Логичка операција

Од Википедија — слободната енциклопедија
Прејди на: содржини, барај

Во логиката, логички оператор или логички сврзник е логичка константа која означува синтаксна операција на реченици, или пак симбол за таква операција, кој соодветствува на операција на логичките вредности на тие реченици.

На пример двете реченици: „Врне“ и „Внатре сум“, може да се комбинираат со разни сврзници за да се добијат следниве сложени реченици:

  • Не врне, па внатре сум.
  • Врне и внатре сум.
  • Ако врне, тогаш внатре сум.

Основните логички оператори се :

Еве некои други:

Дефиниции[уреди]

Таблици[уреди]

16-те бинарни логички оператори можат да се дефинираат со таблици на вистинитост вака:
p q т ~p ~q \equiv \not\equiv q p &
т т т т т т т т т т
т т т т т т т т т
т т т т т т т т т
т т т т т т т т

Множества[уреди]

Логичките оператори можат да се изразат преку множества (каде е празно множество):

Можествени дефиниции за логички оператори *
- Контрадикција (\bot) { ∅ , { ∅ } , { { ∅ } } , { ∅ , { ∅ } } } - Тавтологија (\top)
{ } - НИЛИ (↓) { { ∅ } , { { ∅ } } , { ∅ , { ∅ } } } - ИЛИ (\vee)
{ { ∅ } } - Материјална неимпликација (⊅) { ∅ , { { ∅ } } , { ∅ , { ∅ } } } - Материјална импликација (⊃)
{ , { } } - Не q { { { ∅ } } , { ∅ , { ∅ } } } - q
{ { { ∅ } } } - Спротивна неимпликација (⊄) { ∅ , { ∅ } , { ∅ , { ∅ } } } - Спротивна импликација (⊂)
{ ∅ , { { ∅ } } } - Не p { { ∅ } , { ∅ , { ∅ } } } - p
{ { ∅ } , { { ∅ } } } - Исклучителна дисјункција (\not\equiv) { ∅ , { ∅ , { ∅ } } } - Двоуслов (\equiv)
{ ∅ , { ∅ } , { { ∅ } } } - НИ (↑ или |) { { ∅ , { ∅ } } } - Конјункција (\land)

Венови дијаграми[уреди]

Бинарните логички оператори можат да се изразат по пат на Венови дијаграми.


input A input B output f(A,B) X и ¬X A и B ¬A и B B A и ¬B A A илли B A или B ¬A и ¬B A екснили B ¬A ¬A или B ¬B A или ¬B ¬A или ¬B X или ¬XLogical connectives table.svg
X или ¬X ¬A или ¬B A или ¬B ¬A или B A или B ¬B ¬A A илли B A xnor B A B ¬A и ¬B A и ¬B ¬A и B A и B X и ¬XLogical connectives Hasse diagram.svg
(file) (file) (zoom in)



Забележете ја сличноста помешу знаците „и“ (\wedge) и пресек на множество (\cap); така е и за „или“ (\vee) и унија на множества (\cup). Ова не е случајно: дефиницијата на пресекот користи „и“, а дефиницијата на унијата користи „или“.

Функционална потполност[уреди]

Не сите овие оператори се неопходни за функционално потполна логичка анализа. Извесни сложени искази се логички еквивалентни. На пример, ¬PQ е логички еквивалентно на PQ;. Така, кондиционалниот оператор "→" не е потребен ако имаме "¬" (не) и "∨" (или).

најмалото множество на оператори кое сепа го искажува секој исказ кој може да се изрази во исказната анализа се нарекува минимално функционално потполно множество. Минимално потполно множество од оператори се постогнува само со НИ {  } и само со НИЛИ {  }.

Сите и само следниве се функционално потполни множества на оператори:

{  }, {  }, { \rightarrow\neg }, { \rightarrow\not\equiv }, { \neg }, { \rightarrow }, { \vee\neg }, { \rightarrow }, { \neg }, { \not\equiv }, { \neg }, {  }, { \wedge\neg }, {  }, { \bot\rightarrow }, { \equiv }, { \equiv }

Својства[уреди]

Секој логички оператор (сврзник) има свој збир својства кои можат да се изразат преку теоремите кои ги содржат операторите. Некои од овие може да бидат:

Функционално потполно множество на оператори содржи барем еден член кому му недостасуваат следниве пет својства:

  • монотоност : Ако f(a1, ... , an) ≤ f(b1, ... , bn) за сите a1, ... , an \in {0,1} така што a1 ≤ b1, a2 ≤ b2, ... , an ≤ bn { \vee, \wedge, \top, \bot }
  • линеарност : Секоја променлива секогаш ја менува точноста (вистинитоста) на операцијата или никогаш не прави разлика { \neg, \equiv, \not\equiv, \top, \bot }
  • самодвојност : За читање на дадените точности на операцијата од горе надолу на нејзината таблица на вистинитост е исто што и земање на комплиментот читаќи ги од долу нагоре. { \neg }
  • запазување на точност: Толкувањето кај кое сите променливи имаат зададена логички вредности како 'точно' дава логичка вредност 'точно' како резултат на овие операции. { \vee, \wedge, \top, \rightarrow, \equiv, }
  • запазување на неточност: Толкувањето кај кое сите променливи имаат зададена логички вредности како 'неточно' дава логичка вредност 'неточно' како резултат на овие операции. { \vee, \wedge, \not\equiv, \bot, , }

Арност[уреди]

Главна статија: Арност

Во двовредносната логика постојат 4 unary operators, 16 бинарни оператори и 256 тројни оператори. Во тровреднсната логика постојат 9 унарни оператори, 19683 бинарни оператори и 7625597484987 тројни оператори.

„Не“ е унарен оператор и се состои од еден поим (¬P). Остатокот се бинарни оператори, кои се состојат од два поима (P \wedge Q, P \vee Q, PQ, PQ).

Множеството логички оператори \Omega\! може да се раздели на раздвоени подмножества вака:

\Omega = \Omega_0 \cup \Omega_1 \cup \ldots \cup \Omega_j \cup \ldots \cup \Omega_m \,.

Оваа разделба, \Omega_j\! има множество од операциони знаци на арност j\!.

Во исказните анализи, \Omega\! обично серазделува вака:

нуларни оператори: \Omega_0 = \{\bot, \top \} \,
унарни оператори: \Omega_1 = \{ \lnot \} \,
бинарни оператори: \Omega_2 \subseteq \{ \land, \lor, \rightarrow, \leftrightarrow \} \,

Првенствен ред[уреди]

За намалување на бројот на неопходни загради можеме да воведеме правила за првенство (предност): ¬ има предност над ∧, ∧ има предност над ∨ а ∨ има предност над →. На пример, PQ ∧ ¬RS е скратено од (P ∨ (Q ∧ (¬R))) → S.

Еве таблица на која е прикажано првенството на логичките оператори.

Оператор Првенство
¬ 1
\wedge 2
\vee 3
4
5

Редот на првенство одредува кој „главен сврзник“ при толкување на молекуларна формула.

Наводи[уреди]

Видете исто така[уреди]

Портал „Логика