Преглед на кодот на Декартов координатен систем

[[Податотека:Cartesian coordinate system (comma).svg|мини|десно|250п|Приказ на Декартова координатна рамнина. Четирите точки се означени со нивните координати: (2, 3) со зелено, (−3, 1) со црвено, (−1,5, −2,5) со сино, и почетокот (0, 0) со виолетово.]]

'''Декартов координатен систем''' (или '''правоаголен координатен систем''')<ref>{{наведена книга|last=Андреевски|first=Венцислав П.|title=Прирачник за математички поими и формули|publisher=Винсент графика|location=Скопје|date=2007|pages=295|chapter=9.1. Координатни системи и врски помеѓу нив|isbn=978-9989-2474-4-6}}</ref> — систем по кој се определува положбата на некоја [[точка (геометрија)|точка]] на [[рамнина]] со пар [[број]]чени '''координати''', кои се означени растојанија од точката до двете [[прав агол|нормални]] насочени линии, изразени во една иста [[должина|единица за должина]]. Секоја линија е наречена „координатна оска“ или само „оска“, а точката во која се пресекуваат се нарекува „[[координатен почеток]]“, обично во подредениот пар (0,0). Координатите можат да се претстават и како положби на [[ортогонална проекција|правоаголните проекции]] на точката врз двете оски, изразени како растојанија од почетокот.

На истиот начин може да се претстави и точка во тридимензионален [[простор (математика)|простор]],  но со три координати, кои се означените растојанија на ри заемно нормални рамнини (или со правоаголната проекција брз три заемно нормални линии). Истото важи и за точка во било која [[димензија]] ''n'', чија положба ја одредуваме користејќи ''n'' координати, кои се означени растојанија од ''n'' заемно нормални [[хиперрамнина|хиперрамнини]].

[[Податотека:Cartesian-coordinate-system-with-circle.svg|мини|десно|250п|Декартов координатен систем со кружница со полупречник со средиште во почетокот. Равенката на кружницата е (''x'' - ''a'')<sup>2</sup> + (''y'' - ''b'')<sup>2</sup> = ''r''<sup>2</sup> каде ''a'' и ''b'' се координатите во центарот (''a'', ''b''), а ''r'' е полупречникот.]]

Изумувањето на координатниот систем претставува епохален момент во математиката, кој за првпат овозможил методолошка врска помеѓу [[геометрија]]та и [[алгебра]]та. Користејќи го овој систем можеме да претставуваме [[геометриска фигура|геометриски фигури]] (на пр. [[крива|криви]]) како '''Декартови равенки''', кои се алгебарски [[равенка|равенки]] со координати на точките што лежат на фигурата. На пример, една кружница со полупречник 2 може да се опише како множество од сите точки чиишто координати ''x'' и ''y'' ја задоволуваат равенката ''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup> = 4.

Декартовите координати се камен-темелник на [[аналитичка геометрија|аналитичката геометрија]] и даваат геометриски толкувања во многу други математички гранки како што е [[ленеарна алгебра|линеарната алгебра]], [[комплексен број|комплексната анализа]], [[диференцијална геометрија|диференцијалната геометрија]], повеќепроменливата [[математичка анализа|анализа]], [[теорија на групите|теоријата на групите]] и други. Познат пример за примена на системот е [[график]]от на [[функција (математика)|функција]]. Декартовите координати се незаменливи и во многу други применети полиња што работат со геметрија, како [[астрономија]]та, [[физика]]та, [[инженерство]]то и многу други. Ова е најзастапениот координатен систем во изработката на [[сметачка графика]], [[сметачки-потпомогнато конструирање|сметачки-потпомогнатото конструирање]] (CAD) и други обработки на податоци поврзани со геметријата, т.е. што користат [[пресметковна геометрија]].

