Транслација (геометрија): Разлика помеѓу преработките
[проверена преработка] | [проверена преработка] |
поправка на правопис |
с Замена со македонски назив на предлошка, replaced: cite web → Наведена мрежна страница (8) |
||
Ред 1: | Ред 1: | ||
[[Податотека:translation_geometry.gif|right|frame|Транслација на четириаголникот ABCD за вектор ''v'' (креиран со Геогебра)]] |
[[Податотека:translation_geometry.gif|right|frame|Транслација на четириаголникот ABCD за вектор ''v'' (креиран со Геогебра)]] |
||
<div style="line-height:2em"> |
<div style="line-height:2em"> |
||
Во [[геометрија]]та, '''транслација''' на една фигура за даден [[вектор]] е паралелно поместување на фигурата така што секоја точка од фигурата се поместува за векторот (види анимацијата).<ref>{{ |
Во [[геометрија]]та, '''транслација''' на една фигура за даден [[вектор]] е паралелно поместување на фигурата така што секоја точка од фигурата се поместува за векторот (види анимацијата).<ref>{{Наведена мрежна страница | url=http://web.cortland.edu/matresearch/OxfordDictionaryMathematics.pdf |title=Oxford Concise Dictionary of Mathematics, "Translation" | first1=C.|last1=Clapham|first2=J.|last2=Nicholson | publisher =Addison-Wesley | year =2009|page=787|language=англиски|accessdate=Септември 2013}}</ref> |
||
'''Основна поставка:''' При транслација, фигурата ''не'' е ротирана, ''не'' е превртена, и ''не'' е растегната. Само се лизга паралелно.<ref>{{ |
'''Основна поставка:''' При транслација, фигурата ''не'' е ротирана, ''не'' е превртена, и ''не'' е растегната. Само се лизга паралелно.<ref>{{Наведена мрежна страница | url=http://www.mathopenref.com/translate.html| title =Translate | publisher =Math Open Reference|year=2009|language=англиски|accessdate=Септември 2013}} интерактивен</ref> |
||
</div> |
</div> |
||
Ред 10: | Ред 10: | ||
Често пати трансформацијата '''транслација за вектор ''v''''' се означува со: '''T<sub>''v''</sub>'''. |
Често пати трансформацијата '''транслација за вектор ''v''''' се означува со: '''T<sub>''v''</sub>'''. |
||
Во рамнина: нека F е множеството на сите точки на една геометриска фигура, a нека ''v'' е вектор со почетна точка P=(''x<sub>p</sub>'',''y<sub>p</sub>'') и крајна точка Q=(''x<sub>q</sub>'',''y<sub>q</sub>''). |
Во рамнина: нека F е множеството на сите точки на една геометриска фигура, a нека ''v'' е вектор со почетна точка P=(''x<sub>p</sub>'',''y<sub>p</sub>'') и крајна точка Q=(''x<sub>q</sub>'',''y<sub>q</sub>''). |
||
Го формираме соодветниот [[радиус-вектор]] ''r''<sub>v</sub> на ''v'', т.е. ''r'' е вектор со почетна точка (0,0) и крајна точка R=Q-P: |
Го формираме соодветниот [[радиус-вектор]] ''r''<sub>v</sub> на ''v'', т.е. ''r'' е вектор со почетна точка (0,0) и крајна точка R=Q-P: |
||
Ред 16: | Ред 16: | ||
Тогаш: |
Тогаш: |
||
:<math>T_v(F)=F+(r_x,r_y)=F+R=F' \,,</math> <math>\,\,\,\,F'= \{(x+r_x,y+r_y)|(x,y)\in F \} </math>. |
:<math>T_v(F)=F+(r_x,r_y)=F+R=F' \,,</math> <math>\,\,\,\,F'= \{(x+r_x,y+r_y)|(x,y)\in F \} </math>. |
||
'''Пример:''' Нека F е триаголникот со темињата A=(2,0), B=(6,-2), C=(4,3) и ''v'' нека е векторот со почетна точка P=(1,4) и крајна точка Q=(4,8). Тогаш |
'''Пример:''' Нека F е триаголникот со темињата A=(2,0), B=(6,-2), C=(4,3) и ''v'' нека е векторот со почетна точка P=(1,4) и крајна точка Q=(4,8). Тогаш |
||
:<math>\vec{r}_v=<4-1,8-4>=<3,4></math> , <math>R=(3,4)</math> и <math>F'=T_v(F)</math> е триаголникот со темињата: A'=(2,0)+(3,4)=(5,4), B'=(6,-2)+(3,4)=(9,2), C'=(4,3)+(3,4)=(7,7) (види слика). |
