Преглед на кодот на Работа (физика)

{{Infobox physical quantity
| bgcolour={blue}
| name        = Работа
| image       = [[File:Baseball pitching motion 2004.jpg|250px]]
| caption     = Фрлачот во [[бејзбол]] позитивно делува на топчето применувајќи на него сила на растојанието на кое се движи
| basequantities = 1 [[килограм|kg]]⋅[[метар|m]]<sup>2</sup>⋅[[секунда|s]]<sup>−2</sup>
| unit        = [[џул]] (J)
| otherunits  = [[ерг]]
| symbols     = {{math|''W''}}
| dimension   = <math>\mathsf{M} \mathsf{L}^2 \mathsf{T}^{-2}</math>
| derivations = ''W'' = '''[[Сила|F]]''' ⋅ '''[[Поместување (вектор)|s]]''' <br />
''W'' = ''[[Момент на сила|τ]]'' ''[[агол|θ]]''
}}

Во [[физика]]та, за [[сила]] е кажано да се направи '''работа''', во случаи кога постои преместување на точка на примена во насока на сила. На пример, кога топката се одржува над земјата, а потоа падне, работата на топката како што паѓа е еднаква на тежината на топката (сила) која се множи со растојанието до земјата (зафатнина).

Поимот ''работа'' беше воведен во 1826 година од страна на францускиот математичар [[Гаспар Гистав Кориолис|Гаспар- Гистав Кориолис]] <ref>{{Наведена книга|last=Jammer|first=Max|title=Concepts of Force|publisher=Dover Publications, Inc.|year=1957|isbn=0-486-40689-X|ISBN=0-486-40689-X|page=167; footnote 14|url=https://books.google.com/?id=CZtEBcmOe6gC&printsec=frontcover#PPA167,M1}}</ref><ref>Coriolis, Gustave. (1829).</ref> како „тежина ''крената'' на висина“, која се заснова на употреба на почетокот на [[парни машини]] за да се подигнат кофи вода од поплавените рудници за руда. Во [[Меѓународен систем на мерни единици|Меѓународниот систем на мерни единици (SI)]] единица за работа е [[џул]] (J).

== Единици ==
Во SI, единица за работа е [[џул]] (J), кој е дефиниран како работа вложена од страна на сила на еден [[Њутн (единица)|њутн]] преку растојание од еден [[метар]].

На димензионално еквивалентен [[Њутнметар|њутн-метар]] (N⋅m) понекогаш се користи како мерна единица за работа, но ова може да се меша со единица њутн-метар, што е единица мерка на [[Момент на сила|вртежен момент]]. Користењето на N⋅m е обесхрабрено од страна на [[органот SI]], бидејќи тоа може да доведе до забуна за тоа дали количината изразени во њутн-метри се мерења на вртежен момент, или мерења на енергија.<ref>http://www.bipm.org/en/si/si_brochure/chapter2/2-2/2-2-2.html</ref>

Ниедна SI единица за работа вклучува [[ерг]], foot-pound, foot-poundal, [[киловат-час]], литар-атмосфера, и коњски сили-час. Благодарение на работата имаме исти [[физички димензии]] како [[Количество топлина|топлина]], повремено мерните единици обично се резервирани за топлинска енергија или содржината, како што се [[терм]], [[БТУ]] и [[Калорија|калории]], се користат како мерна единица.

== Работа и енергија ==
Работа со постојана сила на големината ''F'' на точка што се движи на зафатнина (не далечина) ''s'' во насока на сила е производ
: <math />.
На пример, ако во сила на 10 њутни ({{Безпрелом|1=''F'' = 10 N}}) тело по една точка кое патува 2 метри ({{Безпрелом|1=''s'' = 2 m}}), тогаш тоа е работа {{Безпрелом|1=''W'' = (10 N)(2 m) = 20 N m = 20 J}}. Ова е приближно како работа - кревање на 1&#x20;кг тежина од нивото на земјата до над глава против силата на гравитацијата. Забележете дека работата е двојна или со кревање двапати на тежината на иста далечина или со кревање на иста тежина двапати на исто растојание.

Работата е тесно поврзана со [[енергија]]<nowiki/>та. [[Принципите работа - енергија]] се наведуваат како зголемување на кинетичката енергија на цврсто тело, предизвикана од еднаква количина на позитивна работа на телото од добиената сила која дејствува на тоа тело. Спротивно на тоа, намалувањето на кинетичката енергија, предизвикана од еднаква количина на негативна работа од страна на добиената сила.

