Алтернативен ред

Од Википедија — слободната енциклопедија

Алтернативен ред е бесконечен ред во математиката од обликот:

каде што an ≥ 0 (или an ≤ 0) за сите n. Конечната сума на редот од овој облик се нарекува „алтернативна сума“.

Лајбницов критериум[уреди | уреди извор]

Лајбницовиот критериум претставува теорема на германскиот математичар Готфрид Вилхелм Лајбниц, според која, алтернативниот ред конвергира ако членовите an монотоно конвергираат до 0.

Доказ

Да претпоставиме дека низата конвергира до 0 и монотоно опаѓа. Ако е непарен број , проценката може да се добие преку следнава пресметка:

Бидејќи е монотоно опаѓачка низа, членовите се негативни. На тој начин се добива последното неравенство . На сличен начин може да се докаже дека . Бидејќи конвергира до , делумните суми сочинуваат Кошиева низа (т.е. редот го задоволува Кошиевиот критериум за конвергенција на редови) и поради тоа конвергира. Во случај да е парен број, доказот е ист.

Конвергенција[уреди | уреди извор]

Апсолутна конвергенција[уреди | уреди извор]

Редот конвергира апсолутно ако редот конвергира. Во врска со апсолутната конвергенција важи следнава теорема:

  • Апсолутно конвергентните редови се конвергентни.
Доказ

Да претпоставиме дека редот е апсолутно конвергентен. Тогаш, е конвергентен и следува дека , исто така, конвергира. Бидејќи , редот конвергира според споредбениот тест. Одовде, редот конвергира како разлика од двата конвергентни реда, .

Условна конвергенција[уреди | уреди извор]

Редот конвергира условно ако конвергира, но не конвергира апсолутно.

На приер, хармонкискиот ред:

дивергира, додека алтернативниот облик од редот:

конвергира според тестот за алтернативни редови.

Примери[уреди | уреди извор]

Едноставен пример на алтернативен ред е хармонискиот ред со променлив знак:

во спротивност на хармонискиот ред во општ облик:

Веројатно најпознати алтернативни редови се развојните редови за тригонометриските функции синус и косинус:

Поврзано[уреди | уреди извор]