Точни тригонометриски вредности

Во математиката, вредностите на тригонометриските функции можат да се изразат приближно, како во $\cos(\pi /4)\approx 0.707$, или точно, како во $\cos(\pi /4)={\sqrt {2}}/2$. Додека тригонометриските таблици содржат многу приближни вредности, точните вредности за одредени агли може да се изразат со комбинација на аритметички операции и квадратни корени.

Вообичаени агли

Тригонометриските функции на аглите кои се множители на 15°, 18° или 22,5° имаат едноставни алгебарски вредности. Овие вредности се наведени во следната табела за агли од 0° до 90°. За агли вон овој опсег, тригонометриските вредности може да се најдат со примена на еднаквостите на рефлексија и поместување. Во табелата подолу, $\infty$ значи сооднос 1:0. Овие вредности може да се сметаат и за недефинирани (види делење со нула).

Радијани	Степени	sin	cos	tan	cot	sec	csc
$0$	$0^{\circ }$	$0$	$1$	$0$	$\infty$	$1$	$\infty$
${\frac {\pi }{12}}$	$15^{\circ }$	${\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}$	${\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}$	$2-{\sqrt {3}}$	$2+{\sqrt {3}}$	${\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}$	${\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}$
${\frac {\pi }{10}}$	$18^{\circ }$	${\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}$	${\frac {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{4}}$	${\frac {\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}{5}}$	${\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}$	${\frac {\sqrt {50-10{\sqrt {5}}}}{5}}$	$1+{\sqrt {5}}$
${\frac {\pi }{8}}$	$22.5^{\circ }$	${\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}{2}}$	${\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}$	${\sqrt {2}}-1$	${\sqrt {2}}+1$	${\sqrt {4-2{\sqrt {2}}}}$	${\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}$
${\frac {\pi }{6}}$	$30^{\circ }$	${\frac {1}{2}}$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$	${\frac {\sqrt {3}}{3}}$	${\sqrt {3}}$	${\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}$	$2$
${\frac {\pi }{5}}$	$36^{\circ }$	${\frac {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{4}}$	${\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}}$	${\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}$	${\frac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}{5}}$	${\sqrt {5}}-1$	${\frac {\sqrt {50+10{\sqrt {5}}}}{5}}$
${\frac {\pi }{4}}$	$45^{\circ }$	${\frac {\sqrt {2}}{2}}$	${\frac {\sqrt {2}}{2}}$	$1$	$1$	${\sqrt {2}}$	${\sqrt {2}}$
${\frac {3\pi }{10}}$	$54^{\circ }$	${\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}}$	${\frac {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{4}}$	${\frac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}{5}}$	${\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}$	${\frac {\sqrt {50+10{\sqrt {5}}}}{5}}$	${\sqrt {5}}-1$
${\frac {\pi }{3}}$	$60^{\circ }$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$	${\frac {1}{2}}$	${\sqrt {3}}$	${\frac {\sqrt {3}}{3}}$	$2$	${\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}$
${\frac {3\pi }{8}}$	$67.5^{\circ }$	${\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}$	${\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}{2}}$	${\sqrt {2}}+1$	${\sqrt {2}}-1$	${\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}$	${\sqrt {4-2{\sqrt {2}}}}$
${\frac {2\pi }{5}}$	$72^{\circ }$	${\frac {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{4}}$	${\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}$	${\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}$	${\frac {\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}{5}}$	$1+{\sqrt {5}}$	${\frac {\sqrt {50-10{\sqrt {5}}}}{5}}$
${\frac {5\pi }{12}}$	$75^{\circ }$	${\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}$	${\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}$	$2+{\sqrt {3}}$	$2-{\sqrt {3}}$	${\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}$	${\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}$
${\frac {\pi }{2}}$	$90^{\circ }$	$1$	$0$	$\infty$	$0$	$\infty$	$1$

Изразување со квадратни корени

Некои точни тригонометриски вредности, како на пример $\sin(60^{\circ })={\sqrt {3}}/2$, може да се изрази во смисла на комбинација од аритметички операции и квадратни корени. Таквите броеви се нарекуваат конструктибилни, бидејќи една должина може да се конструира со шестар и линијар од друга, ако и само ако односот помеѓу двете должини е таков број. Сепак, некои тригонометриски вредности, како на пример $\cos(20^{\circ })$, докажано е дека не се конструктибилни.

