Преглед на кодот на Квадрат

{{Regular polygon db|Regular polygon stat table|p4}}
'''Квадрат''' — рамна [[геометриска фигура]] со четири еднакви страни и четири [[прав агол|прави агли]].<ref name=Oxford>{{Наведена мрежна страница | url=http://web.cortland.edu/matresearch/OxfordDictionaryMathematics.pdf |title=Oxford Concise Dictionary of Mathematics | first1=C.|last1=Clapham|first2=J.|last2=Nicholson | publisher =Addison-Wesley | year =2009|page=744|language=англиски|accessdate=1 септември 2013}}</ref><ref>{{Наведена мрежна страница | url=http://www.mathopenref.com/square.html| title =Square | title=Квадрат| publisher =Math Open Reference|year=2009|language=англиски|accessdate=1 септември 2013}} интерактивен</ref>
* Формално, квадрат се дефинира како [[паралелограм]] со две соседни [[складност|складни]] страни и еден внатрешен прав агол. 
** квадрат е [[паралелограм]] според дефиниција, па следува дека спротивни страни и агли се складни, а соседни агли се [[суплементни агли|суплементни]]. (Види [[паралелограм]].)
** квадрат е [[ромб]] бидејќи две соседни складни страни значи 4-те страни се складни. (Види [[ромб]].)
** квадрат е [[правоаголник]] бидејќи еден внатрешен прав агол значи 4-те внатрешни агли се по 90°. (Види [[правоаголник]].)
*Квадрат е [[правилен многуаголник]] бидејќи сите 4 страни се складни (рамностран) и сите 4 агли се складни (рамноаголен).

'''Основна регулатива: '''Квадрат е [[потполна определеност|потполно определeн]] со должината на страна. Исто така, квадрат е потполно определен со должината на дијагоналата.
</div>

== Формули и особини за квадрат==
Нека е даден квадрат со страна ''a''. Во долунаведените формули точката означува множење, т.е. ''a'' &middot; ''a'' = ''a'' &times; ''a''.

'''Периметар''' 
<div style="margin-left:15px;">
{| style="border:1px solid black; background-color:#EEEEEE; padding:4px"
|- 
| <math>L = 4 \cdot a </math>
|}
</mod>

'''Плоштина''' 
<div style="margin-left:15px;">
{| style="border:1px solid black; background-color:#EEEEEE; padding:4px"
|- 
| <math>P = a \cdot a=a^2 </math>
|}
</div>

'''Дијагонала''' 
<div style="margin-left:15px;">
{| style="border:1px solid black; background-color:#EEEEEE; padding:4px"
|- 
| Дијагоналите на квадрат се исти и &nbsp;&nbsp;<math>d = a \cdot \sqrt{2} </math>
|}
</div>
:'''Доказ: '''Со [[Питагорова теорема]]. 
::<math>a^2+a^2=d^2 \,\,\Rightarrow \,\,2a^2=d^2 \,\,\Rightarrow \,\, d=\sqrt{2a^2} \,\,\Rightarrow \,\, d = a \cdot \sqrt{2}</math>
::Следува и од формулите за [[паралелограм#|дијагоналите на паралелограм]] бидејќи &alpha;=90&deg; така што cos(&alpha;)=cos(90&deg;)=0 и ''b''=''a''.

(Види и [[степенување]], [[коренување]] и [[тригонометрија]]).

'''Пример:''' Нека е даден квадрат со страна ''a''=5&nbsp;км. Тогаш, периметарот e L=4&middot;''a''=4&middot;5&nbsp;км=20&nbsp;км. Плоштината е P=''a''&middot;''a''=5&nbsp;км&middot;5&nbsp;км=25&nbsp;км<sup>2</sup> (квадратни километри). Дијагоналите се складни и: d=5&nbsp;км&middot;&#x221A;2 ≈7,07&nbsp;км.

'''Пример:''' Нека е даден квадрат со дијагонала ''d''=14,14mm. Тогаш страната на квадратот е ''a''=<sup>14,14mm</sup>/<sub>&#x221A;2</sub>=10mm. Перимeтарот е L=4&middot;''a''=4&middot;10mm=40mm, а плоштината е P=''a''&middot;''a''=10mm&middot;10mm=100mm<sup>2</sup>.

