Теорема „пеперутка“

Теорема „пеперутка“

Теоремата „пеперутка“ е класичен резултат во Евклидовата геометрија, кој може да се формулира на следниов начин:

Нека $PQ$ е тетива во кружница и $M$ е нејзината средина. Низ $M$ се нацртани други две тетиви - $AB$ и $CD$. Отсечките $AD$ и $BC$ ja сечат тетивaтa $PQ$ во точките $X$ и $Y$ соодветно. Точката $M$ е средина на отсечката $XY$.

Доказ

Доказ на теорема „пеперутка“

Proof of Butterfly theorem

Формалниот доказ на теоремата е како што следува:

Нека од точката $X$ се повлечени нормалите $XX'$ и $XX''$ кон правите $AM$ и $DM$ соодветно. Слично, нека $YY'$ и $YY''$ се нормали повлечени од точката $Y$ кон правите $BM$ и $CM$ соодветно.

Од сличноста $\triangle MXX'\sim \triangle MYY',$ важи

$(1)\quad \quad {{\overline {MX}} \over {\overline {MY}}}={{\overline {XX'}} \over {\overline {YY'}}}.$

Слично, заради $\triangle MXX''\sim \triangle MYY'',$ важи

$(2)\quad \quad {{\overline {MX}} \over {\overline {MY}}}={{\overline {XX''}} \over {\overline {YY''}}}.$

Од равенките (1) и (2) имаме дека

$(3)\quad \quad \left({{\overline {MX}} \over {\overline {MY}}}\right)^{2}={{\overline {XX'}} \over {\overline {YY'}}}{{\overline {XX''}} \over {\overline {YY''}}}.$

Понатаму, од $\triangle AXX'\sim \triangle CYY'',$ имаме

$(4)\quad \quad {{\overline {XX'}} \over {\overline {YY''}}}={{\overline {AX}} \over {\overline {CY}}},$

a од $\triangle DXX''\sim \triangle BYY',$ важи

$(5)\quad \quad {{\overline {XX''}} \over {\overline {YY'}}}={{\overline {DX}} \over {\overline {BY}}}.$

Со множење на (4) и (5) добиваме

$(6)\quad \quad {{\overline {XX'}} \over {\overline {YY'}}}{{\overline {XX''}} \over {\overline {YY''}}}={{\overline {AX}}\cdot {\overline {DX}} \over {\overline {CY}}\cdot {\overline {BY}}}\,.$

Сега, Од (3) и (6) имаме

$(6)\quad \quad \left({{\overline {MX}} \over {\overline {MY}}}\right)^{2}={{\overline {AX}}\cdot {\overline {DX}} \over {\overline {CY}}\cdot {\overline {BY}}}\,.$

Од теоремата за тетиви кои се сечат (степен на точка), имаме дека

${{\overline {AX}}\cdot {\overline {DX}} \over {\overline {CY}}\cdot {\overline {BY}}}={{\overline {PX}}\cdot {\overline {QX}} \over {\overline {PY}}\cdot {\overline {QY}}}={({\overline {PM}}-{\overline {XM}})\cdot ({\overline {MQ}}+{\overline {XM}}) \over ({\overline {PM}}+{\overline {MY}})\cdot ({\overline {QM}}-{\overline {MY}})}\,.$

Бидејќи ${\overline {PM}}={\overline {MQ}}$, имаме

$(7)\quad \quad {{\overline {AX}}\cdot {\overline {DX}} \over {\overline {CY}}\cdot {\overline {BY}}}={({\overline {PM}}-{\overline {XM}})\cdot ({\overline {PM}}+{\overline {XM}}) \over ({\overline {PM}}+{\overline {MY}})\cdot ({\overline {PM}}-{\overline {MY}})}={({\overline {PM}})^{2}-({\overline {MX}})^{2} \over ({\overline {PM}})^{2}-({\overline {MY}})^{2}}\,.$

Значи, од (6) и (7), добиваме

${({\overline {MX}})^{2} \over ({\overline {MY}})^{2}}={({\overline {PM}})^{2}-({\overline {MX}})^{2} \over ({\overline {PM}})^{2}-({\overline {MY}})^{2}}.$

Со накрсно множење во последната равенка, добиваме

${({\overline {MX}})^{2}\cdot ({\overline {PM}})^{2}-({\overline {MX}})^{2}\cdot ({\overline {MY}})^{2}}={({\overline {MY}})^{2}\cdot ({\overline {PM}})^{2}-({\overline {MX}})^{2}\cdot ({\overline {MY}})^{2}}.$

Со елиминација на заедничкиот член ${-({\overline {MX}})^{2}\cdot ({\overline {MY}})^{2}}$ од двете страни на добиената равенка, се добива

${({\overline {MX}})^{2}\cdot ({\overline {PM}})^{2}}={({\overline {MY}})^{2}\cdot ({\overline {PM}})^{2}},$

бидејќи ${\overline {MX}}$, ${\overline {MY}}$ и ${\overline {PM}}$ се сите позитивни реални броеви, важи ${\overline {MX}}={\overline {MY}}$.

Така, $M$ е средина на $XY$ .

Постојат и други докази, вклучувајќи го и оној во кој се користи проективна геометрија.

Историја

Докажувањето на теоремата „пеперутка“ било поставено како проблем од Вилијам Уолас во „Математички придружник на господата“ од 1803 г. Во 1804 година биле објавени три решенија, а во 1805 година сер Вилијам Хершел повторно го поставил прашањето во писмо до Уолас. Свештеникот Томас Скур повторно го поставил истото прашање во 1814 година во „Дневникот на господата или математичкото складиште“.

Надворешни врски

• Теоремата „пеперутка“ на cut-the-knot
• Подобра теорема за пеперутки на cut-the-knot
• Доказ за теоремата „пеперутка“ во PlanetMath
• Теорема „пеперутка“ од Џеј Варендорф, Проект за демонстрации на Волфрам .
• „Butterfly Theorem“ од Ерик В. Вајсштајн — MathWorld (англиски)