Синусот и косинусот на агол се конструктибилни ако и само ако аголот е конструктибилен. Ако аголот е рационален множител на π радијани, дали е конструктибилен или не, може да се одреди на следниов начин. Аголот нека биде $a\pi /b$ радијани, каде што a и b се заемно прости цели броеви. Тогаш аголот е конструктибилен ако и само ако првичната факторизација на именителот, b, се состои од кој било број на прости Фермаови броеви, секој со експонент 1, помножено со кој било степен на двојка. На пример, $15^{\circ }$ и $24^{\circ }$ се конструктибилни бидејќи се еквивалентни на $\pi /12$ и $2\pi /15$ радијани соодветно. 12 е производ од 3 и 4, а 3 е прост Фермаов број и 4=2*2 е производ на прост Фермаов број и степен на двојка, а 15 е производ на Фермаовите прости броеви 3 и 5. Од друга страна, $20^{\circ }$ не е конструктибилен затоа што одговара на именителот 9 = 3², а простиот број на Ферма не може да се подигне на степен поголем од еден. Друг пример, $(360/7)^{\circ }$ не е конструктибилен, бидејќи именителот 7 не е прост Фермаов број.

Изведување на конструктибилни вредности

Вредностите на тригонометриските броеви може да се изведат преку комбинација на методи. Вредностите на синус и косинус од 30, 45 и 60 степени се добиени со анализа на триаголниците 30-60-90 и 90-45-45. Ако аголот е изразен во радијани како $a\pi /b$, ова го опфаќа случајот кога a е 1, а b е 2, 3, 4 или 6.

Формула со половина агол

Ако именителот, b, се помножи со дополнителни множители на 2, синусот и косинусот може да се изведат со формулите за половина агол. На пример, 22,5° (π /8 rad) е половина од 45°, така што неговиот синус и косинус се:

$\sin(22.5^{\circ })={\sqrt {\frac {1-\cos(45^{\circ })}{2}}}={\sqrt {\frac {1-{\frac {\sqrt {2}}{2}}}{2}}}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}{2}}$

$\cos(22.5^{\circ })={\sqrt {\frac {1+\cos(45^{\circ })}{2}}}={\sqrt {\frac {1+{\frac {\sqrt {2}}{2}}}{2}}}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}$

Повторената примена на формулата за половина агол на косинус доведува до вгнездени квадратни корени кои продолжуваат во шема каде што секоја примена додава ${\sqrt {2+\cdots }}$ на броителот и именителот е 2. На пример:

$\cos \left({\frac {\pi }{16}}\right)={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\qquad \cos \left({\frac {\pi }{32}}\right)={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}}{2}}$

$\cos \left({\frac {\pi }{12}}\right)={\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}{2}}\qquad \cos \left({\frac {\pi }{24}}\right)={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}{2}}$

Синус од 18°

Случаите кога именителот, b, е 5 пати поголем од степенот 2, може да започнат од следното изведување на $\sin(18^{\circ })$, со оглед дека $18^{\circ }=\pi /10$ радијани. Изведувањето ги користи формулите за повеќекратни агли за синус и косинус. Со формулата за двоен агол за синус:

$\sin(36^{\circ })=2\sin(18^{\circ })\cos(18^{\circ })$

Според формулата за троен агол за косинус:

$\cos(54^{\circ })=\cos ^{3}(18^{\circ })-3\sin ^{2}(18^{\circ })\cos(18^{\circ })=\cos(18^{\circ })(1-4\sin ^{2}(18^{\circ }))$

Бидејќи sin(36°) = cos(54°), ги изедначуваме овие два изрази и го поништуваме факторот cos(18°):

$2\sin(18^{\circ })=1-4\sin ^{2}(18^{\circ })$

Оваа квадратна равенка има само еден позитивен корен:

$\sin(18^{\circ })={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}$

Користење на други еднаквости

Синусите и косинусите на многу други агли може да се изведат користејќи ги резултатите опишани погоре и комбинација од формулите за повеќекратни агли и формулите за збир и разлика. На пример, за случајот кога b е 15 пати поголема од степенот 2, бидејќи $24^{\circ }=60^{\circ }-36^{\circ }$, неговиот косинус може да се изведе со формулата за разлика од косинус:

${\begin{aligned}\cos(24^{\circ })&=\cos(60^{\circ })\cos(36^{\circ })+\sin(60^{\circ })\sin(36^{\circ })\\&={\frac {1}{2}}{\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}{\frac {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{4}}\\&={\frac {1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {30-6{\sqrt {5}}}}}{8}}\end{aligned}}$

Именител 17

Бидејќи 17 е прост Фермаов број, правилен 17-аголник е конструктибилен, што значи дека синусите и косинусите на аглите како што се $2\pi /17$ радијани може да се изразат со квадратни корени. Конкретно, во 1796 година, Карл Фридрих Гаус покажал дека:

$\cos \left({\frac {2\pi }{17}}\right)={\frac {-1+{\sqrt {17}}+{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}+2{\sqrt {17+3{\sqrt {17}}-{\sqrt {170+38{\sqrt {17}}}}}}}{16}}$

Оттука може да се изведат синусите и косинусите на другите конструктибилни агли со именител делив со 17.

Корени од единица

Ирационален број што може да се изрази како синус или косинус на рационален повеќекратник на π радијани се нарекува тригонометриски број. Бидејќи $\sin(x)=\cos(x-\pi /2),$ случајот на синус може да се изостави од оваа дефиниција. Затоа секој тригонометриски број може да се запише како $\cos(2\pi k/n)$, каде k и n се цели броеви. Овој број може да се замисли како реален дел од комплексниот број $\cos(2\pi k/n)+i\sin(2\pi k/n)$. Формулата на Де Моавр покажува дека броевите од овој облик се корени на единицата:

$\left(\cos \left({\frac {2\pi k}{n}}\right)+i\sin \left({\frac {2\pi k}{n}}\right)\right)^{n}=\cos(2\pi k)+i\sin(2\pi k)=1$

Бидејќи коренот на единицата е корен од полиномот x ⁿ − 1, тој е алгебарски. Бидејќи тригонометрискиот број е просекот на коренот на единицата и неговиот комплексен конјугат, а алгебарските броеви се затворени со аритметички операции, секој тригонометриски број е алгебарски.

Реалниот дел од кој било корен на единица е тригонометриски, освен ако не е рационален. Според Нивеновата теорема, единствените рационални броеви кои можат да се изразат како реален дел од коренот на единица се 0, 1, −1, 1/2 и −1/2.

