Теорема за затворање на Понселе
Во геометријата, теоремата за затворање на Понселе, исто така позната како поризам на Понселе, вели дека секогаш кога многуаголник е впишан во еден конусен пресек и опишан околу друг конусен пресек, многуаголникот мора да биде дел од бесконечна фамилија на многуаголници од кои сите се впишани во и опишани околу истите два конусни пресека.[1][2] Именуван е по францускиот инженер и математичар Жан-Виктор Понселе, кој пишувал за тоа во 1822 година;[3] сепак, случајот на триаголници бил откриен значително порано, уште во 1746 година од Вилијам Чапл.[4]
Поризмот на Понселе може да се докаже со аргументирање користејќи елиптична крива, чии точки претставуваат комбинација на права која е тангента на еден коник и пресечната точка на таа права со другиот коник.
Формулација[уреди | уреди извор]
Нека C и D се два рамнински коника . Ако е можно да се најде, за даден n > 2, еден n -стран многуаголник кој е истовремено впишан во C (што значи дека сите негови темиња лежат на C ) и оишан околу D (што значи дека сите негови рабови се тангентни на D), тогаш е можно да се најдат бесконечно многу такви n-аголници. Секоја точка од C или D е теме или допирна точка (соодветно) на еден таков многуаголник.
Ако кониците се кружници, многуаголниците кои се впишани во едната кружница и опишани околу другата се нарекуваат бицентрични многуаголници, така што овој посебен случај на поризмот на Понселе може да се изрази поконцизно со тоа што ќе кажеме дека секој бицентричен многуаголник е дел од бесконечно семејство на бицентрични многуаголници во однос на истите две кружници. [5] :p. 94
Скица на доказот[уреди | уреди извор]
Гледајте ги C и D како криви во комплексната проективна рамнина P2 . За едноставност, да претпоставиме дека C и D се сечат попречно (што значи дека секоја нивна пресечна точка е едноставен пресек). Потоа, според Безуовата теорема, пресекот C ∩ D на двете криви се состои од четири комплексни точки. За произволна точка d на D, нека ℓd е тангентата на D во d. Нека X е подсортата на C × D која се состои од (c,d) така што ℓd поминува низ c. За даден c, бројот на d за кои (c,d) ∈ X е 1 ако c ∈ C ∩ D, а инаку е 2. Така, проекцијата X → C ≃ P1 го прикажува X како покривка од степен 2 разгранета над 4 точки, така што X е елиптична крива (откако ќе ја поправиме основната точка на X). Нека е инволуција на X која ја пресликува општа двојка (c,d) до другата точка (c,d′) со истата прва координата. Секоја инволуција на елиптична крива со фиксна точка, кога е изразена преку законот на групата, има облик x → p − x за некое p, па така го има овој облик. Слично на тоа, проекцијата X → D е морфизам од степен два разгранет на допирните точки на D од четирите тангенти на C и D, и соодветната инволуција има облик x → q − x за некое q. Така, составот е транслација на Х. Ако некој степен на има фиксна точка, тој степен мора да биде идентитетот. Преведено назад на јазикот на C и D, тоа значи дека ако една точка c ∈ C (опремена со соодветно d) води до орбита која се затвора (т.е. дава n-аголник), тогаш истото го прави и секоја точка. Дегенерираните случаи во кои C и D не се попречни произлегуваат од преминот кон лимес.
Поврзано[уреди | уреди извор]
- Наоѓање елипси
- Хартшорнова елипса
- Штајнеров поризам
- Тангентни линии на кружници
- Еганова претпоставка
Наводи[уреди | уреди извор]
- ↑ Weisstein, Eric W. "Poncelet's Porism." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/PonceletsPorism.html
- ↑ King, Jonathan L. (1994). „Three problems in search of a measure“. Amer. Math. Monthly. 101: 609–628. doi:10.2307/2974690.
- ↑ Poncelet, Jean-Victor (1865). Traité des propriétés projectives des figures; ouvrage utile à ceux qui s'occupent des applications de la géométrie descriptive et d'opérations géométriques sur le terrain (француски) (2nd. изд.). Paris: Gauthier-Villars. стр. 311–317.
- ↑ Del Centina, Andrea (2016), „Poncelet's porism: a long story of renewed discoveries, I“, Archive for History of Exact Sciences, 70 (1): 1–122, doi:10.1007/s00407-015-0163-y, MR 3437893
- ↑ Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry, Dover Publications, 2007 (orig. 1960).
Користена литература[уреди | уреди извор]
- Бос, Х.Ј.М. ; Керс, Ц.; Орт, Ф.; Равен, ДВ „Теорема за затворање на Понселе“. Expositiones Mathematicae 5 (1987), бр. 4, 289-364.
- Д. Фукс, С. Табачников, Математички омнибус: Триесет предавања за класична математика
Надворешни врски[уреди | уреди извор]
- Дејвид Спејер за Поризмот на Понселе
- Интерактивен аплет од Мајкл Борчердс кој ги прикажува случаите n = 3, 4, 5, 6, 7, 8 (вклучувајќи ги и конвексните случаи за n = 7, 8) направено со помош на Геогебра .
- Интерактивен аплет од Мајкл Борчердс кој го прикажува Поризмот на Понселе за општа елипса и парабола направени со помош на Геогебра .
- Интерактивен аплет од Мајкл Борчердс кој го прикажува Поризмот на Понселе за 2 општи елипси (ред 3) направени со помош на Геогебра .
- Интерактивен аплет од Мајкл Борчердс кој го прикажува Поризмот на Понселе за 2 општи елипси (ред 5) направени со помош на Геогебра .
- Интерактивен аплет од Мајкл Борчердс кој го прикажува Поризмот на Понселе за 2 општи елипси (ред 6) направени со помош на Геогебра .
- Јава аплет што го прикажува надворешното куќиште за n = 3 на Националниот универзитет Цинг Хуа.
- Статија за поризмот на Понселе во Mathworld.