Ова е список на лимеси на вообичаени функции како што се елементарните функции . Во оваа статија, поимите a , b и c се константи.
lim
x
→
c
f
(
x
)
=
L
{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L}
ако и само ако
∀
ε
>
0
∃
δ
>
0
:
0
<
|
x
−
c
|
<
δ
⟹
|
f
(
x
)
−
L
|
<
ε
{\displaystyle \forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0:0<|x-c|<\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon }
.
Ова е (ε, δ)-дефиниција на гранична вредност .
Горниот и долниот лимес на низата се дефинирани како
lim sup
n
→
∞
x
n
=
lim
n
→
∞
(
sup
m
≥
n
x
m
)
{\displaystyle \limsup _{n\to \infty }x_{n}=\lim _{n\to \infty }\left(\sup _{m\geq n}x_{m}\right)}
и
lim inf
n
→
∞
x
n
=
lim
n
→
∞
(
inf
m
≥
n
x
m
)
{\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}=\lim _{n\to \infty }\left(\inf _{m\geq n}x_{m}\right)}
.
За функција,
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
, се вели дека е континуирана во точка, c , ако
lim
x
→
c
f
(
x
)
=
f
(
c
)
.
{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=f(c).}
Ако
lim
x
→
c
f
(
x
)
=
L
{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L}
тогаш:
lim
x
→
c
[
f
(
x
)
±
a
]
=
L
±
a
{\displaystyle \lim _{x\to c}\,[f(x)\pm a]=L\pm a}
lim
x
→
c
a
f
(
x
)
=
a
L
{\displaystyle \lim _{x\to c}\,af(x)=aL}
[ 1] [ 2] [ 3]
lim
x
→
c
1
f
(
x
)
=
1
L
{\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {1}{f(x)}}={\frac {1}{L}}}
[ 4] ако L не е еднаков на 0.
lim
x
→
c
f
(
x
)
n
=
L
n
{\displaystyle \lim _{x\to c}\,f(x)^{n}=L^{n}}
ако n е позитивен цел број [ 1] [ 2] [ 3]
lim
x
→
c
f
(
x
)
1
n
=
L
1
n
{\displaystyle \lim _{x\to c}\,f(x)^{1 \over n}=L^{1 \over n}}
ако n е позитивен цел број, а ако n е парен, тогаш L > 0. [ 1] [ 3]
Општо земено, ако g (x ) е континуирана во L и
lim
x
→
c
f
(
x
)
=
L
{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L}
тогаш
lim
x
→
c
g
(
f
(
x
)
)
=
g
(
L
)
{\displaystyle \lim _{x\to c}g\left(f(x)\right)=g(L)}
[ 1] [ 2]
Ако
lim
x
→
c
f
(
x
)
=
L
1
{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L_{1}}
и
lim
x
→
c
g
(
x
)
=
L
2
{\displaystyle \lim _{x\to c}g(x)=L_{2}}
тогаш:
lim
x
→
c
[
f
(
x
)
±
g
(
x
)
]
=
L
1
±
L
2
{\displaystyle \lim _{x\to c}\,[f(x)\pm g(x)]=L_{1}\pm L_{2}}
[ 1] [ 2] [ 3]
lim
x
→
c
[
f
(
x
)
g
(
x
)
]
=
L
1
⋅
L
2
{\displaystyle \lim _{x\to c}\,[f(x)g(x)]=L_{1}\cdot L_{2}}
[ 1] [ 2] [ 3]
lim
x
→
c
f
(
x
)
g
(
x
)
=
L
1
L
2
ако
L
2
≠
0
{\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {L_{1}}{L_{2}}}\qquad {\text{ ако }}L_{2}\neq 0}
[ 1] [ 2] [ 3]
Во овие граници, бесконечно малата промена
h
{\displaystyle h}
често се означува
Δ
x
{\displaystyle \Delta x}
или
δ
x
{\displaystyle \delta x}
. Ако
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
е диференцијабилна во
x
{\displaystyle x}
,
lim
h
→
0
f
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)
h
=
f
′
(
x
)
{\displaystyle \lim _{h\to 0}{f(x+h)-f(x) \over h}=f'(x)}
. Ова е дефиницијата за извод . Сите правила за вадење извод , исто така, може да се дефинираат како правила што вклучуваат лимеси. На пример, ако g ( x ) е диференцијабилна во x ,
lim
h
→
0
f
∘
g
(
x
+
h
)
−
f
∘
g
(
x
)
h
=
f
′
[
g
(
x
)
]
g
′
(
x
)
{\displaystyle \lim _{h\to 0}{f\circ g(x+h)-f\circ g(x) \over h}=f'[g(x)]g'(x)}
. Ова е правило за извод од сложена функција .