Проширена табела со точни вредности: до 360 степени

Exact values of common angles

Радијан	Степен	sin	cos	tan	cot	sec	csc
$0$	$0^{\circ }$	$0$	$1$	$0$	$\infty$	$1$	$\infty$
${\frac {\pi }{24}}$	$7.5^{\circ }$	${\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}$	${\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}$	${\sqrt {6}}-{\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}-2$	${\sqrt {6}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}+2$	${\sqrt {2}}{\sqrt {8-3{\sqrt {6}}-{\sqrt {2(49-20{\sqrt {6}})}}}}$	${\sqrt {2}}{\sqrt {8+3{\sqrt {6}}+{\sqrt {2(49+20{\sqrt {6}})}}}}$
${\frac {\pi }{12}}$	$15^{\circ }$	${\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}-1)$	${\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}+1)$	$2-{\sqrt {3}}$	$2+{\sqrt {3}}$	${\sqrt {2}}({\sqrt {3}}-1)$	${\sqrt {2}}({\sqrt {3}}+1)$
${\frac {\pi }{10}}$	$18^{\circ }$	${\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}$	${\frac {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{4}}$	${\frac {\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}{5}}$	${\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}$	${\frac {\sqrt {50-10{\sqrt {5}}}}{5}}$	$1+{\sqrt {5}}$
${\frac {\pi }{8}}$	$22.5^{\circ }$	${\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}{2}}$	${\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}$	${\sqrt {2}}-1$	${\sqrt {2}}+1$	${\sqrt {4-2{\sqrt {2}}}}$	${\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}$
${\frac {\pi }{6}}$	$30^{\circ }$	${\frac {1}{2}}$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$	${\frac {\sqrt {3}}{3}}$	${\sqrt {3}}$	${\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}$	$2$
${\frac {\pi }{5}}$	$36^{\circ }$	${\frac {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{4}}$	${\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}}$	${\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}$	${\frac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}{5}}$	${\sqrt {5}}-1$	${\frac {\sqrt {50+10{\sqrt {5}}}}{5}}$
${\frac {\pi }{4}}$	$45^{\circ }$	${\frac {\sqrt {2}}{2}}$	${\frac {\sqrt {2}}{2}}$	$1$	$1$	${\sqrt {2}}$	${\sqrt {2}}$
${\frac {3\pi }{10}}$	$54^{\circ }$	${\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}}$	${\frac {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{4}}$	${\frac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}{5}}$	${\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}$	${\frac {\sqrt {50+10{\sqrt {5}}}}{5}}$	${\sqrt {5}}-1$
${\frac {\pi }{3}}$	$60^{\circ }$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$	${\frac {1}{2}}$	${\sqrt {3}}$	${\frac {\sqrt {3}}{3}}$	$2$	${\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}$
${\frac {3\pi }{8}}$	$67.5^{\circ }$	${\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}$	${\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}{2}}$	${\sqrt {2}}+1$	${\sqrt {2}}-1$	${\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}$	${\sqrt {4-2{\sqrt {2}}}}$
${\frac {2\pi }{5}}$	$72^{\circ }$	${\frac {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{4}}$	${\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}$	${\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}$	${\frac {\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}{5}}$	$1+{\sqrt {5}}$	${\frac {\sqrt {50-10{\sqrt {5}}}}{5}}$
${\frac {5\pi }{12}}$	$75^{\circ }$	${\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}+1)$	${\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}-1)$	$2+{\sqrt {3}}$	$2-{\sqrt {3}}$	${\sqrt {2}}({\sqrt {3}}+1)$	${\sqrt {2}}({\sqrt {3}}-1)$
${\frac {\pi }{2}}$	$90^{\circ }$	$1$	$0$	$\infty$	$0$	$\infty$	$1$
${\frac {7\pi }{12}}$	$105^{\circ }$	${\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}+1)$	$-{\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}-1)$	$-2-{\sqrt {3}}$	$-2+{\sqrt {3}}$	$-{\sqrt {2}}(1+{\sqrt {3}})$	${\sqrt {2}}({\sqrt {3}}-1)$
${\frac {2\pi }{3}}$	$120^{\circ }$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$	$-{\frac {1}{2}}$	$-{\sqrt {3}}$	$-{\frac {\sqrt {3}}{3}}$	$-2$	${\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}$
${\frac {3\pi }{4}}$	$135^{\circ }$	${\frac {\sqrt {2}}{2}}$	$-{\frac {\sqrt {2}}{2}}$	$-1$	$-1$	$-{\sqrt {2}}$	${\sqrt {2}}$
${\frac {5\pi }{6}}$	$150^{\circ }$	${\frac {1}{2}}$	$-{\frac {\sqrt {3}}{2}}$	$-{\frac {\sqrt {3}}{3}}$	$-{\sqrt {3}}$	$-{\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}$	$2$
${\frac {11\pi }{12}}$	$165^{\circ }$	${\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}-1)$	$-{\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}+1)$	$-2-{\sqrt {3}}$	$-2+{\sqrt {3}}$	$-{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}-1)$	${\sqrt {2}}({\sqrt {3}}+1)$
$\pi$	$180^{\circ }$	$0$	$-1$	$0$	$\infty$	$-1$	$\infty$
${\frac {13\pi }{12}}$	$195^{\circ }$	$-{\frac {{\sqrt {3}}-1}{2{\sqrt {2}}}}$	$-{\frac {{\sqrt {3}}+1}{2{\sqrt {2}}}}$	$2-{\sqrt {3}}$	$2+{\sqrt {3}}$	$-{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}-1)$	$-{\sqrt {2}}(1+{\sqrt {3}})$
${\frac {7\pi }{6}}$	$210^{\circ }$	$-{\frac {1}{2}}$	$-{\frac {\sqrt {3}}{2}}$	${\frac {\sqrt {3}}{3}}$	${\sqrt {3}}$	$-{\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}$	$-2$
${\frac {5\pi }{4}}$	$225^{\circ }$	$-{\dfrac {\sqrt {2}}{2}}$	$-{\dfrac {\sqrt {2}}{2}}$	$1$	$1$	$-{\sqrt {2}}$	$-{\sqrt {2}}$
${\frac {4\pi }{3}}$	$240^{\circ }$	$-{\frac {\sqrt {3}}{2}}$	$-{\frac {1}{2}}$	${\sqrt {3}}$	${\frac {\sqrt {3}}{3}}$	$-2$	$-{\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}$
${\frac {17\pi }{12}}$	$255^{\circ }$	$-{\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}+1)$	$-{\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}-1)$	$2+{\sqrt {3}}$	$2-{\sqrt {3}}$	$-{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}+1)$	$-{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}-1)$
${\frac {3\pi }{2}}$	$270^{\circ }$	$-1$	$0$	$\infty$	$0$	$\infty$	$-1$
${\frac {19\pi }{12}}$	$285^{\circ }$	$-{\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}+1)$	${\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}-1)$	$-2-{\sqrt {3}}$	$-2+{\sqrt {3}}$	${\sqrt {2}}({\sqrt {3}}+1)$	$-{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}-1)$
${\frac {5\pi }{3}}$	$300^{\circ }$	$-{\frac {\sqrt {3}}{2}}$	${\frac {1}{2}}$	$-{\sqrt {3}}$	$-{\frac {\sqrt {3}}{3}}$	$2$	$-{\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}$
${\frac {7\pi }{4}}$	$315^{\circ }$	$-{\frac {\sqrt {2}}{2}}$	${\frac {\sqrt {2}}{2}}$	$-1$	$-1$	${\sqrt {2}}$	$-{\sqrt {2}}$
${\frac {11\pi }{6}}$	$330^{\circ }$	$-{\frac {1}{2}}$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$	$-{\frac {\sqrt {3}}{3}}$	$-{\sqrt {3}}$	${\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}$	$-2$
${\frac {23\pi }{12}}$	$345^{\circ }$	$-{\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}-1)$	${\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}+1)$	$-2+{\sqrt {3}}$	$-2-{\sqrt {3}}$	${\sqrt {2}}({\sqrt {3}}-1)$	$-{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}+1)$

