Квадратна равенка

Од Википедија

Во математиката, полиномната равенка од втор степен се вика квадратна равенка. Општиот облик на равенката е:

a x 2 + b x + c = 0

Во равенката a, b и c се коефициенти, при што a ≠ 0, додека самата равенка е равенка по променлива x. Името е дадено според степенот на водечкиот коефициент.

Квадратните равенки често се јавуваат во математиката, но и во другите природни и технички науки.

Содржина

1 Решавање на квадратната равенка
2 Дискриминанта и зависност на решенијата од дискриминантата
3 Факторизација на квадратната равенка
4 Виетови формули
5 Равенки кои се сведуваат на квадратни
6 Примери
7 Видете исто така

[уреди] Решавање на квадратната равенка

Решението на квадратната равенка е целосно определено со изразот:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}$

што значи дека квадратната равенка има две решенија. Решението се добива на следниов начин:

Дадена ни е равенката:

a x 2 + b x + c = 0

Ја делиме равенката со a. Ова е дозволено бидејќи по услов a ≠ 0 и добиваме:

$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$

Согласно формулата за бином на квадрат:

(A + B) 2 = A 2 + 2 A B + B 2

на левата страна на равенката додаваме и одземаме $\frac{b^2}{4a^2}$ :

$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}-\frac{b^2}{4a^2}=0$

$\left( x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2} \right) +\frac{c}{a}-\frac{b^2}{4a^2}=0$

$\left( x^2+\frac{b}{2a} \right)^2 + \frac{4ac-b^2}{4a^2}=0$

од каде се добива:

$\left( x+\frac{b}{2a} \right)^2 = \frac{b^2-4ac}{4a^2}$

Ја коренуваме равенката и конечно се добива:

$x+\frac{b}{2a} = \frac{\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$x = \frac{\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}-\frac{b}{2a} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

[уреди] Дискриминанта и зависност на решенијата од дискриминантата

Во решението на квадратната равенка фигурира изразот:

D = b 2 - 4 a c

кој се нарекува дискриминанта на квадратната равенка. Според нејзиниот знак може да се одреди природата на решенијата на равенката. Имено:

ако D>0, равенката има две реални и различни решенија,
ако D<0, равенката има комплексно-конјугирани решенија, и
ако D=0, равенката има двојно реално решение, т.е. има две идентични решенија.

[уреди] Факторизација на квадратната равенка

Ако е зададена квадратната равенка:

a x 2 + b x + c = 0

која има решенија условно означени со x₁ и x₂, тогаш равенката може да ја запишеме како:

a x 2 + b x + c = a (x - x 1)(x - x 2)

Ваквото презапишување на равенката се вика факторизација на квадратната равенка или разложување на квадратната равенка на линеарни множители. Овој процес е често пати корисен при решавање на конкретни задачи и проблеми.

[уреди] Виетови формули

За решенијата на квадратната равенка важат следниве равенства:

$x_1+x_2 = -\frac{b}{a}$

$x_1\cdot x_2 = \frac{c}{a}$

кои се нарекуваат виетови формули за квадратна равенка (т.е. полином од втор степен) и претставуваат специјален случај на општата Виетова теорема.

[уреди] Равенки кои се сведуваат на квадратни

Равенките од облик:

a x 2 n + b x n + c = 0

може да се сведат на квадратни, ако се стави смената:

y = x n

цо која првичната равенка се сведува на равенка од облик:

a y 2 + b y + c = 0

која се решава според погорните формули. Решенијата на почетната равенката се добиваат кога ќе се пресмета n-ти корен од обете решенија на трансформираната равенка. На овој начин се добиваат 2n решенија, онолку колку што и треба да има. Специјално, за n=2, равенката е од облик:

a x 4 + b x 2 + c = 0

и таа се нарекува биквадратна равенка, која јасно има четири решенија.

[уреди] Примери

Да се реши равенката: $2 x 2 + 4 x - 6 = 0$

Според формулата имаме:

$x_{1,2}=\frac{-4\pm \sqrt{4^2-4\cdot 2\cdot (-6)}}{2\cdot 2} = \frac{-4\pm \sqrt{64}}{4}=\frac{-4\pm 8}{4}$

$x_1=\frac{-4+8}{4}=\frac{4}{4}=1$

$x_2=\frac{-4-8}{4}=\frac{-12}{4}=-3$

Значи решенија на равенката се: x₁=1 и x₂=-3

Да се реши равенката: $x 2 - 6 x + 13 = 0$

Имаме:

$x_{1,2}=\frac{6\pm \sqrt{36-52}}{2}=\frac{6\pm \sqrt{-16}}{2}=\frac{6\pm \sqrt{16\cdot \mathrm{i}^2}}{2}=\frac{6\pm 4\mathrm{i}}{2}=3\pm 2\mathrm{i}$