==Историја==
Творецот на овој систем е [[Франција|францускиот]] [[математичар]] и [[филозоф]] [[Рене Декарт]] (1596-1650). Идејата се развила во [[1637]] во две независни дела на Декарт и [[Пјер де Ферма]]. Ферма работел со три димензии, но не го објавил пронајдокот.<ref>{{наведена енциклопедија|title=analytic geometry|encyclopedia=Encyclopædia Britannica|year=2008|edition=Encyclopædia Britannica Online|accessdate=2 август 2008}}</ref> Во делото „Геометрија“ (''La Géométrie'') Декарт поподробно ја образложува новата замисла како да се претстави положбата на една [[точка (геометрија)|точка]] или предмет на некоја површина со помош на оски што се сечат и поделоци за мерење.<ref>{{наведена книга|author=Descartes, R|title=La Géométrie|url=http://gallica2.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k29040s.image.f1.langEN|page=Livre Premier: Des problèmes qu'on peut construire sans y employer que des cercles et des lignes droites (Книга Прва: Проблеми за чија конструкција ни треба само кружници и прави линии)|nopp=true}}{{Мртва_врска|date=March 2024 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }} {{fr}}</ref>

Декартовиот координатен систем го овозможил развојот на перспективната и [[проективна геометрија|проективната геометрија]]. Подоцна системот одиграл суштинска улога и во развојот на [[математичка анализа|анализата]], чии творци се [[Исак Њутн]] и [[Готфрид Вилхелм Лајбниц]].<ref>A Tour of the Calculus, David Brezinsky</ref>

Оттогаш наваму се измислени разни други координатни системи како [[поларен координатен систем|поларниот]] за рамнина и [[сферен координатен систем|сферниот]] и [[цилиндричен координатен систем|цилиндричниот]] систем за тридимензионален простор.

==Дефиниции==
===Декартови координати во две димензии===
Денешниот Декартов координатен систем во две димензии се сосоти од [[прав агол|нормални]] линии (оски), една иста единица за двете оски и ориентација на секоја оска. Линиите се нарекуваат ''x''-оска и ''y''-оска, првата хоризонтална, а втората вертикална. Точката во која се среќаваат е заеднички почеток, па со тоа секоја оска е [[бројна оска]]. За некоја точка ''P'', низ неа се повлекува линија нормална на ''x''-оската за да ја пресече таа оска ''X'' и друга линија ''P'' нормална на ''y''-оската за да се пресече со таа оска ''Y''. Потоа координатите на точката ''P'' се ''X'' и ''Y'' протолкувани како броеви ''x'' и ''y'' на соодветните бројни оски. Координатите се запишуваат како подреден пар (''x'',&nbsp;''y''). Точката во која се сечат оските е заедничкиот почеток на двете бројни линии и се нарекува „координатен почеток“ и се означува со ''O'', па во тој случај оските можат да се наречат и ''Ox'' и ''Oy''. Рамнина со оски ''x'' и ''y'' се нарекува Декартова рамнина или „рамнина ''xy''“. Вредноста на ''x'' се нарекува „координата ''x''“ или [[апсциса]], а вредноста на ''y'' се нарекува „координата ''y''“ или [[ордината]].<ref>Roland E. Larson, Bruce H. Edwards, David E. Heyd, ''Finite Mathematics''. D. C. Heath and Company, Lexington, Massachusetts and Toronto, 1991, стр. 20.</ref>

===Декартови координати во три димензии===
[[Податотека:Coord system CA 0.svg|мини|десно|240п|Тридимензионален Декартов координатен систем со почеток ''O'' и оски ''X'', ''Y'' и ''Z'' во прикажаната насока. Дебелите рецки на оската се единици должина. Црната точка е точката што ги има координатите ''X''&nbsp;=&nbsp;2, ''Y''&nbsp;=&nbsp;3 и ''Z''&nbsp;=&nbsp;4, т.е. (2,3,4).]]

Декартовиот координатен систем во три димензии има три линии (оски) кои се заемно нормални, заедничка единица за должина и ориентација на секоја оска. Како и кај дводимензионалниот систем, секоја оска е бројна оска. Координатите на точката ''p'' се добиваат со повлекување на три линии низ ''p'' кои се нормални на секоја координатна оска, и запишување на местата кајшто линиите ќе се пресечат со оските како три броја.