lim
h
→
0
f
(
x
+
h
)
g
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)
g
(
x
)
h
=
f
′
(
x
)
g
(
x
)
+
f
(
x
)
g
′
(
x
)
{\displaystyle \lim _{h\to 0}{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x) \over h}=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)}
. Ова е правилото за производ .
lim
h
→
0
(
f
(
x
+
h
)
f
(
x
)
)
1
/
h
=
exp
(
f
′
(
x
)
f
(
x
)
)
{\displaystyle \lim _{h\to 0}\left({\frac {f(x+h)}{f(x)}}\right)^{1/h}=\exp \left({\frac {f'(x)}{f(x)}}\right)}
lim
h
→
0
(
f
(
e
h
x
)
f
(
x
)
)
1
/
h
=
exp
(
x
f
′
(
x
)
f
(
x
)
)
{\displaystyle \lim _{h\to 0}{\left({f(e^{h}x) \over {f(x)}}\right)^{1/h}}=\exp \left({\frac {xf'(x)}{f(x)}}\right)}
Ако
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
и
g
(
x
)
{\displaystyle g(x)}
се диференцијабилни во отворен интервал кој го содржи c , освен можеби самиот c , и
lim
x
→
c
f
(
x
)
=
lim
x
→
c
g
(
x
)
=
0
или
±
∞
{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0{\text{ или }}\pm \infty }
, може да се користи Лопиталовото правило :
lim
x
→
c
f
(
x
)
g
(
x
)
=
lim
x
→
c
f
′
(
x
)
g
′
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}
[ 2]
Ако
f
(
x
)
≤
g
(
x
)
{\displaystyle f(x)\leq g(x)}
за сите x во интервал кој го содржи c , освен можеби самиот c , и лимесите на
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
и
g
(
x
)
{\displaystyle g(x)}
постојат во c , тогаш [ 5]
lim
x
→
c
f
(
x
)
≤
lim
x
→
c
g
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)\leq \lim _{x\to c}g(x)}
Ако
lim
x
→
c
f
(
x
)
=
lim
x
→
c
h
(
x
)
=
L
{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}h(x)=L}
и
f
(
x
)
≤
g
(
x
)
≤
h
(
x
)
{\displaystyle f(x)\leq g(x)\leq h(x)}
за сите x во отворен интервал кој го содржи c , освен можеби самиот c ,
lim
x
→
c
g
(
x
)
=
L
.
{\displaystyle \lim _{x\to c}g(x)=L.}
Ова е познато како теорема на стискање.[ 1] [ 2] Ова се однесува дури и во случаите кога f ( x ) и g ( x ) добиваат различни вредности на c , или се дисконтинуирани при c .
lim
x
→
c
a
=
a
{\displaystyle \lim _{x\to c}a=a}
[ 1] [ 2] [ 3]
lim
x
→
c
x
=
c
{\displaystyle \lim _{x\to c}x=c}
[ 1] [ 2] [ 3]
lim
x
→
c
(
a
x
+
b
)
=
a
c
+
b
{\displaystyle \lim _{x\to c}(ax+b)=ac+b}
lim
x
→
c
x
n
=
c
n
{\displaystyle \lim _{x\to c}x^{n}=c^{n}}
ако n е позитивен цел број [ 5]
lim
x
→
∞
x
/
a
=
{
∞
,
a
>
0
не постои
,
a
=
0
−
∞
,
a
<
0
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }x/a={\begin{cases}\infty ,&a>0\\{\text{не постои}},&a=0\\-\infty ,&a<0\end{cases}}}
Генерално, ако
p
(
x
)
{\displaystyle p(x)}
е полином тогаш, според континуитетот на полиномите, [ 5]
lim
x
→
c
p
(
x
)
=
p
(
c
)
{\displaystyle \lim _{x\to c}p(x)=p(c)}
Ова важи и за рационалните функции , бидејќи тие се континуирани во нивните домени .[ 5]
lim
x
→
c
x
a
=
c
a
.
