Теорема за симетрала на агол

Теорема за симетрала на агол — теорема што во рамнинската геометрија ги поврзува должините на спротивните страни на аглите со должините на другите две страни на триаголникот: симетралата на аголот на триаголникот ја дели неговата спротивна страна на делови кои се сразмерни со другите две страни.

Во триаголникот ABC, симетралата на внатрешниот агол A треба да ја сече страната a (BC) во точката D. Според теоремата, односот на должините на отсечките BD и DC е еднаков на односот на должините на страните c (AB) и b (AC):

{\frac {|BD|}{|DC|}}={\frac {|AB|}{|AC|}}\!\,.

Теоремата важи и за симетралите на надворешните агли.

Обопштување

Општо земено, исто така важи дека ако D е произволна точка на страната a (BC), тогаш:

{\frac {|BD|}{|DC|}}={\frac {|AB|\sin \angle DAB}{|AC|\sin \angle DAC}}\!\,.

Ако AD е симетрала на аголот BAC, тогаш:

\sin \angle DAB=\sin \angle DAC\!\,,

што го дава претходниот необопштен облик на теоремата.

Општиот облик на теоремата се применува и во случај точката D да лежи некаде во продолжение на страната a (BC), надвор од триаголникот, при што мора да се почитува правилната насока на растојанијата (вектори) и аглите.

Хармонична четворка точки

Симетралата на внатрешниот агол со точката D и симетралата на надворешниот агол со точката E ја делат страната BC (a) така што тие образуваат хармонична четворка точки и важи следново:

{\frac {|BD|}{|DC|}}={\frac {|EB|}{|EC|}}={\frac {|AB|}{|AC|}}={\frac {c}{b}}=\lambda \!\,.

Множество од сите точки за кои односот на нивните растојанија од две фиксни точки - во овој случај пресеците на страната a (B и C) - е константен (еднаков $\lambda$ ):

|MB|=\lambda |MC|\!\,,

е Аполониев круг. Тоа е посебен случај за $\lambda =1$ , кога точките лежат на симетралата на растојанието BC, а точката D е средишницата на BC, а соодветната точка E не постои. Односот на растојанието се означува со k или на пр. со обратна вредност $\lambda$ , $1/\mu$ .