Прејди на содржината

Список на лимеси

Од Википедија — слободната енциклопедија

Ова е список на лимеси на вообичаени функции како што се елементарните функции. Во оваа статија, поимите a, b и c се константи.

Лимеси на општи функции

[уреди | уреди извор]

Дефиниции на лимеси и сродни концепти

[уреди | уреди извор]

ако и само ако .

Ова е (ε, δ)-дефиниција на гранична вредност.

Горниот и долниот лимес на низата се дефинирани како

и .

За функција, , се вели дека е континуирана во точка, c, ако

Операции на еден познат лимес

[уреди | уреди извор]

Ако тогаш:

  • [1] [2] [3]
  • [4] ако L не е еднаков на 0.
  • ако n е позитивен цел број [1] [2] [3]
  • ако n е позитивен цел број, а ако n е парен, тогаш L > 0. [1] [3]

Општо земено, ако g (x) е континуирана во L и тогаш

  • [1] [2]

Операции на два познати лимеси

[уреди | уреди извор]

Ако и тогаш:

  • [1] [2] [3]
  • [1] [2] [3]
  • [1] [2] [3]

Лимеси кои вклучуваат изводи или инфинитиземални промени

[уреди | уреди извор]

Во овие граници, бесконечно малата промена често се означува или . Ако е диференцијабилна во ,

  • . Ова е дефиницијата за извод. Сите правила за вадење извод, исто така, може да се дефинираат како правила што вклучуваат лимеси. На пример, ако g ( x ) е диференцијабилна во x ,

Ако и се диференцијабилни во отворен интервал кој го содржи c, освен можеби самиот c, и , може да се користи Лопиталовото правило:

  • [2]

Нееднаквости

[уреди | уреди извор]

Ако за сите x во интервал кој го содржи c, освен можеби самиот c, и лимесите на и постојат во c, тогаш [5]Ако и за сите x во отворен интервал кој го содржи c, освен можеби самиот c ,Ова е познато како теорема на стискање.[1] [2] Ова се однесува дури и во случаите кога f ( x ) и g ( x ) добиваат различни вредности на c, или се дисконтинуирани при c.

Полиноми и функции во облик xa

[уреди | уреди извор]
  • [1] [2] [3]

Полиноми по x

[уреди | уреди извор]
  • [1] [2] [3]
  • ако n е позитивен цел број [5]

Генерално, ако е полином тогаш, според континуитетот на полиномите, [5]Ова важи и за рационалните функции, бидејќи тие се континуирани во нивните домени.[5]

Функции во облик xa

[уреди | уреди извор]
  • [5] Посебно,
  • .[5] Посебно,
    • [6]

Експоненцијални функции

[уреди | уреди извор]

Функции во облик ag(x)

[уреди | уреди извор]
  • , поради континуитетот на
  • [6]

Функции во облик xg(x)

[уреди | уреди извор]

Функции во облик f(x)g(x)

[уреди | уреди извор]
  • [2]
  • [2]
  • [7]
  • [6]
  • . Оваа граница може да се изведе од оваа граница.

Суми, производи и композити

[уреди | уреди извор]
  • за сите позитивни а.[4] [7]

Логаритамски функции

[уреди | уреди извор]

Природни логаритми

[уреди | уреди извор]
  • , поради континуитетот на . Посебно,
  • [7]
  • . Оваа граница произлегува од Лопиталовото правило.
  • , оттука
  • [6]

Логаритми на произволни основи

[уреди | уреди извор]

За b > 1,

За b < 1,

И двата случаи може да се обопштат на:

каде и е Хевисајдовата функција

Тригонометриски функции

[уреди | уреди извор]

Ако се изразува во радијани:

И двата овие лимеси произлегуваат од континуитетот на sin и cos.

  • .[7] [8] Или, општо,
    • , за не еднаков на 0.
    • , за b не е еднакво на 0.
  • [4] [8] [9]
  • , за цел број n.
  • . Или, општо,
    • , за не еднаков на 0.
    • , за b не е еднакво на 0.
  • , каде што x0 е произволен реален број.
  • , каде што d е Дотиев број. x0 може да биде кој било произволен реален број.

Општо земено, секоја бесконечна серија е граница на нејзините парцијални збирови. На пример, аналитичката функција е границата на нејзината Тејлорова серија, во нејзиниот радиус на конвергенција.

  • . Ова е познато како хармониска серија.[6]
  • . Ова е Ојлер-Маскерониева константа.

Забележителни посебни граници

[уреди | уреди извор]
  • . Ова може да се докаже со разгледување на нееднаквоста на .
  • . Ова може да се изведе од Виетовата формула за π.

Ограничувачко однесување

[уреди | уреди извор]

Асимптотски еквиваленции

[уреди | уреди извор]

Асимптотските еквиваленции, , се вистинити ако . Затоа, тие исто така може да се преформулираат како лимеси. Некои значајни асимптотски еквиваленции се:

Нотација големо О

[уреди | уреди извор]

Однесувањето на функциите опишани со ноцаија големо O може да се опише и со лимеси. На пример

  • ако
  1. 1,00 1,01 1,02 1,03 1,04 1,05 1,06 1,07 1,08 1,09 „Basic Limit Laws“. math.oregonstate.edu. Архивирано од изворникот на 2019-07-30. Посетено на 2019-07-31.
  2. 2,00 2,01 2,02 2,03 2,04 2,05 2,06 2,07 2,08 2,09 2,10 2,11 „Limits Cheat Sheet - Symbolab“. www.symbolab.com (англиски). Посетено на 2019-07-31.
  3. 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 „Section 2.3: Calculating Limits using the Limit Laws“ (PDF).
  4. 4,0 4,1 4,2 „Limits and Derivatives Formulas“ (PDF).
  5. 5,0 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 „Limits Theorems“. archives.math.utk.edu. Архивирано од изворникот на 2019-08-02. Посетено на 2019-07-31.
  6. 6,0 6,1 6,2 6,3 6,4 „Some Special Limits“. www.sosmath.com. Посетено на 2019-07-31.
  7. 7,0 7,1 7,2 7,3 „SOME IMPORTANT LIMITS - Math Formulas - Mathematics Formulas - Basic Math Formulas“. www.pioneermathematics.com. Архивирано од изворникот на 2019-07-31. Посетено на 2019-07-31.
  8. 8,0 8,1 „World Web Math: Useful Trig Limits“. Massachusetts Institute of Technology. Посетено на 2023-03-20.
  9. „Calculus I - Proof of Trig Limits“. Посетено на 2023-03-20.