Координатите на точката ''p'' можат да се претстават и како предозначени растојанија од ''p'' до трите рамнини што ги определуваат трите оски. Ако оските се наречени ''x'', ''y'' и ''z'', тогаш координатата ''x'' е растојанието од рамнината што ја определуваат оските ''y'' и ''z''. Растојанието треба да е означено со предзнакот + или &minus;, зависно од тоа во кој [[полупростор]] што го сече рамнината се наоѓа ''p''. На истиот начин се добиваат и координатите ''y'' и ''z'': првата од рамнината (''x'',''z''), а другата од рамнината (''x'',''y'').

[[Податотека:Cartesian coordinate surfaces.png|мини|десно|240п|Координатни површини на координатите (''x'', ''y'', ''z''). ''z''-оската е вертикална, а ''x''-оската е обележана со зелено. Така, црвената рамнина ги означува точките со ''x''=1, сината со ''z''=1, а жолтата со ''y''=-1. Трите површини се сечат во точката '''P''' (означена како црно топче) со координати (1, -1, 1).]]

===Квадранти и октанти===
[[Податотека:Cartesian coordinates 2D mk.svg|мини|десно|240п|Четирите квадранти на Декартовиот координатен систем.]]
Оските на дводимензионалниот Декартов систем ја делат рамнината на четири бесконечни дела наречени '''квадранти''', секој ограничен со две полуоски. Квадрантите се означуваат со [[римски бројки]] и предзнак: I (+,+), II (−,+), III (−,−) и IV (+,−)

Тридимензионалниот Декартов систем ги дели просторот на '''октант''', согласно предзнаците на координатите на точката. Октантот каде сите три координати се позитивни се нарекува '''прв октант''', но не постои договорена номенклатура за останатите октанти. n-димензионалното воопштување на квадрантот и октантот се нарекува [[ортант]].

==Декартов простор==
Една [[рамнина]] со Декартов координатен систем се нарекува ''Декартова рамнина''. Бидејќи координатите во овој систем се единствени и недвосмислени, точките на рамнината може да ги определуваат сите можни парови на [[реален број|реални броеви]], т.е. со [[Декартов производ|Декартовиот производ]] <math>\R^2 = \R\times\R</math>, каде <math>\R</math> е множеството на сите реални броеви. Така имаме и ''Декартов простор'' од било која димензија ''n'', чии точки се „[[N-торка|торки]]“ (набројувања) на ''n'' реални броеви, т.е. со <math>\R^n</math>.

==Декартови формули за рамнина==
=== Растојание помеѓу две точки ===
Растојанието помеѓу две точки на рамнината со Декартови координати <math>(x_1,y_1)</math> и <math>(x_2,y_2)</math> изнесува:<ref>Roland E. Larson, Bruce H. Edwards, David E. Heyd, ''Finite Mathematics''. D. C. Heath and Company, Lexington, Massachusetts and Toronto, 1991, стр. 22.</ref>
:<math>d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}.</math>

Ова е Декартовата варијанта на [[Питагорина теорема|Питагорината теорема]]. Во тридимензионален простор, растојанието помеѓу точките <math>(x_1,y_1,z_1)</math> и <math>(x_2,y_2,z_2)</math> ќе биде
:<math>d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2+ (z_2-z_1)^2}</math>
што може да се добие со две последователни примени на Питагорината теорема.

===Формула за средишната точка===
Средишната точка на отсечката која поврзува две точки во Декартовиот координатен систем се пресметува како просечна вредност на координатите на двете крајни точки на отсечката, а со помош на следнава формула:<ref>Roland E. Larson, Bruce H. Edwards, David E. Heyd, ''Finite Mathematics''. D. C. Heath and Company, Lexington, Massachusetts and Toronto, 1991, стр. 24.</ref>
:<math>d = \frac{x_2+x_1}{2}, \frac{y_2+y_1}{2}.</math>

===Евклидови трансформации===
==== Транслација ====
За да извршиме [[транслација]] на множество точки на рамнината, зачувувајќи ги нивните меѓурастојанија и насоки, додаваме еден ист пар броеви (''X'',''Y'') на координатите за секоја точка од множеството. Ако првичните координати на една точка се (''x'',''y''), по извршената транслација тие ќе бидат
:<math>(x',y') = (x + X, y + Y).\,</math>

====Размерување====
Ако сакаме да зголемиме или намалиме една фигура, ги помножуваме координатите на секоја точка со еден ист позитивен број ''m''. Ако (''x'',''y'') се координатите на точка на првичната фигура, тогаш соодветната точка на разамерената фигура ќе ги има координатите
:<math>(x',y') = (m x, m y).\,</math>
Ако ''m'' е поголем од 1, тогаш фигурата е поголема, а ако ''m'' е помеѓу 0 и 1, тогаш фигурата е помала.

