Карактеристична функција

Карактеристична функција на случајна променлива е функција која се среќава во теоријата на веројатност.

Дефиниција

Нека $X$$X$ е случајна променлива со функција на густина на веројатност $f(x)$$f(x)$. Тогаш карактеристична функција $\Phi (\omega )$$\Phi (\omega )$ на случајната променлива $X$$X$ е по дефиниција дадена со:

$\Phi (\omega )=E\{e^{j\omega X}\}=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{j\omega x}\,dx.$$\Phi (\omega )=E\{e^{j\omega X}\}=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{j\omega x}\,dx.$

Својства

Се забележува дека $\Phi (\omega )$$\Phi (\omega )$ е Фуриевата трансформација на функцијата $f(x)$$f(x)$, така што својствата кои важат за Фуриевата трансформација ќе важат и за оваа функција.

Може да се забележи дека карактеристичната функција има максимум за $x=0$$x=0$, бидејќи со оглед на ненегативноста на функцијата на густина на веројатност, $f(x)\geq 0$$f(x)\geq 0$, важи:

$|{\Phi }_{X}(\omega )|\leq {\Phi }_{X}(0)=1.$$|{\Phi }_{X}(\omega )|\leq {\Phi }_{X}(0)=1.$

Ако $j\omega$$j\omega$ во дефиницијата се замени со $s$$s$, се добива функцијата на генерирање на моменти ${\Phi }_{X}(s)$${\Phi }_{X}(s)$ на случајната променлива $X$$X$.

Наводи

A. Papoulis, S. Unnikrishna Pillai, "Probability, Random Variables and Stochastic Processes", Fourth edition, McGraw-Hill, 2002

Видете исто така

• Фуриева трансформација
• Случајна променлива
• Функција на густина на веројатност
• Функција на генерирање на моменти
• Втора карактеристична функција
• Втора функција на генерирање на моменти
• Моменти
• Кумуланти
• Теорема на моменти