Од [[Вториот Њутнов закон]], тоа може да биде прикажано дека работата на слободни (без полиња), цврсти (нема внатрешени степени на слобода) тела, е еднаква на промената во кинетичка енергија на брзината и движењето на телото,
: <math />
Работа на сили генерирани од страна на потенцијалната функција е позната како[[ потенцијална енергија]] и силите, се вели дека се конзервативни. Затоа, се работи за објект кој е само раселен во конзервативна сила- поле, без промена во брзината или ротација, е еднаква на ''минус'' промената на потенцијална енергија на објектот,
: <math />
Овие формули покажуваат дека работата е енергија, поврзана со дејствувањето на силата, па работата последователно поседува [[Dimensional analysis|физички димензии]], и единиците, на енергија.
Принципите на работата/енергијата дискутираат дека тие се идентични со Принципите на електричната работа/енергија.

== Условни сили ==
Условните сили го одредуваат движењето на компоненти во еден систем, ограничувањето на објект во рамките на граница (во случај на пад, плус гравитација, објектот е ''заглавен во'' падот, како прилог на затегнат конец и тоа не може да се движи во надворешна насока за конецот да направи какво било истегнување). Условните сили кои обезбедуваат брзина во насока на ограничувањето се нула, што значи дека условните сили не вршат работа на системот.

Ако системот[[ не се промени во времето]],<ref name="ReferenceA">Goldstein, Classical Mechanics, third edition. </ref> се елиминираат сите движења во насока на ограничувањето, и на тој начин може да се воздржи од условните сили да не вршат работа на системот, како и брзината на тој објект да е ограничена, да биде 0 паралелно со оваа сила, поради оваа сила. Ова важи само за еден систем од честички. На пример, во [[Атвуд машината]], јажето работи на секое тело, но одржувајќи секогаш нето виртуелна работа ништовна. Сепак, постојат случаи каде што тоа не е точно.<ref name="ReferenceA">Goldstein, Classical Mechanics, third edition. </ref>

На пример,[[ центрипеталната]] [[Центрипетална сила|сила]] притискана ''кон внатре'' со јаже на топката во еднолични кружни движења ''страничното ''ограничување на топката да врши кружни движења, забранување на нејзините движења далеку од центарот на кругот. Оваа сила работи на нула, бидејќи тоа е нормално на брзината на топката.

Друг пример е книгата на маса. Ако надворешните сили се применуваат на книгата, така што таа се врти на масата, а потоа на сила притискана од условната табела, книгата се движи надолу. На сила притискана од табелата која ја поддржува книгата и е нормална на нејзиното движење, што значи дека оваа условна сила не врши работа.

М[[Лоренцова сила|агнетната сила]] на полни честички е {{Безпрелом|1=F = ''q'''''v''' × '''B'''}}, каде ''q'' е полно, '''v''' е брзината на честички, и '''Б''' е [[магнетно поле]]. Резултатот на [[вкрстениот производ]] секогаш е нормално да се двете оригинални вектори, па {{Безпрелом|'''F''' ⊥ '''v'''}}. [[Производот на точката]] на два нормални вектори секогаш е нула, па работата {{Безпрелом|1=''W'' = '''F''' ⋅ '''v''' = 0}}, и магнетната сила не вршат работа. Тоа може да го промени правецот на движење, но никогаш не се менува брзо.

== Математичка пресметка ==
За објектите кои се движат, количината на работа/време (енергија) е пресметана. На тој начин, во кој било момент, стапката на работа со сила (мерена во џули/секунда, или '''w''') е скаларен производ на сила (вектор), и брзината (вектор) на избраната точка. Овој [[скаларен производ]] на сила и брзина е класифициран како моментална [[Моќ (физика)|моќ]]. Само како брзините можат да бидат интегрирани со текот на времето за да се добие вкупната дистанца, од страна на [[Основна теорема на анализата|основната теорема на калкулус]], вкупната работа заедно со патот е слична со времето-составен дел на моменталната моќ применета заедно на траекторијата на избраната точката.<ref name="Resnick">Resnick, Robert and Halliday, David (1966), ''Physics'', Section 1–3 (Vol I and II, Combined edition), Wiley International Edition, Library of Congress Catalog Card No. 66-11527</ref>

Работата е резултат на сила на точка која се движи преку далечина. Како точка која се движи, се следи кривината '''X''', со брзина '''v''', во секој момент. Мала количина на работа ''δW'' што се случува во текот на еден инстант време ''dt'' се пресметува како
: <math />
каде {{Безпрелом|'''F''' ⋅ '''v'''}} е моќта преку размена на инстант ''dt''. Збирот на овие мали количини на работа во текот на траекторијата на точката приноси на работа,
: <math />
каде ''C'' е на траекторијата од '''x'''(''t''<sub>1</sub>) '''x'''(''t''<sub>2</sub>). Овој состав е пресметан заедно со траекторијата на честички, и затоа е наречен зависна патека.