<div style="margin-left:15px;">
{| class="wikitable"
|- 
|align="center"|[[Податотека:square_def.svg|160п]]
|align="center"|[[Податотека:square_diag_90.svg|135п]]
|align="center"|[[Податотека:square_diag_bis_ang.svg|135п]]
|align="center"|[[Податотека:square_symmetry.svg|135п]]
|- style="font-size:86%; line-height:1.5em"
|align="center" width="165"|Квадрат има 4 еднакви страни <br />и 4 прави агли.
|align="center" width="155"|Дијагоналите се сечат под прав агол.
|align="center" width="155"|Дијагоналите ги преполовуваат аглите (на 45&deg;).
|align="center" width="155"|Дијагоналите и средните линии се оски на осна симетрија.
|-
|align="center"|[[Податотека:square_diag.svg|135п]]
|align="center"|[[Податотека:square_diag_bis.svg|135п]]
|align="center"|[[Податотека:square_inscribed.svg|135п]]
|align="center"|[[Податотека:Square circumscribed.svg|135п]]
|- style="font-size:86%; line-height:1.5em"
|align="center" width="155"|Дијагоналите се складни.
|align="center" width="155"|Дијагоналите се преполовуваат.
|align="center" width="155"|[[Впишана кружница]] на квадрат.
|align="center" width="155"|[[Опишана кружница]] на квадрат.
|}
</div>
<div style="line-height:1.5em">
*Бидејќи секој квадрат е [[четириаголник]], збирот на внатрешните агли е 360&deg;.
*Бидејќи секој квадрат има спротивни паралелни страни, отсечките кои ги спојуваат средните точки на спротивните паралелни страни врват низ пресекот на дијагоналите.
*Бидејќи секој квадрат е [[паралелограм]], дијагоналите се преполовуваат.
*Бидејќи секој квадрат е [[ромб]], дијагоналите се сечат под прав агол и дијагоналите ги преполовуваат внатрешните агли (така што се по <sup>90&deg;</sup>/<sub>2</sub>=45&deg;).
*Бидејќи секој квадрат е [[правоаголник]], дијагоналите се складни (со истата должина).
</div>

==Одлики на квадрат==
Четириаголник е квадрат ако и само ако кој било од следните искази е вистинит:
*Четирите страни се со еднакви должини и четирите внатрешни агли се по 90&deg;.
*Дијагоналите се со еднакви должини и се сечат под прав агол (90&deg;).
*Дијагоналите го делат четириаголникот на 4 складни рамнокраки триаголници.

Потаму квадрат е:
*Паралелограм со еден прав агол и два напоредни (соседни) складни страни.
*Правоаголник со два напоредни складни страни.
*Ромб со еден прав агол.
*Ромб со 4 складни агли.

[[Податотека:Straight_Square_Inscribed_in_a_Circle_240px.gif|frame|Конструкција на квадрат во [[опишана кружница]]]]
==Впишана и опишана кружница на квадрат==
<div style="line-height:2em">
*Квадрат е '''[[тангентен четириаголник]]''', т.е. има [[впишана кружница]] таква да сите четири страни на квадратот се тангенти на кружницата. 
:Доказ: Еден потребен и доволен услов за еден [[испакнато множество|испакнат]] четириаголник да е тангентен четириаголник е да збирот на должините на двата парови спротивни страни е ист. Значи квадрат е тангентен четириаголници.<ref name=Andreescu>{{Наведена книга|last1=Andreescu|first1=Titu|last2=Enescu|first2=Bogdan| title=Mathematical Olympiad Treasures| publisher=Birkhäuser|year=2006|pages=64–68|isbn=978-0817682521}}.</ref>
<div style="margin-left:15px">
'''Формула:''' Полупречникот ''r'' на впишаната кружница е половина од страната ''а'' (на квадратот), односно
:<math>r=\frac{a}{2}</math>
</div>

*Квадрат е '''[[тетивен четириаголник]]''', т.е. има [[опишана кружница]] таква да сите четири темиња на квадратот се точки на кружницата. 
:Доказ: Еден потребен и доволен услов за еден [[испакнато множество|испакнат]] четириаголник да е тетивен четириаголник е да збирот на спротивни агли бидат 180&deg;. Значи квадрат е тетивен четириаголник.<ref name=Usiskin>{{citation |first1=Zalman |last1=Usiskin |first2=Jennifer |last2=Griffin |first3=David |last3=Witonsky |first4=Edwin |last4=Willmore |title=The Classification of Quadrilaterals: A Study of Definition |chapter=10. Cyclic quadrilaterals |chapterurl=http://books.google.com/books?id=ZkoUR5lRwdcC&pg=PA63 |year=2008 |publisher=IAP |isbn=978-1-59311-695-8 |pages=63–65 |series=Research in mathematics education}}</ref>
<div style="margin-left:15px">
'''Формула:''' Полупречникот ''R'' на опишаната кружница е половина од дијагоналата ''d'' (на квадратот), односно
:<math>R=\frac{d}{2}=\frac{a \sqrt{2}}{2}</math>
</div>
</div>

*Квадратот е бицентричен четириаголник, бидејќи e и тангентен и тетивен.

