Бјенемеово неравенство

Бјенемеово неравенство (француски: Bienaymé) се изучува во теоријата на веројатност. Ова неравенство е генерализација на Чебишовото и неравенството на Марков.

Теорема

Нека $X$ е случајна променлива. Тогаш за произволни броеви $a$ и $n$ важи следното неравенство:

$P\{|X-a|\geq \epsilon \}\leq {\frac {E\{{|X-a|}^{n}\}}{{\epsilon }^{n}}}$

забелешка 1: За $a=\eta =E\{X\}$ и $n=2$ се добива неравенството на Чебишов.

забелешка 2: За $a=0$ и $n=1$ се добива неравенството на Марков.

Доказ

Ако во неравенството на Марков на местото на случајната променлива $X$ се стави случајната променлива ${|X-a|}^{n}$ , и на местото на константата $\alpha$ се стави константата ${\epsilon }^{n}$ , тогаш важи:

$P\{{|X-a|}^{n}\geq {\epsilon }^{n}\}\leq {\frac {E\{{|X-a|}^{n}\}}{{\epsilon }^{n}}}$

од каде директно се добива бараното неравенство.

Наводи

A. Papoulis, S. Unnikrishna Pillai, "Probability, Random Variables and Stochastic Processes", Fourth edition, McGraw-Hill, 2002

Поврзано