Ако силата е секогаш насочена долж оваа линија, и големината на сила е ''F'', тогаш оваа состав поедноставува да
: <math />
каде што ''s'' е растојанието по должината на линијата. Ако '''F''' е постојана, во прилог да се насочени долж линијата, тогаш составот поедноставува понатаму да
: <math />
каде што ''s'' е растојанието патуваа од точка по должината на линијата.

Оваа пресметка може да се генерализира за постојана сила која не е насочена по должината на линијата, проследено со честички. Во овој случај [[производот на точката]] {{Безпрелом|1='''F''' ⋅ ''d'''''s''' = ''F'' cos ''θ'' ''ds''}}, каде ''θ'' е аголот помеѓу вектор на сила и насока на движење,<ref name="Resnick">Resnick, Robert and Halliday, David (1966), ''Physics'', Section 1–3 (Vol I and II, Combined edition), Wiley International Edition, Library of Congress Catalog Card No. 66-11527</ref> која е
: <math />
Во забележлив случај на силата применета на телото секогаш под агол од 90° од вектор-брзината (како кога телото се движи во круг во рамките на централните сили), без работа е направено на сите, бидејќи на агол од 90 степени е нула. Така, ниедна работа не може да се врши по пат на гравитација на планета со кружна орбита (ова е идеал, како и сите орбити се малку елипсовидни). Исто така, ниедна работа направена на телото не се движи кружно со постојана брзина додека се ограничени со механичка сила, како што се движат на постојана брзина во триење на идеалната центрифуга.

=== Работа со променлива сила ===
Пресметувањето на работа ќе се применува само во повеќето едноставни околности. Ако силата се менува, или ако телото се движи по кривиот пат, можеби ротирачки и не мора да е цврста, а потоа само на патот на бараната точка на силата е релевантен за работа, и само компонентата на сила, паралелно со применетата точка на [[брзина]]<nowiki/>та е таа работа (позитивна работа, кога во иста насока, и негативни, кога во спротивна насока на брзината). Оваа компонента на сила може да се опише од страна на скаларното количество се нарекува скаларна тангента-'' компонента'' (<math />, каде <math /> е аголот помеѓу силата и брзината). И тогаш најопшта дефиниција на работа може да се формулира на следниов начин:
: Работа на сила е линијата составена од нејзините скаларни тангенцијални компоненти по патот на својата избрана точка.<br>
: Ако силата варира (на пример, компресирање на пролетта) потребно е да се користи анализа за да се најде завршетокот на работата. Ако силата е дадена од страна F (x) (функција од x), тогаш работата направена од страна на силата по должината на x-оската од А до Б работа е:<br>
<math />

=== Вртежен момент и ротација ===
Н[[Спрег на сили|еколку]]<nowiki/>те резултати на силата од еднакви и спротивни сили, делуваатна две различни точки на цврсто тело. Збирот (резултатот) на овие сили може да се испушти, но нивниот ефект врз телото е во пар или на вртежен момент '''Т'''. Работата на моторот се пресметува како:
: <math />
каде {{Безпрелом|'''T''' ⋅ '''ω'''}} е моќта преку размена на инстант ''δt''. Збирот на овие мали количини на работа во текот на траекторијата на цврсти тело приноси на работа,
: <math />
Овој состав е пресметан заедно со траекторијата на цврсти тела со аголна брзина ω кога варира со текот на времето, и затоа е наречена зависна патека.

Ако аголната брзина на вектор одржува постојана насока, тогаш тој добива форма,
: <math />
каде φ е аголот на ротација за постојано единица вектор '''S'''. Во овој случај, работата на вртежен момент станува,
: <math />
каде ''C'' е на траекторијата од ''φ''(''t''<sub>1</sub>) да ''φ''(''t''<sub>2</sub>). Овој состав зависи од вртежната траекторијата ''φ''(''t''), и поради тоа, патот е зависен.

