Алтернативен ред

Од Википедија — слободната енциклопедија
Прејди на: содржини, барај

Алтернативен ред е бесконечен ред во математиката од обликот:

каде што an ≥ 0 (или an ≤ 0) за сите n. Конечната сума на редот од овој облик се нарекува „алтернативна сума“.

Лајбницов критериум[уреди | уреди извор]

Crystal Clear app xmag.svg Главна статија: „Лајбницов критериум.

Лајбницовиот критериум претставува теорема на германскиот математичар Готфрид Вилхелм Лајбниц, според која, алтернативниот ред конвергира ако членовите an монотоно конвергираат до 0.

Доказ

Да претпоставиме дека низата конвергира до 0 и монотоно опаѓа. Ако е непарен број , проценката може да се добие преку следнава пресметка:

Бидејќи е монотоно опаѓачка низа, членовите се негативни. На тој начин се добива последното неравенство . На сличен начин може да се докаже дека . Бидејќи конвергира до , делумните суми сочинуваат Кошиева низа (т.е. редот го задоволува Кошиевиот критериум за конвергенција на редови) и поради тоа конвергира. Во случај да е парен број, доказот е ист.

Конвергенција[уреди | уреди извор]

Апсолутна конвергенција[уреди | уреди извор]

Редот конвергира апсолутно ако редот конвергира. Во врска со апсолутната конвергенција важи следнава теорема:

  • Апсолутно конвергентните редови се конвергентни.
Доказ

Да претпоставиме дека редот е апсолутно конвергентен. Тогаш, е конвергентен и следува дека , исто така, конвергира. Бидејќи , редот конвергира според споредбениот тест. Одовде, редот конвергира како разлика од двата конвергентни реда, .

Условна конвергенција[уреди | уреди извор]

Редот конвергира условно ако конвергира, но не конвергира апсолутно.

На приер, хармонкискиот ред:

дивергира, додека алтернативниот облик од редот:

конвергира според тестот за алтернативни редови.

Примери[уреди | уреди извор]

Едноставен пример на алтернативен ред е хармонискиот ред со променлив знак:

во спротивност на хармонискиот ред во општ облик:

Веројатно најпознати алтернативни редови се развојните редови за тригонометриските функции синус и косинус:

Поврзано[уреди | уреди извор]