Инфинитезимала

Бесконечно мали (ε) бесконечно големи (ω) на хиперреалната бројна права (ε = 1/ω)

Инфинитезимала или бесконечно мал број — во математиката, број чија апсолутна вредност е помала од кој било позитивен реален број. Бројот x е бесконечно мал ако и само ако за секој цел број n, важи дека |nx| е помал од 1, без разлика колку е голем n. Во тој случај, апсолутната вредност на 1/x е поголема од кој било позитивен реален број. Инфинитезималите различни од нула, очигледно не се реални броеви, па затоа не се познати „операции“ со нив.

Историјата на инфинитезималите

Првиот математичар кој користел инфинитезимали бил Архимед, иако тој не верувал во нивното постоење.

Кога Њутн и Лајбниц развиле анализа (види и калкулус), тие почнале да користат инфинитезимали. Вообичаента употреба би изгледала вака:

За да се најде изводот f '(x) на функцијата f(x ) = x², нека dx е инфинитезимално. Потоа,

$f'(x)\,$	$=\lim _{dx\rightarrow 0}{\frac {f(x+dx)-f(x)}{dx}}\,$
	$={\frac {x^{2}+2x\cdot dx+dx^{2}-x^{2}}{dx}}\,$
	$=2x+dx\,$
	$=2x\,$

бидејќи dx е инфинитезимално мало.

Овој аргумент, иако интуитивен, и иако го дава точниот резултат, не е математички точен. Основниот проблем е што dx прво се смета за ненула (бидејќи делиме со него), но подоцна се отфрла како нула.

Дури во втората половина на деветнаесеттиот век на анализата ѝ била дадена математичка веродостојност, со воведувањето на лимесот. Во дваесеттиот век, било откриено дека бесконечно малите сè уште може да се користат строго математички. Ниту една формулација не е неточна (што значи дека dx прво се смета за ненула, а подоцна се отфрла како нула), но и двете го даваат точниот резултат ако се користат правилно.

Поврзано

• Математичка аЗбнализа
• Извод
• Калкулус