Поврзано

• Список на тригонометриски еднаквости

Библиографија

• Lehmer, D. H. (1933). „A note on trigonometric algebraic numbers“. American Mathematical Monthly. 40 (3): 165–166. doi:10.2307/2301023. JSTOR 2301023.
• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., уред. (1972). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-61272-0.
• Watkins, William; Zeitlin, Joel (1993). „The minimal polynomial of cos(2*pi/n)“. American Mathematical Monthly. 100 (5): 471–474. doi:10.2307/2324301. JSTOR 2324301.
• Girstmair, Kurt (1997). „Some linear relations between values of trigonometric functions at k*pi/n“ (PDF). Acta Arithmetica. 81 (4): 387–498. doi:10.4064/aa-81-4-387-398. MR 1472818.
• Conway, John H.; Radin, Charles; Sadun, Lorenzo (1999). „On angles whose squared trigonometric functions are rational“. Discrete & Computational Geometry. 22 (3): 321–332. arXiv:math-ph/9812019. doi:10.1007/PL00009463. MR 1706614. S2CID 563915.
• Bracken, Paul; Cizek, Jiri (2002). „evaluation of quanum mechanical perturbative sums in terms of quadratic surds and their use in the approximation of zeta(3)/pi^3“. International Journal of Quantum Chemistry: 42–53. doi:10.1002/qua.1803.
• Servi, L. D. (2003). „Nested square roots of 2“. American Mathematical Monthly. 110 (4): 326–330. doi:10.2307/3647881. JSTOR 3647881.
• Beslin, Scott; de Angelis, Valerio (2004). „The minimal polynomials of sin(2*pi/p) and cos(2*pi/p)“. Mathematics Magazine. 77 (2): 146–149. doi:10.1080/0025570X.2004.11953242. JSTOR 3219105. S2CID 118497912.
• Tangsupphathawat, Pinthira; Laohakosol, Vichian (2016). „Minimal polynomials of algebraic cosine values at rational multiples of pi“. Journal of Integer Sequences. 19: 16.2.8.