==Симетрија==
*Квадратот има 4 оски на [[осна симетрија]], односно двете дијагонали и двете средни линии (отсечките кои ги поврзуваат средните точки на спротивни страни).
*Квадратот има [[вртежна симетрија]] од 4-ти ред, т.е. ако го ротираме квадратот <sup>360&deg;</sup>/<sub>4</sub>=90&deg; се добива истиот квадрат.<ref>{{Наведена мрежна страница|url=http://www.purplemath.com/modules/symmetry.htm|last1=Stapel|first1= Elizabeth|title="Symmetry about an Axis"|language=англиски|accessdate=1 септември 2013}} анимиран</ref>

==Други факти==
*Дијагоналите на квадрат се <math>\scriptstyle \sqrt{2}</math> (приближно 1,414) пати поголеми од страната на квадратот. Оваа вредност, т.е. квадратен корен од 2 се вика [[Питагорова константа]] и првиот број да е докажен дека е [[ирационален број|ирационален]], т.е. не е [[рационален број]].<ref>{{Наведена мрежна страница|url=http://mathworld.wolfram.com/PythagorassConstant.html|title=Pythagoras's Constant|last=Weisstein| first=Eric W.|publisher=MathWorld--A Wolfram Web Resource|language=англиски|accessdate=1 септември 2013}}</ref>
*Ако геометриска фигура е и правоаголник (прави агли) и ромб (4 складни страни), тогаш е квадрат.
*Плоштината на опишаната кружница е <sup>&pi;</sup>/<sub>2</sub> (приближно 1,571) пати поголема од плоштината на квадратот.
*Плоштината на впишаната кружница е <sup>&pi;</sup>/<sub>4</sub> (приближно 0,7854) пати помал од плоштината на квадратот.
*Квадрат има поголема плоштина од кој било четириаголник со истиот периметар.<ref>{{Наведена мрежна страница|url=http://www2.mat.dtu.dk/people/V.L.Hansen/square.html|title=I am the greatest|first=V.L.|last=Hansen|publisher=Mathematics in School Vol.25, No.4|year=1996|pages=10-11|language=англиски|accessdate=1 септември 2013}}</ref>

==Обопштување на квадрат==
*Обопштување во 3Д: [[Коцка]] е [[полиедар]] со 6 страни, секоја страна е квадрат.

==Неeвклидова геометрија==
Во [[неевклидова геометрија|неeвклидова геометрија]], квадрати се ''општи'' многуаголници со 4 складни страни и 4 складни агли.

Во [[сферна геометрија]], квадрат е многуаголник чии страни се рамнодолжни лакови од [[голем круг|големи кругови]], кои се споени на секое [[теме (геометрија)|теме]] со складни агли. За разлика од [[Евклидова геометрија|Евклидовата геометрија]] во рамнина, аглите на таков квадрат се поголеми од 90&deg;.

Во [[хиперболна геометрија]], квадрати со прави агли не постојат. Напротив, квадратите во хиперболична геометрија имаат агли кои се помали од 90&deg;.

'''Примери:'''
{| class="wikitable" 
|- style="font-size:86%; line-height:1.5em" align="center"
|width=250|[[Image:Square on sphere.svg|200px]]<br>Сфера може плочесто да се нареди со 6 квадрати така што секое [[теме (геометрија)|теме]] е теме на 3 квадрати со внатрешни агли од 120&deg;.<br/> Шлефлиев симбол е&nbsp;{4,3}.
|width=250|[[Image:Square on plane.svg|200px]]<br>Евклидовата рамнина може плочесто да се нареди со квадрати така што секое теме е теме на 4 квадрати со внатрешни агли од 90&deg;.<br/> Шлефлиев симбол е&nbsp;{4,4}.
|width=250|[[Image:Square on hyperbolic plane.png|200px]]<br>Хиперболична рамнина може плочесто да се нареди со квадрати така што секое теме е теме на 5 квадрати со внатрешни агли од 72&deg;.<br/> Шлефлиев симбол е&nbsp;{4,5}. 
|}

==Наводи==
{{наводи}}

== Поврзани теми ==
*[[Правоаголник]], [[Ромб]], [[Паралелограм]] 
*[[Трапез]]
*[[Четириаголник]], [[Многуаголник]]
*[[Степенување]]

==Надворешни врски==
*{{Наведена мрежна страница|url=http://www.emathforall.com/wiki/RecnikT/Kvadrat|last1=Стојановска|first1=Л.|title=Квадрат|year=2010|language=македонски|accessdate=1 септември 2013|archive-date=2013-09-16|archive-url=https://web.archive.org/web/20130916045052/http://www.emathforall.com/wiki/RecnikT/Kvadrat|url-status=dead}} интерактивен
*{{Наведена мрежна страница|url=http://wiki.geogebra.org/mk/Правилен_многуаголник_Алатка| title=Геогебра алатка: Правилен многуаголник |author=Geogebra Institute и Институт за Геогебра на МКД (превод)|year=2013|language=македонски|accessdate=1 септември 2013}} 
*{{Наведена мрежна страница|url=http://euler.slu.edu/escher/index.php/Introduction_to_Non-Euclidean_Geometry|title=Introduction to Non-Euclidean Geometry|publisher=EscherMath, St. Louis University|year=2011|last1=Bart|first1=Anneke|last2=Clair|first2= Bryan|language=англиски|accessdate=1 септември 2013}}

{{Портал|Математика}}

{{Математички полиња}}

{{Нормативна контрола}}

[[Категорија:Четириаголници]]
[[Категорија:Многуаголници]]
[[Категорија:Експоненти]]
[[Категорија:Елементарна геометрија]]
[[Категорија:Геометриски фигури]]
[[Категорија:Геометрија]]
[[Категорија:Математичко образование]]