Рејли-Џинсов закон

Логаритамски криви на зрачењето во однос на честотата за Планковиот закон (зелена), споредена со кривите на Рејли-Џинсовиот закон (црвено) и Виновиот закон (сина) за црно тело при температура од 8 mK..

Рејли-Џинсов закон — приближно претставување на спектралното зрачење од електромагнетното зрачење при сите бранови должини од црно тело при определена температура со класични параметри. За бранова должина $\lambda$, гласи:

$B_{\lambda }(T)={\frac {2ck_{\mathrm {B} }T}{\lambda ^{4}}},$

каде $B_{\lambda }$ е спектралната зрачност, моќноста оддадена во единица површина, во стерадијани, по бранова должина, $c$ е брзината на светлината, $k_{\mathrm {B} }$ е Болцмановата константа и $T$ е температурата во келвини. За честотата $f$, изразот го добива обликот:

$B_{f}(T)={\frac {2f^{2}k_{\mathrm {B} }T}{c^{2}}}.$

Рејли-Џинсовиот закон е во согласност со експерименталните резултати при големи бранови должини (ниски честоти), но не функционира при кратки бранови должини (високи честоти). Овие недоследности помеѓу набљудувањата и предвидувањата на класичната физика се општо познати како ултравиолетова катастрофа, и нејзиното разрешување е главен дел од развојот на квантната механика во почетокот на XX век .

Историски развој

Во 1900, британскиот физичар Лордот Рејли ја извел зависнота λ⁻⁴ за Рејли-Џинсовиот закон заснован на класичните параметри и емпириските докази. Поцелосно изведување, кое ја вклучувало константата на пропорционалност било претставено од страна на Рејли и Сер Џејмс Џинс во 1905 година. Рејли-Џинсовиот закон укажал на важна грешка во физичката теорија за времето. Законот предвидувал енергетски исход кој се стремел кон бесконечност како што брановите должини се стремеле кон нула (како што честотата се стремела кон бесконечност). Мерењата покажале дека спектралното зрачење од вистинските црни тела покажало дека зрачењето било во согласност со Рејли-Џинсовиот закон при ниски честоти но застранувал при високите честоти, достигнувајќи максимум и подоцна намалувајќи се со честотата, па вкупната оддадена енергија е конечна.

Споредба со Планковиот закон

Во 1900 година Макс Планк емпириски добил израз за црнотелесното зрачење изразено преку бранова должина λ = c/f (Планков закон):

$B_{\lambda }(T)={\frac {2hc^{2}}{\lambda ^{5}}}~{\frac {1}{e^{\frac {hc}{\lambda k_{\mathrm {B} }T}}-1}},$

каде h е Планковата константа и k_B е Болцмановата константа. Планковиот закон не подлежи на ултравиолетовата катастрофа, и е во согласност со експерименталните податоци, но неговото целосно значење (кое довело до квантната теорија) било увидено неколку години подоцна. Бидејќи,

$e^{x}=1+x+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+\cdots .$

тогаш при граничните високи температури или долгите бранови должини, условот во експонентот станува мал, и експоненционалот е добро претставен со Тејлоровите полиноми од прв ред,

$e^{\frac {hc}{\lambda k_{\mathrm {B} }T}}\approx 1+{\frac {hc}{\lambda k_{\mathrm {B} }T}}.$

Па,

${\frac {1}{e^{\frac {hc}{\lambda k_{\mathrm {B} }T}}-1}}\approx {\frac {1}{\frac {hc}{\lambda k_{\mathrm {B} }T}}}={\frac {\lambda k_{\mathrm {B} }T}{hc}}.$

Ова доведува Планковата равенка за црно тело да се сведе на:

$B_{\lambda }(T)={\frac {2ck_{\mathrm {B} }T}{\lambda ^{4}}},$

што е слично на класично изведениот Рејли-Џинсов израз.

Истиот параметар може да се примени и кај црнотелесното зрачење изразено преку честотата f = c/λ. Во границата на малите честоти, тоа е $hf\ll k_{\mathrm {B} }T$,

$B_{f}(T)={\frac {2hf^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{\frac {hf}{k_{\mathrm {B} }T}}-1}}\approx {\frac {2hf^{3}}{c^{2}}}\cdot {\frac {k_{\mathrm {B} }T}{hf}}={\frac {2f^{2}k_{\mathrm {B} }T}{c^{2}}}.$

Овој последен израз е Рејли-Џинсовиот закон во границата на ниските честоти.