{\displaystyle \lim _{x\to c}x^{a}=c^{a}.}
[ 5] Посебно,
lim
x
→
∞
x
a
=
{
∞
,
a
>
0
1
,
a
=
0
0
,
a
<
0
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }x^{a}={\begin{cases}\infty ,&a>0\\1,&a=0\\0,&a<0\end{cases}}}
lim
x
→
c
x
1
/
a
=
c
1
/
a
{\displaystyle \lim _{x\to c}x^{1/a}=c^{1/a}}
.[ 5] Посебно,
lim
x
→
∞
x
1
/
a
=
lim
x
→
∞
x
a
=
∞
за кое било
a
>
0
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }x^{1/a}=\lim _{x\to \infty }{\sqrt[{a}]{x}}=\infty {\text{ за кое било }}a>0}
[ 6]
lim
x
→
0
+
x
−
n
=
lim
1
x
n
=
+
∞
{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{-n}=\lim {\frac {1}{x^{n}}}=+\infty }
lim
x
→
0
−
x
−
n
=
lim
x
→
0
−
1
x
n
=
{
−
∞
,
ако
n
е непарен
+
∞
,
ако
n
е парен
{\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}x^{-n}=\lim _{x\to 0^{-}}{\frac {1}{x^{n}}}={\begin{cases}-\infty ,&{\text{ако }}n{\text{ е непарен}}\\+\infty ,&{\text{ако }}n{\text{ е парен}}\end{cases}}}
lim
x
→
∞
a
x
−
1
=
lim
x
→
∞
a
/
x
=
0
за кое било реално
a
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }ax^{-1}=\lim _{x\to \infty }a/x=0{\text{ за кое било реално }}a}
lim
x
→
c
e
x
=
e
c
{\displaystyle \lim _{x\to c}e^{x}=e^{c}}
, поради континуитетот на
e
x
{\displaystyle e^{x}}
lim
x
→
∞
a
x
=
{
∞
,
a
>
1
1
,
a
=
1
0
,
0
<
a
<
1
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }a^{x}={\begin{cases}\infty ,&a>1\\1,&a=1\\0,&0<a<1\end{cases}}}
lim
x
→
∞
a
−
x
=
{
0
,
a
>
1
1
,
a
=
1
∞
,
0
<
a
<
1
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }a^{-x}={\begin{cases}0,&a>1\\1,&a=1\\\infty ,&0<a<1\end{cases}}}
[ 6]
lim
x
→
∞
a
x
=
lim
x
→
∞
a
1
/
x
=
{
1
,
a
>
0
0
,
a
=
0
не постои
,
a
<
0
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\sqrt[{x}]{a}}=\lim _{x\to \infty }{a}^{1/x}={\begin{cases}1,&a>0\\0,&a=0\\{\text{не постои}},&a<0\end{cases}}}
lim
x
→
∞
x
x
=
lim
x
→
∞
x
1
/
x
=
1
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\sqrt[{x}]{x}}=\lim _{x\to \infty }{x}^{1/x}=1}
lim
x
→
+
∞
(
x
x
+
k
)
x
=
e
−
k
{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\left({\frac {x}{x+k}}\right)^{x}=e^{-k}}
[ 2]
lim
x
→
0
(
1
+
x
)
1
x
=
e
{\displaystyle \lim _{x\to 0}\left(1+x\right)^{\frac {1}{x}}=e}
[ 2]
lim
x
→
0
(
1
+
k
x
)
m
x
=
e
m
k
{\displaystyle \lim _{x\to 0}\left(1+kx\right)^{\frac {m}{x}}=e^{mk}}
lim
x
→
+
∞
(
1
+
1
x
)
x
=
e
{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=e}
[ 7]
lim
x
→
+
∞
(
1
−
1
x
)
x
=
1
e
{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\left(1-{\frac {1}{x}}\right)^{x}={\frac {1}{e}}}
lim
x
→
+
∞
(
1
+
k
x
)
m
x
=
e
m
k
{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\left(1+{\frac {k}{x}}\right)^{mx}=e^{mk}}
[ 6]
lim
x
→
0
(
1
+
a
(
e
−
x
−
1
)
)
−
1
x
=
e
a
{\displaystyle \lim _{x\to 0}\left(1+a\left({e^{-x}-1}\right)\right)^{-{\frac {1}{x}}}=e^{a}}
. Оваа граница може да се изведе од оваа граница.
