Триаголен бран

Анимација на адитивна синтеза на триаголен бран со растечка хармоничност.

Триаголен бран — несинусоиден бранов облик со облик на триаголник. Тој претставува периодична, делумно линеарна, непрекината реална функција. Како и квадратниот бран, триаголниот бран содржи само хармоничност заради неговата непарна симетричност. Сепак, поголемата хармоничност опаѓа многу побрзо отколку кај квадратниот бран.

Хармоничност

Триаголниот бран е можно да се одреди приближно со адитивна синтеза преку додавање на непарна хармоничност на основната честота, множење на секој (4n-1)-ти хармонски член со -1 и намалување на хармоничноста за инверзниот квадрат на нивната рекативна честота во однос на основната.

Оваа бесконечна Фуриеова низа конвергира кон триаголен бран со циклична честота f за период t:

${\begin{aligned}x_{\mathrm {triangle} }(t)&{}={\frac {8}{\pi ^{2}}}\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\,{\frac {\sin \left(2\pi (2k+1)ft\right)}{(2k+1)^{2}}}\\&{}={\frac {8}{\pi ^{2}}}\left(\sin(2\pi ft)-{1 \over 9}\sin(6\pi ft)+{1 \over 25}\sin(10\pi ft)-\cdots \right)\end{aligned}}$

Дефиниции

Приказ на синусоиден, квадратен, триаголен и забест бранов облик

Друга дефиниција за триаголен бран со множество на вредности од -1 до 1 и период 2a гласи:

$x(t)={\frac {2}{a}}\left(t-a\left\lfloor {\frac {t}{a}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor \right)(-1)^{\left\lfloor {\frac {t}{a}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor }$

каде што симболот $\scriptstyle \lfloor n\rfloor$ означува цел дел од n.

Триаголниот бран исто така може да биде апсолутна вредност од забестиот бран:

$x(t)=\left|2\left({t \over a}-\left\lfloor {t \over a}+{1 \over 2}\right\rfloor \right)\right|$

или за мнжество на вредности од -1 до +1:

$x(t)=2\left|2\left({t \over a}-\left\lfloor {t \over a}+{1 \over 2}\right\rfloor \right)\right|-1$

Понатаму, триаголниот бран може да се прикаже и како интеграл од квадратниит бран:

$\int \operatorname {sgn}(\sin(x))\,dx\,$.

Поврзано

• Триаголна функција
• Несинусоиден бран

Надворешни врски

• „Fourier Series - Triangle Wave“ од Ерик В. Вајсштајн — MathWorld (англиски)