Ако вртежниот момент '''Т''' е усогласенн со аголната брзина на вектор, така што,
: <math />
и двата вртежни моменти и аголната брзина се постојани, и потоа работата зема форма,<ref name="Young">{{Наведена книга|author1=Hugh D. Young|author2=Roger A. Freedman|lastauthoramp=yes|title=University Physics|edition=12|publisher=Addison-Wesley|year=2008|isbn=978-0-321-50130-1|ISBN=978-0-321-50130-1|page=329}}</ref>
: <math />
[[Податотека:Work_on_the_lever_arm.svg|десно|мини|Сила на постојана големина и нормална на рачката на арм]]
Овој резултат може да се сфати повеќе едноставно, со оглед на вртежниот момент, како што произлегува од силата на постојана големина ''F'', се применува вертикално на рачката на нивото на растојание ''r'', како што е прикажано на сликата. Оваа сила ќе дејствува преку растојанието по должината на кружен лак {{Безпрелом|1=''s'' = ''rφ''}}, така и на работа е
: <math />
Воведување на вртежен момент {{Безпрелом|1=''τ'' = ''Fr''}}, за да се добие
: <math />
како што е прикажано погоре.

Забележите дека само дел од вртежен момент во насока на аголна брзина на вектор придонесува за работа.

== Работа и потенцијална енергија ==
Скаларниот производ на сила '''F''' и брзината '''v''' на својата избрана точка ја дефинира [[Моќ (физика)|моќта]] на внесување на систем во еден момент од времето. Интеграцијата на оваа власт во текот на траекторијата на избраната точка, {{Безпрелом|1=''C'' = '''x'''(''t'')}}, ја дефинира работата на текст на систем од сили.

=== Зависноста на патот ===
Затоа, [[Работа (физика)|работата]] направена со сила '''F''' на некој објект што патува по должината на кривина ''C'' е дадена од страна на [[Интегрална линија:|интегрална линија]]:
: <math />
каде ''dx''(''t'') ја дефинира траекторија ''C'' и '''v''' е брзината по овој пат. Во принцип овој состав го бара патот по кој брзината е дефинирана, па за евалуацијата на работата е кажано дека патот е зависен.

Изведени за време на интегралниот за работа дава моментална моќ,
: <math />

=== Патот на независноста ===
Ако се работи за применета сила која е независна од патот, а потоа и работата од страна на силата, од [[теоремата на Градиент]], потенцијалната функција проценета на почетокот и крајот на траекторијата на избраната точка. Таквата сила е кажано да биде конзервативна. Ова значи дека постои потенцијална функција ''U''('''x'''), која може да се оценува две точки '''x'''(''t''<sub>1</sub>) и '''x'''(''t''<sub>2</sub>) и да се добие работа во однос на секоја траекторијата помеѓу овие две точки. Тоа е традиција да се дефинира оваа функција со негативен знак, така што позитивна работа е намалување на потенцијалот, што е
: <math />
Функцијата ''U''('''x''') се нарекува [[потенцијална енергија]] поврзана со применетата сила. Примери на сили кои имаат потенцијални енергии се гравитацијата и пролетните сили.

Во овој случај, на [[Gradient|искачување]] на работа приноси
: <math />
и силата '''F''' е кажано да биде "изводлив од големот потенцијал."<ref>J. R. Taylor, [https://books.google.com/books?id=P1kCtNr-pJsC&pg=PA117&lpg=PA117#v=onepage&q&f=false ''Classical Mechanics,''] University Science Books, 2005.</ref>

Бидејќи потенцијалот ''У'' дефинира сила '''F''' во секоја точка '''x''' во вселената, поставувањето на силите се нарекува силата на полето. Силата применета на телото со сила та на полето се добива од ивршување на работа, или потенцијал, во насока на брзината '''V''' на телото, што е
: <math />

=== Работа по пат на гравитација ===
[[Податотека:Work_of_gravity_F_dot_d_equals_mgh.JPG|десно|мини|Гравитацијата {{Безпрелом|1=''F'' = ''mg''}} функционира {{Безпрелом|1=''W'' = ''mgh''}}, заедно било опаѓачки пат]]
Во отсуство на други сили, гравитациските резултати во постојано надолно забрзување на секое слободно движење на објектот. Во близина на површината на Земјата на забрзување поради гравитацијата е {{Безпрелом|1=''g'' = 9.8&nbsp;m⋅s<sup>−2</sup>}} и гравитациската сила на некој објект на маса ''м'' е {{Безпрелом|1='''F'''<sub>g</sub> = ''mg''}}. Тоа е погодно за да се замисли оваа гравитациската сила концентрирана во центарот на масата на објектот.

Ако некој објект е раселен нагоре или надолу на вертикална оддалеченост {{Безпрелом|''y''<sub>2</sub> − ''y''<sub>1</sub>}}, работата ''W'' направено на објект со својата тежина mg:
: <math />
каде ''F<sub>g</sub>'' е тежина (кг во царски единици, и њутни во SI единици), и Δ''y'' е промената во висина ''y''. Забележете дека работата е направена со гравитацијата која зависи само од вертикалното движење на објектот. Присуството на триење не влијае на работата на објектот со својата тежина.

