Кошиева низа

Од Википедија — слободната енциклопедија
Прејди на прегледникот Прејди на пребарувањето

Кошиева низа1 - низа чии последователни елементи се произволно близу еден до друг за доволно големи индекси на елементите.


Кошиева низа во множеството на реални броеви[уреди | уреди извор]

Низата реални броеви, x1, x2, x3... се нарекува Кошиева ако за произволно мало може да се најде индекс n0 за кој апсолутната разлика на кои било два елементи од низата со поголем индекс од него е помала од . Симболички напишано, низата на реални броеви (xn) е Кошиева ако:

.

Кошиева низа во метрички простори[уреди | уреди извор]

Во метричкиот простор М, со метрика d, низата од елементи од множеството М е Кошиева ако за произволно мало може да се најде индекс n0 за кои оддалеченоста на кои било два елементи од низата со индекс поголем од него е помала од . Симболички напишано, низата елементи (xn) од метричкиот простор е Кошиева ако:

.

Кошиевата низа во метричките простори би можела да се дефинира и на следниов начин: Низата x1, x2, x3... е Кошиева ако оддалеченоста на елементите xm и xn тежи кон нула кога помалиот од индексите m и n тежи кон бесконечност. Симболички напишано, низата елементи (xn) од метричкиот простор е Кошиева ако:

.

Особини[уреди | уреди извор]

За Кошиевите низа, и во множеството на реални броеви, и во произволните метрички простори, важат следните особини:

  1. Секоја конвергентна низа е Кошиева
  2. Секоја Кошиева низа е ограничена
  3. Ако Кошиевата низа има конвергентна подниза, таа и самата е конвергентна.

Обратното тврдење од тврдењето 1, не мора секогаш да важи. Во множеството на реални броеви тоа навистина важи, што се докажува со посебна теорема, но не и во произволен метрички простор.

Комплетност[уреди | уреди извор]

За оние метрички простори за кои е точно дека секоја Кошиева низа е конвергентна, се вели дека се комплетни2. Еден пример на комплетни метрички простори е токму гореспоменатото множество на реални броеви, дефинирано со стандардна метрика .


Поврзано[уреди | уреди извор]

Забелешки[уреди | уреди извор]

  1. Го добила името по францускиот математичар Огистен Луј Коши.
  2. Комплетноста, како важна особина на метричкиот простор, дефинирана на гореопишаниот начин, е услов на бројни математички теореми; една од нив е Банаховата теорема за неподвижна точка, која е важна за докажување на некои други математички теореми.

Наводи[уреди | уреди извор]