Од Википедија — слободната енциклопедија
Со сини точки е прикажан графиконот на конвергентната низа {an }. И визуелно може да се види дека низата тежи кон нула со растењето на n .
Гранична вредност на низа или лимес на низа на реални броеви
a
n
{\displaystyle a_{n}}
- точка
a
∈
R
∪
{
−
∞
,
+
∞
}
{\displaystyle a\in \mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}}
при што за секоја нејзина околина
U
{\displaystyle U}
постои природен број
n
0
{\displaystyle n_{0}}
, така што
a
n
∈
U
{\displaystyle a_{n}\in U}
за сите броеви
n
>
n
0
{\displaystyle n>n_{0}}
, т.е. така што почнувајќи од некој член, сите понатамошни членови на низата ѝ припаѓаат на таа околина.
a
=
lim
n
→
∞
a
n
⇔
(
∀
U
>
0
)
(
∃
n
0
∈
N
)
(
∀
n
∈
N
)
n
>
n
0
⇒
a
n
∈
U
{\displaystyle a=\lim _{n\to \infty }{a_{n}}\Leftrightarrow (\forall U>0)(\exists n_{0}\in \mathbb {N} )(\forall n\in \mathbb {N} )n>n_{0}\Rightarrow a_{n}\in U}
.
Гранична вредност на конвергентни низи [ уреди | уреди извор ]
Покрај општата дефиниција, граничната вредност на конвергентните низи , т.е. за низи
a
n
{\displaystyle a_{n}}
кои тежат кон некое
a
{\displaystyle a}
, каде
a
{\displaystyle a}
е конечен број, може да се запише како:
a
=
lim
n
→
∞
a
n
⇔
(
∀
ϵ
>
0
)
(
∃
n
0
∈
N
)
(
∀
n
∈
N
)
n
>
n
0
⇒
|
a
n
−
a
|
<
ϵ
.
{\displaystyle a=\lim _{n\to \infty }{a_{n}}\Leftrightarrow (\forall \epsilon >0)(\exists n_{0}\in \mathbb {N} )(\forall n\in \mathbb {N} )n>n_{0}\Rightarrow |a_{n}-a|<\epsilon .}
Гранична вредност на дивергентни низи [ уреди | уреди извор ]
Покрај општата дефиниција, граничната вредност на дивергентните низи , т.е. за низи
a
n
{\displaystyle a_{n}}
кои тежат кон некое
a
=
±
∞
{\displaystyle a=\pm \infty }
, може да се запише како:
a
=
lim
n
→
∞
a
n
⇔
(
∀
ϵ
>
0
)
(
∃
n
0
∈
N
)
(
∀
n
∈
N
)
n
>
n
0
⇒
|
a
n
−
a
|
>
ϵ
.
{\displaystyle a=\lim _{n\to \infty }{a_{n}}\Leftrightarrow (\forall \epsilon >0)(\exists n_{0}\in \mathbb {N} )(\forall n\in \mathbb {N} )n>n_{0}\Rightarrow |a_{n}-a|>\epsilon .}
Сините точки го прикажуваат графиконот на Кошиева низа (xn ), чија вредност се отчитува на „y“-оската. И визуелно може да се види дека низата конвергира кон својата гранична вредност кога n расте. Во множеството на реални броеви секоја Кошиева низа е конвергентна.
Кошиевата низа , која го добила името по истакнатиот француски математичар Огистен Луј Коши , е низа на реални броеви xn која е дефинирана на следниов начин:
(
∀
ϵ
>
0
)
(
∃
n
0
∈
N
)
(
∀
m
,
n
∈
N
)
(
m
,
n
>
n
0
⇒
|
x
m
−
x
n
|
<
ϵ
)
{\displaystyle (\forall \epsilon >0)(\exists n_{0}\in \mathbb {N} )(\forall m,n\in \mathbb {N} )(m,n>n_{0}\Rightarrow |x_{m}-x_{n}|<\epsilon )}
.
Кошиевата низа е тесно поврзана со поимот на гранична вредност на низа, бидејќи секоја Кошиева низа конвергира. Ако знаеме дека некоја низа е Кошиева, однапред знаеме дека таа има конечна гранична вредност .