=== Работа по пат на гравитација во вселената ===
На силата на гравитацијата притисната од масата ''M'' на друга маса ''m'' е даден со
: <math />
каде што '''r''' е на позиција вектор од ''М'' да ''м''.

Нека масата ''m'' се движи со брзина '''v''', тогаш работата на гравитацијата на оваа маса како што се движи од позиција '''r'''(''t''<sub>1</sub>) '''r'''(''t''<sub>2</sub>) е дадена со
: <math />
Забележувате дека позицијата и брзината на маса ''m'' се дадени од страна на
: <math />
каде '''е'''<sub>''р''</sub> и '''е'''<sub>''т''</sub> се радијална и тангентната единица на вектори насочени во однос на вектор од ''М'' да ''м''. Користете го ова за да се поедностави формула за работа на гравитацијата,
: <math />
Оваа пресметка се користи за фактот дека
: <math />
Функцијата
: <math />
е гравитациска потенцијална функција, исто така позната како гравитациската потенцијална енергија. Негативниот знак ја следи конвенцијата дека работата е стекната од губење на потенцијална енергија.

=== Работа од страна на спирала ===
[[Податотека:Analogie_ressorts_contrainte.svg|десно|мини|Сили во изворите се собраа во паралела]]
Сметаат дека спиралата врши хоризонтална сила {{Безпрелом|1='''F''' = (−''kx'', 0, 0)}} дека е пропорционална на нејзините девијации во ''x'' насока независно од тоа како телото се движи. Работата на оваа спирала на телото се движи по должината на простор на кривината {{Безпрелом|1='''X'''(''t'') = (''x''(''t''), ''y''(''t''), ''z''(''t''))}}, се пресметува со користење на неговата брзина, {{Безпрелом|1='''v''' = (''v''<sub>x</sub>, ''v''<sub>y</sub>, ''v''<sub>z</sub>)}}, за да се добие
: <math />
За погодност, сметаат дека ако контакт со спиралата се случува во {{Безпрелом|1=''t'' = 0}}, тогаш интегрален производ на растојание ''x'' и x-брзината, ''xv''<sub>x</sub>, е (1/2)''x''<sup>2</sup>.

=== Работа со гас ===
: <math />
Каде ''P'' е притисок, ''V'' е волуменот, и ''a'' и ''b'' се почетни и крајни волумени.

== Принципот на работата-енергијата ==
Принципот на работата и [[Кинетичка енергија|кинетичката енергија]] (исто така познат како на '''работа–енергетски принцип''') се наведува дека ''на работа од страна на сите сили кои дејствуваат на честички (работа на добиената сила) е еднаква на промената во кинетичката енергија на честичките.''<ref>{{Наведена книга|author1=Andrew Pytel|author2=Jaan Kiusalaas|title=Engineering Mechanics: Dynamics – SI Version, Volume 2|edition=3|publisher=Cengage Learning|year=2010|isbn=9780495295631|ISBN=9780495295631|page=654}}</ref> Тоа е, на работата ''W'' направена од страна на добиената сила на [[Particle|честички]] која е еднаква на промената на честички е кинетичка енергија <math />,<ref name="Young"/>
: <math />,
каде <math /> и <math /> се[[ брзините]] на честички пред и по работата да се врши и ''м'' е неговата [[маса]].

На деривација на ''работата–енергетскиот принцип'' започнува со Вториот Њутнов закон и добиената сила на честичката која вклучува сили применувани на честички и ограничувани сили изречени на неговото движење. Пресметката на скаларниот производ на силите со брзинатата на честички оценува моментална моќ додадена во системот.<ref>B. Paul, [https://books.google.com/books?ei=JGMfULH-KK2r2AWIzICYAw&id=3UdSAAAAMAAJ&dq=kinematics+and+dynamics+of+planar+machinery&q=instantaneous+power#search_anchor ''Kinematics and Dynamics of Planar Machinery,''] Prentice-Hall, 1979.</ref>

Одредените ограничувања на насоката на движење на честичката осигурувајќи се дека нема компонента на брзина во насока на ограничување на силата. Ова исто така значи ограничувањето на сили не се додадени на моменталната моќ. Времето како составен дел на оваа скаларна равенка приноси работа од моменталната моќ, и кинетичката енергија од скаларниот призвод на брзината и забрзувањето. Фактот на работа–енергетската принцип го елиминира ограничување сили во основата на [[Lagrangian mechanics|Лагранитската механика]].<ref>E. T. Whittaker, [https://books.google.com/books?id=OSckAAAAMAAJ&printsec=frontcover&dq=analytical+dynamics&source=bl&ots=AGqvlTnrw7&sig=x7DfbqV97-G73bWcuEFC-rU3h2s&hl=en&sa=X&ei=9lobUPz8KofU2AW9sIGIDw&ved=0CGcQ6AEwCA#v=onepage&q&f=false ''A treatise on the analytical dynamics of particles and rigid bodies,''] Cambridge University Press, 1904</ref>