:<math>\vec{r}_v=<4-1,8-4>=<3,4></math> , <math>R=(3,4)</math> и <math>F'=T_v(F)</math> е триаголникот со темињата: A'=(2,0)+(3,4)=(5,4), B'=(6,-2)+(3,4)=(9,2), C'=(4,3)+(3,4)=(7,7) (види слика). |
||
==Особини на транслација== |
==Особини на транслација== |
||
Транслација како трансформацијата ги има следните особини:<ref>{{ |
Транслација како трансформацијата ги има следните особини:<ref>{{Наведена мрежна страница | url=http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Translation.shtml|title=Translation Transform|Publisher=Cut-the-Knot|last=Bogomolny|first=A.|year =2010|language=англиски|accessdate=Септември 2013}} интерактивeн</ref> |
||
* Транслација е т.н. '''крута трансформација''', т.е. по транслација, фигурата останува со иста големина и образ. Другите две крути трансформации се [[ротација]] и [[рефлексија]]. |
* Транслација е т.н. '''крута трансформација''', т.е. по транслација, фигурата останува со иста големина и образ. Другите две крути трансформации се [[ротација]] и [[рефлексија]]. |
||
* Tранслацијата на една геометриска фигура и самата фигура се [[складност|складни]] фигури. |
* Tранслацијата на една геометриска фигура и самата фигура се [[складност|складни]] фигури. |
||
Ред 34: | Ред 31: | ||
* Транслацијата е комутативна трансформација, т.е. T<sub>u</sub>T<sub>v</sub>=T<sub>v</sub>T<sub>u</sub>. |
* Транслацијата е комутативна трансформација, т.е. T<sub>u</sub>T<sub>v</sub>=T<sub>v</sub>T<sub>u</sub>. |
||
* Инверзната транслација на Т<sub>''v''</sub> е Т<sub>''-v''</sub> каде што ''-v'' е вектор со истата должина и правец како ''v'', а обратна насока, т.е. Т<sub>''v''</sub>+Т<sub>''-v''</sub>=Т<sub>0</sub> (нема поместување). |
* Инверзната транслација на Т<sub>''v''</sub> е Т<sub>''-v''</sub> каде што ''-v'' е вектор со истата должина и правец како ''v'', а обратна насока, т.е. Т<sub>''v''</sub>+Т<sub>''-v''</sub>=Т<sub>0</sub> (нема поместување). |
||
==Обопштување== |
==Обопштување== |
||
Ред 40: | Ред 36: | ||
*Транслација на ℝ<sup>n</sup> за ''v'' може да се разгледа како поместување на координатниот почеток во точката R. |
*Транслација на ℝ<sup>n</sup> за ''v'' може да се разгледа како поместување на координатниот почеток во точката R. |
||
**На пример, за ''n''=3, ако A е произволна точка, Т<sub>''v''</sub>(A)=A+R. Ова важи и за A=(0,0,0) така што Т<sub>''v''</sub>((0,0,0))=R. |
**На пример, за ''n''=3, ако A е произволна точка, Т<sub>''v''</sub>(A)=A+R. Ова важи и за A=(0,0,0) така што Т<sub>''v''</sub>((0,0,0))=R. |
||
==Претставување на транслација со матрици== |
==Претставување на транслација со матрици== |
||
Секоја транслација T<sub>''v''</sub> за вектор ''v'' може да се претстави со т.н. транслациона матрица. |
Секоја транслација T<sub>''v''</sub> за вектор ''v'' може да се претстави со т.н. транслациона матрица. |
||
Множење на матрица со матрица-од-точка секогаш ја пресликува координатниот почеток во координатниот почеток. Меѓутоа, има стандарден начин како да се избегне ова.<ref>{{cite book|last=Richard| first=Paul| year=1981| url=http://books.google.com/books?id=UzZ3LAYqvRkC&printsec=frontcover&source=gbs_ge_summary_r&cad=0#v=onepage&q&f=false| title=Robot manipulators: mathematics, programming, and control: the computer control of robot manipulators|publisher= MIT Press, Cambridge, MA|isbn=978-0262160827}}</ref> |
