Централен агол

Централен агол
Централен агол Θ има теме во центар O на кружницата
Тип	агол во рамнина (2д)
Поддршка	кружница

Нека е дадена кружница. Централен агол e агол чиe теме е центарот О на кружницата, а чии краци се два дистинктни радиуси. При опис или цртање на централен агол, покрај обележувањето на краците-радиусите, т.е. пресечните точките А и В, децидно треба да се обележи дали се мисли на конвексниот (<180°) или неконвексниот агол (>180°).

• Централен агол Θ е: 0° < Θ < 360° односно 0 < Θ < 2π (радијани)

Формули

Сл.1: Централен агол. Конвексен (го зафаќа пократкиот лак L).

Ако пресечните точки А и В на краците со кружницата формираат дијаметар, тогаш Θ = 180° и е рамен агол. (Во радијани, Θ = π.)

Нека L е пократкиот лак помеѓу А и В, а R нека е радиусот на кружницата.

• Ако централниот агол Θ го зафаќа L (види сл.1), тогаш

$0^{\circ }<\Theta <180^{\circ }\,,\,\,\Theta =\left({\frac {180L}{\pi R}}\right)^{\circ }={\frac {L}{R}}$$0^{\circ }<\Theta <180^{\circ }\,,\,\,\Theta =\left({\frac {180L}{\pi R}}\right)^{\circ }={\frac {L}{R}}$

Доказ (со степени): Периметарот на кружница со радиус R e: 2Rπ, а лакот L е (^Θ/_360°) пропорционален дел од целиот периметар (види лак (кружница)). Значи:

$L={\frac {\Theta }{360^{\circ }}}\cdot 2R\pi \,\Rightarrow \,\Theta =\left({\frac {180L}{\pi R}}\right)^{\circ }$$L={\frac {\Theta }{360^{\circ }}}\cdot 2R\pi \,\Rightarrow \,\Theta =\left({\frac {180L}{\pi R}}\right)^{\circ }$

Сл.2: Централен агол. Неконвексен (не го зафаќа пократкиот лак L).

Доказ (со радијани): Периметарот на кружница со радиус R e: 2Rπ, а лакот L е (^Θ/_2π) пропорционален дел од целиот периметар (види лак (кружница)). Значи:

$L={\frac {\Theta }{2\pi }}\cdot 2R\pi \,\Rightarrow \,\Theta ={\frac {L}{R}}$$L={\frac {\Theta }{2\pi }}\cdot 2R\pi \,\Rightarrow \,\Theta ={\frac {L}{R}}$

• Ако централниот агол Θ не го зафаќа L, тогаш тој е неконвексен агол (види сл.2) односно:

$180^{\circ }<\Theta <360^{\circ }\,,\,\,\Theta =\left(360-{\frac {180L}{\pi R}}\right)^{\circ }=2\pi -{\frac {L}{R}}$$180^{\circ }<\Theta <360^{\circ }\,,\,\,\Theta =\left(360-{\frac {180L}{\pi R}}\right)^{\circ }=2\pi -{\frac {L}{R}}$

Поврзани теми

• Видови агли
• Кружница
• Периферен агол

Надворешни линкови

• Златковска, С. (2010). „Врска меѓу централен и периферен агол“ (на македонски). http://sneze1.wikispaces.com/Врска+меѓу+централен+и+периферен+агол. конс. декември 2013 г.  интерактивен
• „Central angle (of a circle)“ (на англиски). Math Open Reference. 2009. http://www.mathopenref.com/circlecentral.html. конс. декември 2013 г.  интерактивен
• „Central Angle Theorem“ (на англиски). Math Open Reference. 2009. http://www.mathopenref.com/arccentralangletheorem.html. конс. декември 2013 г.  интерактивен