Овој дел се фокусира на принципот на работа-енергија како тоа се однесува на динамиката на честички. Во повеќе општи системи за работата може да се промени на [[Potential energy|потенцијална енергија]] на механички уред, топлинска енергија во топлинска систем, или на [[електрична енергија]] во електро уред. Работата може да ја трансфери енергија од едно место до друго или од еден облик во друг.

=== Деривацијата од честички се движи по права линија ===
Во случај на [[добиената сила]] '''F''' е постојано во двете големини и насоки, а паралелно да се брзината на честички, честичките се движат со постојано забрзување ''a'' по права линија.<ref>{{Наведена мрежна страница |url=http://faculty.wwu.edu/vawter/PhysicsNet/Topics/Work/WorkEngergyTheorem.html |title=Work–energy principle |accessdate=2016-11-13 |archive-date=2012-05-30 |archive-url=https://web.archive.org/web/20120530075449/http://faculty.wwu.edu/vawter/PhysicsNet/Topics/Work/WorkEngergyTheorem.html |url-status=dead }}</ref> односот помеѓу нето силата и забрзувањето е дадена со равенката ''F'' = ''ma'' ([[Вториот Њутнов закон]]), и честички на зафатнината ''s'' може да се изрази со равенката
: <math />
која следува од <math /> (види[[ Равенки на движење]]).

Работата на нето сила се пресметува како производ на неговата големина и честички на раселување. Со замена на горенаведените равенки, еден добива:
: <math />
Друга деривација:
: <math />

: <math />

: <math />
Деривација на вертикалното поместување 

''W = F × S = mg × h''

Во општ случај на праволиниско движење, кога нето-сила '''F''' не е постојана во големината, туку е постојано во насока, а паралелно да се брзината на честички, на работа мора да бидат интегрирани и по должината на патот на честички:
: <math />

=== Општа деривација на работа–енергетската теорема за честички ===
За која било нето сила која дејствува на честички се движат по кој било криволиниски пат, со тоа може да се докаже дека неговата работа е еднаква на промената во кинетичка енергија на честичките од едноставна деривација аналогно на равенката погоре. Некои автори ја нарекуваат резултат на'' принципот на работа-енергија'', но тоа е пошироко познат како '''на работа–енергетската теорема''':
: <math />
Идентитетот <math /> бара некои алгебри.
Од идентитетот <math /> и дефиниција <math />
тоа го следи
: <math />.
Преостанатиот дел од горенаведената деривација е само едноставна анализа, исто како и во претходните праволиниски случаи.

=== Деривација за честички во ограничени движење ===
Во динамиката на честички, формула за изедначувањето на работа се применува со систем за негова промена во кинетичка енергија и се добива како прв составен дел на [[Њутнови закони|Вториот Њутнов закон за движење]]. Корисно е да се забележи дека добиената сила се користи во Њутновите закони може да биде поделен на силите кои се применуваат на честичките и силите, што ги наметнуваат ограничувањата во однос на движењето на честичките. Неверојатно, работата на ограничување на силата е нула, затоа само работа на применети сили треба да се смета во принципот на работа- енергија.

За да се види ова, се смета дека честичката Р која ја следи траекторија '''X'''(''t'') со сила '''F''' која дејствува во него. Изолирањетона честички од својата средина да се изложи на ограничените сили '''R''', тогаш Њутновиот закон зема форма
: <math> \mathbf{F} + \mathbf{R} =m\ddot{\mathbf{X}}, </math>
каде што m е масата на честичките.

==== Векторска формула ====
Имајте на ум дека n точки над вектор го покажуваат своето [[време на дериватот]]. [[Скаларниот производ]] од двете страни на Њутновиот закон со приноси од брзината на векторот.
: <math> \mathbf{F}\cdot\dot{\mathbf{X}} = m\ddot{\mathbf{X}}\cdot\dot{\mathbf{X}},</math>
бидејќи условните сили се нормални на брзината на честичките. Интегрирањето на оваа равенка заедно со својата траекторија од точката X (t1) до точка X (t2) за да се добие
: <math> \int_{t_1}^{t_2} \mathbf{F}\cdot\dot{\mathbf{X}} dt = m\int_{t_1}^{t_2}\ddot{\mathbf{X}}\cdot\dot{\mathbf{X}}dt. </math>
На левата страна на оваа равенка е дело од применетата сила која делува на честичките по должината на патеката од време на време t1 t2. Ова исто така може да се запише како 
: <math> W = \int_{t_1}^{t_2} \mathbf{F}\cdot\dot{\mathbf{X}} dt =    \int_{\mathbf{X}(t_1)}^{\mathbf{X}(t_2)} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{X}.  </math>
Овој состав е пресметан по траекторија X (t) на честичките и затоа патот е зависен.