====Ротација====
За да направиме [[ротација (геометрија)|ротација]] (свртување) на една фигура налево околу почетокот за извесен агол <math>\theta</math>, тогаш ја заменуваме секоја точка со координати (''x'',''y'') со точка со координати (''x<nowiki>'</nowiki>'',''y<nowiki>'</nowiki>''), каде
:<math>x'=x \cos \theta - y \sin \theta\,</math>
:<math>y'=x \sin \theta + y \cos \theta.\,</math>

Така:
<math>(x',y') = ((x \cos \theta - y \sin \theta\,) , (x \sin \theta + y \cos \theta\,)).</math>

====Отсликување====
Ако (''x'', ''y'') се координатите на една точка, тогаш (&minus;''x'', ''y'') се координатите на нејзината [[отсликување (геометрија)|слика]] долж втората координатна оска (Y-оска), како линијата да е огледало. На истот начин, (''x'', &minus;''y'') се координатите на сликата долж првата координатна оска (Х-оска).

====Општи трансформаци====
Трансформациите на рамнината се транслации, ротации, размерувања, отсликувања и нивни произволни [[композиција од функции|композиции]]. Резултатот од <math>(x', y')</math> примената на трансформација врз точката <math>(x,y)</math> се добива со формулата
:<math>(x',y') = (x,y) A + b\,</math>
каде ''A'' е [[матрица (математика)|матрица]] 2×2, а ''b'' е пар од броеви кои зависат од трансформацијата; т.е.
:<math>x' = x A_{1 1} + y A_{2 1} + b_{1}\,</math>
:<math>y' = x A_{1 2} + y A_{2 2} + b_{2}.\,</math>
Матрицата ''A'' мора да има правоаголни редови со иста должина, т.е.
:<math>A_{1 1} A_{2 1} + A_{1 2} A_{2 2} = 0\,</math>
и
:<math>A_{1 1}^2 + A_{1 2}^2 = A_{2 1}^2 + A_{2 2}^2.</math>
Ова е исто што и ''A'' помножено со [[транспонирана матрица|транспонираното]] мора да биде [[дијагонална матрица]]. Доколку овие услови не важат, тогаш формулата опишува поопшта [[афина трансформација]] на рамнината.

Формулите се однесуваат на транслација [[ако и само ако]] ''A'' е [[единична матрица]]. Трансформацијата е ротација околу некоја точка ако и само ако ''A'' е [[вртежна матрица]], што значи дека
:<math>A_{1 1}^2 + A_{1 2}^2 = A_{2 1}^2 + A_{2 2}^2 = A_{1 1} A_{2 2} - A_{2 1} A_{1 2} = 1.</math>

== Поврзано ==
* [[Бројна оска]]
* [[Декартов производ]]
* [[Координатен систем]]
* [[Географски координатен систем]]

== Наводи ==
{{наводи}}

== Надворешни врски ==
* [http://www.emathforall.com/wiki/RecnikT/DekartKoor Декартов координатен систем] {{Семарх|url=https://web.archive.org/web/20120426081642/http://www.emathforall.com/wiki/RecnikT/DekartKoor |date=2012-04-26 }} со интерактивни вежби - „Математика за сите“ {{mk}}
* [http://www.emathforall.com/wiki/RecnikT/Dekartovi2 Декартови координати во дводимензионална рамнина] {{Семарх|url=https://web.archive.org/web/20120426084248/http://www.emathforall.com/wiki/RecnikT/Dekartovi2 |date=2012-04-26 }} со интерактивни вежби - „Математика за сите“ {{mk}}

[[Категорија:Координатни системи]]
[[Категорија:Елементарна математика]]
[[Категорија:Димензија]]
[[Категорија:Аналитичка геометрија]]

[[fi:Koordinaatisto#Suorakulmainen koordinaatisto]]