Квадратна функција

Од Википедија, слободната енциклопедија
Прејди на: содржини, барај
Поврзано: Квадратна равенка
Квадратна функција

Дефиниција и основни својства[уреди]

Во математика, квадратна функција е функција чиј график е вертикална парабола во рамнина, односно квадратна функција е полиномна функција од втор степен од една независнo променлива х.[1][2]

Во експлицитен облик имаме: f(x)=ax2+bx+c или у(x)=ax2+bx+c или y=ax2+bx+c, каде што а≠0.

Коефициентите a, b и c се константи, односно при работа се заменуваат со конкретни реални броеви, а остануваат x и y како променливи. На пример: у(x) =x2-2x-3 е квадратна функција со a=1, b=-2 и c=-3. Множеството на допуштени вредности на секоја квадратна функција е R, т.е. сите реални броеви. Значи, било кој реален број може да „влези“ во квадратна функција, односно да биде замената за х во функцијата. Сликата, т.е. множеството на сите излезни вредности e подмножество на R. На пример, сликата на квадратната функција f(x)=x2 е множеството R+=[0,∞), односно множеството на ненегативни реални броеви. Друг пример: сликата на квадратната функција у(x) = x2-2x-3 е y∈[-4,∞) (види слика надесно).

Параболата која е графикот на квадратна функција има вертикална симетрала x=-b2a (низ темето). Параболата се отвора нагоре ако a>0, а се отвори надолу ако a<0. Квадратна функција има точно еден пресек со у-оската во точката (0,с). Темето на параболата е точката: (-b2a, y(-b2a)).

Квадратна функција може да има 2, 1 или 0 корени. Корените се реалните решенија (доколку има) на квадратната равенка ax2+bx+c=0 која може да се реши користејќи ја квадратната формула x1,x2=-b±D2a, D=√b2-4ac. Се потенцира дека само реални решенија на оваа равенка се корени. Ако D>0, функцијата има 2 корени. Ако D=0, функцијата има 1 корен. Ако D<0, Функцијата нема корен. Бројот на корените е еднаков на бројот на пресеците на параболата со х-оската.

Пример примена на квадратна равенка: Висина h како функција на време t на предмет истрелен директно нагоре со почетна брзина v0 и со почетна висина h0 се опишува со квадратна функција: h(t)=9.812t2+v0t+h0.[3][4]

 f(x)=x^2-2x   f(x)=-x^2+4x-4   f(x)=\frac{x^2}{2}+x+1
a=1, b=-2, c=0 a=-1, b=4, c=-4 a=0.5, b=1, c=1
y-пресек (0,0) y-пресек (0,-4) y-пресек (0,1)
D= (-2)2 =4 >0 D= (-4)2-4•4 =0 D= (1)2-4•0.5•1 =-1 <0
x1=2 и x2=0 x1=x2=2 x1 и x2 не постојат!
два различни корени еден единствен корен нема корен
Теме: (-1,1) Теме: (2,0) Теме: (-1,0.5)
Wiki kvadratna Dgt0 v3.png
Wiki kvadratna Dis0.png
Wiki kvadratna Dlt0.png


Литература[уреди]