lim
x
→
0
x
e
−
x
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to 0}xe^{-x}=0}
lim
x
→
∞
x
e
−
x
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }xe^{-x}=0}
lim
x
→
0
(
a
x
−
1
x
)
=
ln
a
,
{\displaystyle \lim _{x\to 0}\left({\frac {a^{x}-1}{x}}\right)=\ln {a},}
за сите позитивни а. [ 4] [ 7]
lim
x
→
0
(
e
x
−
1
x
)
=
1
{\displaystyle \lim _{x\to 0}\left({\frac {e^{x}-1}{x}}\right)=1}
lim
x
→
0
(
e
a
x
−
1
x
)
=
a
{\displaystyle \lim _{x\to 0}\left({\frac {e^{ax}-1}{x}}\right)=a}
lim
x
→
c
ln
x
=
ln
c
{\displaystyle \lim _{x\to c}\ln {x}=\ln c}
, поради континуитетот на
ln
x
{\displaystyle \ln {x}}
. Посебно,
lim
x
→
0
+
log
x
=
−
∞
{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\log x=-\infty }
lim
x
→
∞
log
x
=
∞
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }\log x=\infty }
lim
x
→
1
ln
(
x
)
x
−
1
=
1
{\displaystyle \lim _{x\to 1}{\frac {\ln(x)}{x-1}}=1}
lim
x
→
0
ln
(
x
+
1
)
x
=
1
{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\ln(x+1)}{x}}=1}
[ 7]
lim
x
→
0
−
ln
(
1
+
a
(
e
−
x
−
1
)
)
x
=
a
{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {-\ln \left(1+a\left({e^{-x}-1}\right)\right)}{x}}=a}
. Оваа граница произлегува од Лопиталовото правило .
lim
x
→
0
x
ln
x
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to 0}x\ln x=0}
, оттука
lim
x
→
0
x
x
=
1
{\displaystyle \lim _{x\to 0}x^{x}=1}
lim
x
→
∞
ln
x
x
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\ln x}{x}}=0}
[ 6]
За b > 1,
lim
x
→
0
+
log
b
x
=
−
∞
{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\log _{b}x=-\infty }
lim
x
→
∞
log
b
x
=
∞
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }\log _{b}x=\infty }
За b < 1,
lim
x
→
0
+
log
b
x
=
∞
{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\log _{b}x=\infty }
lim
x
→
∞
log
b
x
=
−
∞
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }\log _{b}x=-\infty }
И двата случаи може да се обопштат на:
lim
x
→
0
+
log
b
x
=
−
F
(
b
)
∞
{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\log _{b}x=-F(b)\infty }
lim
x
→
∞
log
b
x
=
F
(
b
)
∞
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }\log _{b}x=F(b)\infty }
каде
F
(
x
)
=
2
H
(
x
−
1
)
−
1
{\displaystyle F(x)=2H(x-1)-1}
и
H
(
x
)
{\displaystyle H(x)}
е Хевисајдовата функција
Ако
x
{\displaystyle x}
се изразува во радијани:
lim
x
→
a
sin
x
=
sin
a
{\displaystyle \lim _{x\to a}\sin x=\sin a}
lim
x
→
a
cos
x
=
cos
a
{\displaystyle \lim _{x\to a}\cos x=\cos a}
И двата овие лимеси произлегуваат од континуитетот на sin и cos.
lim
x
→
0
sin
x
x
=
1
{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1}
.[ 7] [ 8] Или, општо,
lim
x
→
0
sin
a
x
a
x
=
1
{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin ax}{ax}}=1}
, за не еднаков на 0.
lim
x
→
0
sin
a
x
x
=
a
{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin ax}{x}}=a}
lim
x
→
0
sin
a
x
b
x
=
a
b
{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin ax}{bx}}={\frac {a}{b}}}
, за b не е еднакво на 0.
lim
x
→
∞
x
sin
(
1
x
)
=
1
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }x\sin \left({\frac {1}{x}}\right)=1}
lim
x
→
0
1
−
cos
x
x
=
lim
x
→
0
cos
x
−
1
x
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{x}}=\lim _{x\to 0}{\frac {\cos x-1}{x}}=0}
[ 4] [ 8] [ 9]
lim
x
→
0
1
−
cos
x
x
2
=
1
2
{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{x^{2}}}={\frac {1}{2}}}
lim
x
→
n
±
tan
(
π
x
+
π
2
)
=
∓
∞
{\displaystyle \lim _{x\to n^{\pm }}\tan \left(\pi x+{\frac {\pi }{2}}\right)=\mp \infty }
, за цел број n .
lim
x
→
0
tan
x
x
=
1
{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\tan x}{x}}=1}
. Или, општо,
lim
x
→
0
tan
a
x
a
x
=
1
{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\tan ax}{ax}}=1}
, за не еднаков на 0.
lim
x
→
0
tan
a
x
b
x
=
a
b
{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\tan ax}{bx}}={\frac {a}{b}}}
, за b не е еднакво на 0.
lim
n
→
∞
sin
sin
⋯
sin
(
x
0
)
⏟
n
=
0
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\ \underbrace {\sin \sin \cdots \sin(x_{0})} _{n}=0}
, каде што x 0 е произволен реален број.
lim
n
→
∞
cos
cos
⋯
cos
(
x
0
)
⏟
n
=
d
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\ \underbrace {\cos \cos \cdots \cos(x_{0})} _{n}=d}
, каде што d е Дотиев број. x 0 може да биде кој било произволен реален број.