Множење на матрица со матрица-од-точка секогаш ја пресликува координатниот почеток во координатниот почеток. Меѓутоа, има стандарден начин како да се избегне ова.<ref>{{cite book|last=Richard| first=Paul| year=1981| url=http://books.google.com/books?id=UzZ3LAYqvRkC&printsec=frontcover&source=gbs_ge_summary_r&cad=0#v=onepage&q&f=false| title=Robot manipulators: mathematics, programming, and control: the computer control of robot manipulators|publisher= MIT Press, Cambridge, MA|isbn=978-0262160827}}</ref> |
||
Нека ''v'' е вектор во Евклидов простор ℝ<sup>3</sup>, a r=<''r''<sub>x</sub>,''r''<sub>y</sub>,''r''<sub>z</sub>> нека е соодветниот радиус-вектор. Ја формираме 4х4 '''транслациона матрица''': |
Нека ''v'' е вектор во Евклидов простор ℝ<sup>3</sup>, a r=<''r''<sub>x</sub>,''r''<sub>y</sub>,''r''<sub>z</sub>> нека е соодветниот радиус-вектор. Ја формираме 4х4 '''транслациона матрица''': |
||
Ред 82: | Ред 77: | ||
Значи, (како што треба) имаме: |
Значи, (како што треба) имаме: |
||
:<math>T_v(A)=A+R=(a_x + r_x \,,\, a_y + r_y \,,\, a_z + r_z) </math> |
:<math>T_v(A)=A+R=(a_x + r_x \,,\, a_y + r_y \,,\, a_z + r_z) </math> |
||
==Наводи== |
==Наводи== |
||
{{наводи}} |
{{наводи}} |
||
== Поврзани теми == |
== Поврзани теми == |
||
Ред 93: | Ред 86: | ||
* [[Рефлексија]] |
* [[Рефлексија]] |
||
* [[Изометрија]] |
* [[Изометрија]] |
||
== Надворешни врски == |
== Надворешни врски == |
||
*{{ |
*{{Наведена мрежна страница|url=http://www.emathforall.com/wiki/RecnikT/Translacija |last1=Стојановска|first1=Л.|title=Транслација|year=2013|language=македонски|accessdate=септември 2013}} интерактивен |
||
*{{ |
*{{Наведена мрежна страница|url=http://wiki.geogebra.org/mk/Транслација_Наредба| title=Геогебра наредба: Транслација |author=Geogebra Institute и Институт за Геогебра на МКД (превод)|year=2013|language=македонски|accessdate=септември 2013}} |
||
*{{ |
*{{Наведена мрежна страница|url=http://wiki.geogebra.org/mk/Транслација_на_објект_за_вектор_Алатка| title=Геогебра алатка: Транслација на објект за вектор |author=Geogebra Institute и Институт за Геогебра на МКД (превод)|year=2013|language=македонски|accessdate=септември 2013}} |
||
*{{ |
*{{Наведена мрежна страница|url=http://www.hck12.net/Teachers/VHS/arnoldl/NG/NG7_1.PDF| title=Rigid Motion in the Plane |last=Arnold|first=Lance|year=2013|language=англиски|accessdate=септември 2013}} |
||
*{{ |
*{{Наведена мрежна страница|url=http://www.geogebratube.org/student/m27027|title=Rigid Motion in the Plane|publisher=GeoGebraTube|year=2013|last1=Zuidema|first1=M.|language=англиски|accessdate=септември 2013}} интерактивен |
||
{{Портал|Математика}} |
{{Портал|Математика}} |
||
{{Нормативна контрола}} |
{{Нормативна контрола}} |
||
[[Категорија:Многуаголници]] |
[[Категорија:Многуаголници]] |
||
[[Категорија:Елементарна геометрија]] |
[[Категорија:Елементарна геометрија]] |
Преработка од 15:48, 16 јули 2020
Во геометријата, транслација на една фигура за даден вектор е паралелно поместување на фигурата така што секоја точка од фигурата се поместува за векторот (види анимацијата).[1]
Основна поставка: При транслација, фигурата не е ротирана, не е превртена, и не е растегната. Само се лизга паралелно.[2]
Означување и пресметување
Често пати трансформацијата транслација за вектор v се означува со: Tv.
Во рамнина: нека F е множеството на сите точки на една геометриска фигура, a нека v е вектор со почетна точка P=(xp,yp) и крајна точка Q=(xq,yq).
Го формираме соодветниот радиус-вектор rv на v, т.е. r е вектор со почетна точка (0,0) и крајна точка R=Q-P:
- каде што и , т.е. крајната точка на r e .
Тогаш:
- .
