води до поимот за реден број, додека големината води кон поимот за кардинален број.

Поврзано

• Кардиналност
• Теорија на множествата

Литература

• Dauben, Joseph Warren (1990), Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite, Princeton: Princeton University Press, ISBN 0691-02447-2.
• Erich Kamke: Mengenlehre (= Sammlung Göschen. Bd. 999/999a). 7. Auflage. de Gruyter, Berlin u. a. 1971, ISBN 3-11-003911-7.
• Hahn, Hans, Infinity, Part IX, Chapter 2, Volume 3 of The World of Mathematics. New York: Simon and Schuster, 1956.
• Halmos, Paul, Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).