На десната страна на првите состави од равенките на Њутн може да се поедностави со користење на следниов идентитет
: <math> \frac{1}{2}\frac{d}{dt}(\dot{\mathbf{X}}\cdot \dot{\mathbf{X}}) = \ddot{\mathbf{X}}\cdot\dot{\mathbf{X}}, </math>
(Види [[член за производ]] на деривација). Сега таа е интегрирана експлицитно да се добие на промена во кинетичка енергија,

каде кинетичка енергија на честичките е дефинирана од страна на скларната количина,
: <math />

==== Површините и нормалните компоненти ====
Тоа е корисно за решавање на брзината и забрзувањето на вектори во површината и нормалните компоненти заедно во траекторија '''X'''(''t''), како што се
: <math />
каде
: <math />
Потоа, [[скаларниот производ]] на брзината со забрзување на Вториот Њутнов закон зема форма
: <math />.
каде кинетичка енергија на честичките е дефинирана од страна на скаларната количина,
: <math />
Резултатот на принципот за работа-енергија за диамиката на честичките,
: <math />
Оваа деривација може да се генерализира за да се произволат цврстите системи во телото.

=== Движење во права линија ===
Го разгледуваме случајот на возилото кое се движи по права хоризонтална траекторијата под дејство на движечка сила и гравитација каде збирот на '''F'''. На условните сили помеѓу возилото и патот дефиниран како '''R''', и ние имаме
: <math />
За погодност нека траекторијата биде по должината на X-оската, па {{Безпрелом|1='''X''' = (''d'', 0)}} и брзината е {{Безпрелом|1='''V''' = (''v'', 0)}}, а потоа {{Безпрелом|1='''R''' ⋅ '''V''' = 0}}, {{Безпрелом|1='''F''' ⋅ '''V''' = ''F''<sub>x</sub>''v''}}, каде ''F''<sub>x</sub> е компонента на '''F''' по X-оска, па
: <math />
Интеграција на двете страни приноси
: <math />
Ако F<sub>x</sub> е постојано заедно со траекторија, тогаш интегралната брзина е далечина, па
: <math />
Како пример се разгледува автомобил кој запира со лизгање, каде што ''k'' е коефициент на триење и ''W'' е тежината на автомобилот. Потоа на сила по траекторијата е {{Безпрелом|1=''F''<sub>x</sub> = −''kW''}}. Брзината ''v'' на автомобилот може да се утврди од должината ''s'' на пропадна користење на принципот на работа-енергија,
: <math />
Забележувате дека оваа формула го користи фактот дека масата на возилото е {{Безпрелом|1=''m'' = ''W''/''g''}}.
[[Податотека:LotusType119B.jpg|мини|Лотус типот 119B гравитациски тркач на Lotus 60 прослава.]]
[[Податотека:Campeonato_de_carrinhos_de_rolimã_em_Campos_Novos_SC.jpg|мини|Гравитациски трки за првенство во Кампос Новос, Санта Катарина, [[Бразил]], 8 септември 2010 година.]]

=== Крајбрежје надолу по планински пат(гравитациски трки) ===
Го разгледуваме случајот на возилото, кое започнува на одмор и брег надолу по планината на патот, принципот на работа-енергија помага во пресметката на минимално растојание што возилото патува за да го достигне брзина ''V'', на велат 60&#x20;mph (88 fps). Возниот отпор и воздухот влечени ќе го забават возилото надолу, па вистинското растојание ќе биде поголемо доколку овие сили се запоставени.

Нека траекторијата на возилото по патот е '''X'''(''t''), која е крива во тро-димензионален простор. Силите кои дејствуваат на возилото што се турка надолу, патот е постојана сила на гравитација {{Безпрелом|1='''F''' = (0, 0, ''W'')}}, додека сила на патот на возилото е условна сила '''Р'''. Вториот Њутнов закон:
: <math />
На скаларниот производ на оваа равенка со брзината, {{Безпрелом|1='''V''' = (''v''<sub>x</sub>, ''v''<sub>y</sub>, ''v''<sub>z</sub>)}}, приносите
: <math />
каде што ''V'' е големината на '''V'''. На условните сили помеѓу возилото и патот откажени од оваа равенка, бидејќи {{Безпрелом|1='''R''' ⋅ '''V''' = 0}}, што значи дека тие не работат.
Ги интегрира двете страни за да се добие
: <math />
Силата на тежината ''W'' е постојано заедно со траекторијата и составниот дел на вертикалната брзина е вертикална оддалеченост, затоа,
: <math />
Да се потсетиме дека V(t<sub>1</sub>)=0. Забележувате дека овој резултат не зависи од обликот на патот проследено со возило.

