Момент (математика)

Во математиката, лаички земено, моментот претставува квантитативна мерка на обликот на функција (збир точки). Различни моменти реферираат на различни аспекти на распределбата односно распоредот на точките.

Значајноста на моментите

Nти момент на континуирана функција f(x) со реална променлива c е

$\mu '_{n}=\int _{-\infty }^{\infty }(x-c)^{n}\,f(x)\,dx.\,\!$

Возможно е дефинирање на моменти за случајни променливи, како и за реални променливи. Најчесто функцијата f(x) ја зимаме како функција со густина на веројатност. Nти моментот за нула во функција со густина на веројатност е очекувана вредност Xn и се нарекува суров момент. Моментите за нејзината средна вредност μ се нарекуваат централни моменти и истите ја опишуваат формата на функцијата.

Ако f е функција со густина на веројатност, вредноста на горенаведениот интеграл се нарекува nти момент на дистрибуција на веројатноста. Генерално, доколку f е кумулативна функција со каков било распоред на веројатностите, nти моментот на распоредот на веројатностите е даден со Riemann–Stieltjes интегралот.

$\mu '_{n}=\operatorname {E} (X^{n})=\int _{-\infty }^{\infty }x^{n}\,dF(x)\,$

каде што X е случајна променлива со кумулативна дистрибуција F, и E е очекувана вредност или средна вредност.

кога,

$\operatorname {E} (|X^{n}|)=\int _{-\infty }^{\infty }|x^{n}|\,dF(x)=\infty ,\,$

се вели дека моментот не постои. Доколку nти моментот постои за било која точка, тогаш постои и (n- 1) моментот за секоја точка. 0 моментот во било која функција на распределба на веројатностите е 1, со оглед на фактот дека просторот под функцијата мора да биде еднаков на 1.

Средна вредност

Првиот момент е средна (просечна) вредност. Параметарот кој ја карактеризира централната вредност на нумеричкиот белег се нарекува средна (просечна) вредност. Таа претставува доминантна нумеричка карактеристика на распоредот на фрекфенциите. Според начинот на утврдувањето на средните вредности тие се деелат на математички и позициони. Математичките средни вредности се пресметуваат врз основа на сите вредности на белегот на серијата според определени правила. Во оваа група спаѓаат аритметичка средина, геометриска средина и хармониска средина.

Варијанса

Вториот централен момент е варијанса. Поадекватна апсолутна мерка на дисперзијата е квадратниот корен од варијансата. Овој показател се нарекува Стандардна девијација σ.

Коефициент на асиметрија

За мерење на асиметријата се користи третиот централен момент односно Коефициент на асиметрија. Третиот момент ставен во однос со стандардната девијација σ на трет степен ја дава релативната мерка на асиметријата, осносно коефициентот на асиметрија α3.

1. Кај симетричните распореди на фрекфенциите, коефициентите α3=0.
2. Ако α3>0 распоредот има позитивна асиметрија (асиметрија на десно), а
3. ако α3<0 распоредот има негативна асиметрија (асиметрија на лево).

Меѓутоа, ако нивната вредност се наоѓа во интервалот [-0,5 +0,5] тогаш се смета дека распоредот има умерена асиметрија.

Коефициент на сплоснатост

За мерење на сплоснатоста на распоредите се користи четвриот централен момент односно Коефициент на сплоснатост. Односот на четвриот момент со стандардната девијација σ на четврити степен претставува релативна мерка на сплоснатоста, односно коефициент на сплоснатост кој се одбележува со α4.

1. Ако α4=3 се смета дека распоредот има нормална сплоснатост.
2. Ако α4>3 распоредот има помала сплоснатост од нормалната, односно има поиздолжен облик, а
3. кога α4<0 распоредот има поголема сплоснатост од нормалната, односно има посплоснат облик.

Моменти од повисок ред

Моментите од повисок ред се надвор од групата на четирите централни моменти. Како и со варијансата, коефициентот на сплоснатост и коефициентот на асиметрија, и овие вклучуваат нелинеарна комбинација на податоци и се користат за опис или проценка на облиците на параметрите. Колку повисок е моментот, толку потешка е неговата проценка, во смисла дека се потребни поголеми примероци за да се добие проценка со сличен квалитет.

Директна променлива

Директна случајна променлива X ги содржи n вредностите

Xn ; j=1,2; N

Ја опишуваме веројатноста P( Xn )

P (Xn) = P(X1) + P(X2) + ….P(XN) = 1

Претпоставуваме дека веројатноста P (Xn) е непозната но познати се сите моменти

hx i ; m= 1,2 ; N:

За да го одредиме распоредот во P( Xn ) ги расложуваме првите N моменти

• 1. hxi= Xn P(Xn) = X1 P(X1) + P(X2) +… XN P(X N)
• 2. hx2 i=Xn2 P(Xn)= X12 P(X1) + X22 P(X2)+…XNN P(XN)
• 3. hxN=XnN P(Xn)=X1N P(X1)+ X2N P(X2)+…XNN P(XN)

Математичките моменти можат да се користат и кај континуираната променлива

hXmi = xm (x) dx

m-тиот момент ја определува променливата X кај случајните променливи, моментите значат

hX1n1 X2n2 X3n3 i = x1n1 x2n2 x3n3 ( x1;x2; x3) dx1 dx2 dx3

Ако променливите се статистички независни моментите ќе бидат

hX1n1 X2n2 X3n3 i = hX1n1 i hX2n2 i hX3n3 i

Наводи

• Ристески Славе, Тевдовски, Драган (2010): „Статистика за бизнис и економија“, четврто издание, Скопје: Економски факултет - Скопје.
• "Статистика за бизнис и економија" - Пол Њуболд, Вилијам Л. Карлсон, Бети Торн
• "Вовед во статистика и веројатност" - Звонко Глумац

Надворешни врски

• Хацевинкел, Михил, уред. (2001), „Moment“, Математичка енциклопедија, Шпрингер, ISBN 978-1556080104
• Moments at Mathworld
• Higher Moments