Косинусова теорема

Од Википедија, слободната енциклопедија
Прејди на: содржини, барај
Слика 1

Косинусова теорема е една од теоремите во геометрија и гласи:

Квадрат на било која страна на триаголник е еднакво на збирот на квадратите на другите две страни минус два пати по производот на тие страни и косинусот на аголот зафатен помеѓу нив.[1]

 a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos (\alpha) 


Пример: Нека е b=52mm, c=16mm, и α=115°.[2]

c=\sqrt{b^2 + c^2 - 2bc \cos(\alpha)}=\sqrt{52^2 + 16^2 - 2 \cdot 52 \cdot 16 \cos(115^{\circ})} \approx  60,5mm


За страните b и c косинусовата теорема гласи:

 b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos (\beta) 
 c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos (\gamma) .


Пример: Нека е а=32m, b=24m, и c=27m.

Аголот помеѓу а=32m и b=24m е γ. Според третата формула:

\cos(\gamma)=\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}=\frac{32^2 + 24^2 - 27^2}{2 \cdot 32 \cdot 24}= 0,5671
\gamma=55,5^{\circ}  (приближно)

Аголот помеѓу b=32m и c=24m е α. Според првата формула:

\cos(\alpha)=\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}=\frac{24^2 + 27^2 - 32^2}{2 \cdot 24 \cdot 27}= 0,2168
\alpha=77,5^{\circ}  (приближно)
\beta=180-(55,5+77,5)=47,0^{\circ}  (приближно)


Доказ[уреди]

Доказот е со [Питагорова теорема|Питагоровата теорема].[3] Нека е даден триаголник ABC. Од точка C кон страната AB спуштиме висина CD (види Слика 2). Од триаголникот ADC следува:

Слика 2
 AD = b \cos (\alpha) ,
 DB = c - b \cos (\alpha)

Применувајќи ја Питагоровата теорема на двата триаголници ADC и BDC следува:

 h^2 = b^2 - (b \cos (\alpha))^2 \qquad \qquad \qquad(1)
 h^2 = a^2 - (c - b \cos (\alpha))^2 \qquad \qquad (2)


Изедначувајќи ги десните страни на двете равенки (1) и (2) следува:

 b^2 - (b \cos (\alpha))^2 = a^2 - (c - b \cos (\alpha))^2

односно

 a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos (\alpha) .


Има многу различни докази за оваа теорема.[4]


Литература[уреди]


Поврзани теми[уреди]