Постојаноста на зависноста на честотните и брановодолжинските изрази

Кога се споредуваат зависно честотните и брановодолжинските изрази на Рејли-Џинсовиот закон важно е да се има предвид дека:

${\frac {dP}{d{\lambda }}}=B_{\lambda }(T)$, и

${\frac {dP}{d{f}}}=B_{f}(T)$

Оттука,

$B_{\lambda }(T)\neq B_{f}(T)$

дури и по замената на вредноста $\lambda =c/f$, бидејќи $B_{\lambda }(T)$ имаме единици енергија оддадени во единица време по единица површина во стерадијани, по бранова должина, додека пак кај $B_{f}(T)$ имаме единици енергија оддадени во единица време по единица површина во стерадијани, по реквенција. За да се задржи постојаноста, мора да се искористи идентитетот

$B_{\lambda }\,d\lambda =dP=B_{f}\,df$

каде двете страни имаат единица моќност (енергија оддадена во единица време) по единица површина во стерадијани.

Започнувајќи со Рејли-Џинсовиот закон во бранова должина се добива:

$B_{\lambda }(T)=B_{f}(T)\times {\frac {df}{d\lambda }}$

каде,

${\frac {df}{d\lambda }}={\frac {d}{d\lambda }}\left({\frac {c}{\lambda }}\right)=-{\frac {c}{\lambda ^{2}}}$.

Ова доведува да се определи:

$B_{\lambda }(T)={\frac {2k_{\mathrm {B} }T\left({\frac {c}{\lambda }}\right)^{2}}{c^{2}}}\times {\frac {c}{\lambda ^{2}}}={\frac {2ck_{\mathrm {B} }T}{\lambda ^{4}}}$.

Други записи на Рејли-Џинсовиот закон

Во зависност од примената, Планковата функција може да се изрази во три различни облици. Првиот ја вклучува енергијата оддадена од единица време по единица површина во стерадијани во спектрална единица. Во овој облик, Планковата функција поврзана со Рејли-Џинсовите граници е определена од:

$B_{\lambda }(T)={\frac {2hc^{2}}{\lambda ^{5}}}~{\frac {1}{e^{\frac {hc}{\lambda k_{\mathrm {B} }T}}-1}}\approx {\frac {2ck_{\mathrm {B} }T}{\lambda ^{4}}}$

или

$B_{f}(T)={\frac {2hf^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{\frac {hf}{k_{\mathrm {B} }T}}-1}}\approx {\frac {2k_{\mathrm {B} }Tf^{2}}{c^{2}}}$

Поинаку, Планковиот закон може да се запише и со изразот $I(f,T)=\pi B_{f}(T)$ за оддадена моќност интегрирана по просторните агли. Во овој облик, Планковата функција поврзана со Рејли-Џинсовите граници е определена од:

$I(\lambda ,T)={\frac {2\pi hc^{2}}{\lambda ^{5}}}~{\frac {1}{e^{\frac {hc}{\lambda k_{\mathrm {B} }T}}-1}}\approx {\frac {2\pi ck_{\mathrm {B} }T}{\lambda ^{4}}}$

или

$I(f,T)={\frac {2\pi hf^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{\frac {hf}{k_{\mathrm {B} }T}}-1}}\approx {\frac {2\pi k_{\mathrm {B} }Tf^{2}}{c^{2}}}$

Во други случаи, Планковиот закон се запишува како $u(f,T)={\frac {4\pi }{c}}B_{f}(T)$ за енергија во единица волумен (енергетска густина). Во овој облик, Планковата функција поврзана со Рејли-Џинсовите граници е определена од:

$u(\lambda ,T)={\frac {8\pi hc}{\lambda ^{5}}}~{\frac {1}{e^{\frac {hc}{\lambda k_{\mathrm {B} }T}}-1}}\approx {\frac {8\pi k_{\mathrm {B} }T}{\lambda ^{4}}}$

или

$u(f,T)={\frac {8\pi hf^{3}}{c^{3}}}{\frac {1}{e^{\frac {hf}{k_{\mathrm {B} }T}}-1}}\approx {\frac {8\pi k_{\mathrm {B} }Tf^{2}}{c^{3}}}$

Поврзано

• Штефан-Болцманов закон
• Винов закон за поместувањето
• Сакума–Хаториева равенка

Наводи

4.Concept of modern PHYSICS by Arthur Beiser,MC raw hill education.

Надворешни врски

• Derivation at HyperPhysics