Пример: Нека F е триаголникот со темињата A=(2,0), B=(6,-2), C=(4,3) и v нека е векторот со почетна точка P=(1,4) и крајна точка Q=(4,8). Тогаш
- , и е триаголникот со темињата: A'=(2,0)+(3,4)=(5,4), B'=(6,-2)+(3,4)=(9,2), C'=(4,3)+(3,4)=(7,7) (види слика).
Особини на транслација
Транслација како трансформацијата ги има следните особини:[3]
- Транслација е т.н. крута трансформација, т.е. по транслација, фигурата останува со иста големина и образ. Другите две крути трансформации се ротација и рефлексија.
- Tранслацијата на една геометриска фигура и самата фигура се складни фигури.
- По транслација, сите должини (растојанија) на фигурата остануваат непроменети, т.е. транслација е изометрија.
- По транслација, сите агли на фигурата остануваат непроменети.
- По транслација, ориентацијата на фигурата не е променета. На пример, доколку темињата на еден многуаголник се означени во правецот на часовникот, тогаш темињата на неговата транслација остануваат во правецот на часовникот.
- По транслација, паралелни прави сè уште се паралелни и соодветните страни (отсечки) на една фигура и нејзината транслација се паралелни.
- Две последователни транслации се повторно транслација: TuTv=Tu+v.
- Транслацијата е комутативна трансформација, т.е. TuTv=TvTu.
- Инверзната транслација на Тv е Т-v каде што -v е вектор со истата должина и правец како v, а обратна насока, т.е. Тv+Т-v=Т0 (нема поместување).
Обопштување
Нека v е вектор во Евклидов простор ℝn, a r нека е соодветниот радиус-вектор со крајната точка R.
- Транслација на ℝn за v може да се разгледа како поместување на координатниот почеток во точката R.
- На пример, за n=3, ако A е произволна точка, Тv(A)=A+R. Ова важи и за A=(0,0,0) така што Тv((0,0,0))=R.
Претставување на транслација со матрици
Секоја транслација Tv за вектор v може да се претстави со т.н. транслациона матрица.
Множење на матрица со матрица-од-точка секогаш ја пресликува координатниот почеток во координатниот почеток. Меѓутоа, има стандарден начин како да се избегне ова.[4]
Нека v е вектор во Евклидов простор ℝ3, a r=<rx,ry,rz> нека е соодветниот радиус-вектор. Ја формираме 4х4 транслациона матрица:
Потоа, нека A=(ax,ay,az) е произволна точка. Формираме проширена матрица-од-точка, односно 4х1 матрица:
Тогаш:
Значи, (како што треба) имаме:
Наводи
- ↑ Clapham, C.; Nicholson, J. (2009). „Oxford Concise Dictionary of Mathematics, "Translation"“ (PDF) (англиски). Addison-Wesley. стр. 787. Посетено на Септември 2013. Проверете ги датумските вредности во:
|accessdate=
(help) - ↑ „Translate“ (англиски). Math Open Reference. 2009. Посетено на Септември 2013. Проверете ги датумските вредности во:
|accessdate=
(help) интерактивен - ↑ Bogomolny, A. (2010). „Translation Transform“ (англиски). Посетено на Септември 2013. Занемарен непознатиот параметар
|Publisher=
(се препорачува|publisher=
) (help); Проверете ги датумските вредности во:|accessdate=
(help) интерактивeн - ↑ Richard, Paul (1981). Robot manipulators: mathematics, programming, and control: the computer control of robot manipulators. MIT Press, Cambridge, MA. ISBN 978-0262160827.
Поврзани теми
Надворешни врски
- Стојановска, Л. (2013). „Транслација“. Посетено на септември 2013. Проверете ги датумските вредности во:
|accessdate=
(help) интерактивен - Geogebra Institute и Институт за Геогебра на МКД (превод) (2013). „Геогебра наредба: Транслација“. Посетено на септември 2013. Проверете ги датумските вредности во:
|accessdate=
(help) - Geogebra Institute и Институт за Геогебра на МКД (превод) (2013). „Геогебра алатка: Транслација на објект за вектор“. Посетено на септември 2013. Проверете ги датумските вредности во:
|accessdate=
(help) - Arnold, Lance (2013). „Rigid Motion in the Plane“ (PDF) (англиски). Посетено на септември 2013. Проверете ги датумските вредности во:
|accessdate=
(help) - Zuidema, M. (2013). „Rigid Motion in the Plane“ (англиски). GeoGebraTube. Посетено на септември 2013. Проверете ги датумските вредности во:
|accessdate=
(help) интерактивен