Општо земено, секоја бесконечна серија е граница на нејзините парцијални збирови . На пример, аналитичката функција е границата на нејзината Тејлорова серија , во нејзиниот радиус на конвергенција.
lim
n
→
∞
∑
k
=
1
n
1
k
=
∞
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}=\infty }
. Ова е познато како хармониска серија.[ 6]
lim
n
→
∞
(
∑
k
=
1
n
1
k
−
log
n
)
=
γ
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\log n\right)=\gamma }
. Ова е Ојлер-Маскерониева константа.
lim
n
→
∞
n
n
!
n
=
e
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}=e}
lim
n
→
∞
(
n
!
)
1
/
n
=
∞
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(n!\right)^{1/n}=\infty }
. Ова може да се докаже со разгледување на нееднаквоста
e
x
≥
x
n
n
!
{\displaystyle e^{x}\geq {\frac {x^{n}}{n!}}}
на
x
=
n
{\displaystyle x=n}
.
lim
n
→
∞
2
n
2
−
2
+
2
+
⋯
+
2
⏟
n
=
π
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\,2^{n}\underbrace {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+\dots +{\sqrt {2}}}}}}}} _{n}=\pi }
. Ова може да се изведе од Виетовата формула за π .
Асимптотските еквиваленции,
f
(
x
)
∼
g
(
x
)
{\displaystyle f(x)\sim g(x)}
, се вистинити ако
lim
x
→
∞
f
(
x
)
g
(
x
)
=
1
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{g(x)}}=1}
. Затоа, тие исто така може да се преформулираат како лимеси. Некои значајни асимптотски еквиваленции се:
lim
x
→
∞
x
/
ln
x
π
(
x
)
=
1
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {x/\ln x}{\pi (x)}}=1}
, поради теоремата за прости броеви ,
π
(
x
)
∼
x
ln
x
{\displaystyle \pi (x)\sim {\frac {x}{\ln x}}}
, каде π(x) е функција на распределба на простите броеви .
lim
n
→
∞
2
π
n
(
n
e
)
n
n
!
=
1
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {{\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}{n!}}=1}
, поради Стирлинговата формула ,
n
!
∼
2
π
n
(
n
e
)
n
{\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}
.
Однесувањето на функциите опишани со ноцаија големо O може да се опише и со лимеси. На пример
f
(
x
)
∈
O
(
g
(
x
)
)
{\displaystyle f(x)\in {\mathcal {O}}(g(x))}
ако
lim sup
x
→
∞
|
f
(
x
)
|
g
(
x
)
<
∞
{\displaystyle \limsup _{x\to \infty }{\frac {|f(x)|}{g(x)}}<\infty }
↑ 1,00 1,01 1,02 1,03 1,04 1,05 1,06 1,07 1,08 1,09 „Basic Limit Laws“ . math.oregonstate.edu . Архивирано од изворникот на 2019-07-30. Посетено на 2019-07-31 .
↑ 2,00 2,01 2,02 2,03 2,04 2,05 2,06 2,07 2,08 2,09 2,10 2,11 „Limits Cheat Sheet - Symbolab“ . www.symbolab.com (англиски). Посетено на 2019-07-31 .
↑ 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 „Section 2.3: Calculating Limits using the Limit Laws“ (PDF) .
↑ 4,0 4,1 4,2 „Limits and Derivatives Formulas“ (PDF) .
↑ 5,0 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 „Limits Theorems“ . archives.math.utk.edu . Архивирано од изворникот на 2019-08-02. Посетено на 2019-07-31 .
↑ 6,0 6,1 6,2 6,3 6,4 „Some Special Limits“ . www.sosmath.com . Посетено на 2019-07-31 .
↑ 7,0 7,1 7,2 7,3 „SOME IMPORTANT LIMITS - Math Formulas - Mathematics Formulas - Basic Math Formulas“ . www.pioneermathematics.com . Архивирано од изворникот на 2019-07-31. Посетено на 2019-07-31 .
↑ 8,0 8,1 „World Web Math: Useful Trig Limits“ . Massachusetts Institute of Technology . Посетено на 2023-03-20 .
↑ „Calculus I - Proof of Trig Limits“ . Посетено на 2023-03-20 .