Со цел да се утврди растојанието на патот преземе се намалува за 6%, што е еден стрмен пат. Ова значи дека височината се намалува 6 стапки за секои 100 метри патување—аглите за функции се приближно еднакви. Затоа, растојанието ''s'' во стапки од 6% степени да достигне брзина ''V'' е најмалку
: <math />
Оваа формула го користи фактот дека тежината на возилото е {{Безпрелом|1=''W'' = ''mg''}}.

== Работата на сили кои дејствуваат на цврсто тело ==
Работата на сили кои дејствуваат на различни точки на едно ригидално тело може да биде пресметана од работата на [[Resultant force|добиените сили и вртежениот момент]]. За да се види ова, нека сили '''F'''<sub>1</sub>, '''F'''<sub>2</sub>... '''F'''<sub>n</sub> чин на точките '''X'''<sub>1</sub>, '''X'''<sub>2</sub>... '''X'''<sub>''n''</sub> во цврсто тело.

На траекториите на '''X'''<sub>''i''</sub>, ''i'' = 1,..., ''n'', дефинирани од страна на движењето на цврсто тело. Ова движење е дадено со сет на ротации [''A''(''t'')] и траекторијата '''d'''(''t'') на референтна точка во телото. Нека координатите '''x'''<sub>''i''</sub> ''i'' = 1,..., ''n'' ги дефинираат овие точки во движење на цврсто тело е [[Декартов координатен систем|референтна рамка]] ''M'', така што траекториите се проследени во фиксна рамка ''F'' се дадени од страна на
: <math />
Брзината на бодови '''X''i''''' по должината на нивните траектории се
: <math />
каде што '''ω''' е аголна брзина на векторот добиени од коса симетрична матрица
: <math />
позната како аголна брзина матрица.

Малата количина на работа од страна на силите во текот на малите преместувања ''δ'''''r''i''''' може да се утврди од страна на приближното раселување со {{Безпрелом|1=''δ'''''r''' = '''v'''''δt''}} така
: <math />
или
: <math />
Оваа формула може да се препише за да се добие
: <math />
каде '''С''' и '''Т''' се добиените сили и вртежниот момент применувани на референтната точка '''d''' на подвижна рамка ''M'' во цврсто тело.

== Наводи ==
{{наводи}}

== Користена литература ==
* {{Наведена книга|author1=Serway, Raymond A.|author2=Jewett, John W.|title=Physics for Scientists and Engineers|edition=6|publisher=Brooks/Cole|year=2004|isbn=0-534-40842-7|ISBN=0-534-40842-7}}
* {{Наведена книга|author=Tipler, Paul|title=Physics for Scientists and Engineers: Mechanics|edition=3 ed., extended version|publisher=W. H. Freeman|year=1991|isbn=0-87901-432-6|ISBN=0-87901-432-6}}

== Надворешни врски ==
* [http://www.lightandmatter.com/html_books/lm/ch13/ch13.html Работа] {{Семарх|url=https://web.archive.org/web/20161226102718/http://www.lightandmatter.com/html_books/lm/ch13/ch13.html |date=2016-12-26 }} – поглавје од онлајн учебник
* [http://www.lightandmatter.com/html_books/lm/ch13/ch13.html Работа (во негативна насока)] {{Семарх|url=https://web.archive.org/web/20161226102718/http://www.lightandmatter.com/html_books/lm/ch13/ch13.html |date=2016-12-26 }} – поглавје за да се објасни енергија вложени НАМАЛУВАЊЕ на некој ОБЈЕКТ (кран намалување на тежок објект)
* [http://faculty.wwu.edu/vawter/PhysicsNet/Topics/Work/WorkEngergyTheorem.html Работата на енергија принцип] {{Семарх|url=https://web.archive.org/web/20120530075449/http://faculty.wwu.edu/vawter/PhysicsNet/Topics/Work/WorkEngergyTheorem.html |date=2012-05-30 }}

{{Нормативна контрола}}

[[Категорија:Сила]]
[[Категорија:Должина]]
[[Категорија:Машинство]]
[[Категорија:Механика]]
[[Категорија:Физички величини]]